3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / conspectus
.pdf
Различают действительные и мнимые изображения. Действительное изображение – изображение, получившееся в результате пересечения лучей,
прошедших через систему. Мнимое изображение – изображение,
получившееся в результате пересечения продолжений лучей, прошедших через систему, в направлении, обратном распространению света.
P' |
P' |
|
Действительное
изображение
Мнимое изображение
Рис. 7. На первом рисунке показано действительное изображение, полученное пересечением преломленных лучей, на втором рисунке мнимое изображение, полученное пересечением продолжений лучей, преломленных на сферической поверхности
Точка P, в которой находится источник, и точка P', в которой получается его изображение, называют сопряженными точками, так как согласно закону взаимности их можно поменять местами, т.е. источник в точке P' даст изображение в точке P. Таким образом, оптическую систему можно рассматривать как систему, осуществляющую взаимно однозначное преобразование точек предмета в точки изображения.
2.5. Идеальная оптическая система
Общую теорию идеальных оптических систем развил немецкий математик и физик Гаусс на основе представления об оптической системе как некотором преобразовании точек предмета (еще говорят – пространства предметов) в точки изображения (пространство изображений). Поскольку в идеальной оптической системе точка в пространстве предметов преобразуется в единственную сопряженную точку в пространстве изображения, то прямая, в
пространстве предметов должна преобразовываться в сопряженную прямую в пространстве изображений, при этом порядок следования трех точек на прямой
19
в пространстве предметов в пространстве изображения не меняется. То есть идеальная оптическая система, из какого бы числа преломляющих поверхностей она не состояла, осуществляет только преобразование подобия и тогда эту систему можно рассматривать формально, пользуясь некоторыми правилами преобразования точек предмета в точки изображения.
Для этого введем две параллельные плоскости H и H', перпендикулярные главной оптической оси системы. Для этих плоскостей должно выполняться следующее условие: отрезок ВА на первой плоскости преобразуется оптической системой в отрезок В'A' второй плоскости без изменения длины отрезка, т.е. для этих плоскостей коэффициент подобия V = 1, и для любой точки А плоскости H
сопряженная ее точка A' на плоскости H' получается переносом точки А до H'
параллельно главной оптической оси.
Эти плоскости называют главными. Плоскость H на которую падает свет из пространства объектов называют первой (или передней). Все расстояния в плоскости предметов отсчитываются от этой плоскости, а все расстояния в плоскости изображения отсчитываются от второй (задней) плоскости H'.
Поэтому их и назвали главными.
При отсчитывании расстояний используют правило знаков: если отсчет расстояния ведется против направления распространения света, то эти расстояния берутся со знаком «–», если отсчет ведется по направлению распространения света, то эти расстояния берутся со знаком «+».
Поскольку система идеальная, т.е. гомоцентрическая точка в пространстве предметов переходит в гомоцентрическую точку в пространстве изображения, то справедливы следующие два правила преобразования лучей в оптической системе:
1. Источник на бесконечности, лучи от которого идут параллельно оптической оси (лучи 1 и 2 до плоскости H) , преобразуется системой в точку
F' (получаемую пересечением сопряженных лучей 1' и 2' после плоскости Н’)
на оптической оси. Точка F' называется задним фокусом. Расстояние
20
|B'F'| = B'F' называют задним фокусным расстоянием. Плоскость, проходящая через точку F', перпендикулярная главной оптической оси, называется задней фокальной плоскостью.
2. На главной оптической оси существует точка F, из которой свет источника (лучи 1 и 3) после задней главной плоскости распространяется параллельно оптической оси (лучи 1' и 3'), т.е. преобразуется в точечное изображение, находящееся в бесконечности. Точка F называется передним фокусом. Расстояние |BF| = – BF называют передним фокусным расстоянием
(знак минус перед BF появился по правилу знаков). Плоскость, проходящая через точку F, перпендикулярная главной оптической оси, называется передней фокальной плоскостью.
|
2 |
A |
A' |
|
|
|
|
С |
С' |
3' |
|
|
|
3 |
|
2' |
|
1 |
|
B |
B' |
1' |
F' |
O |
F |
1 |
|
Задний |
O' |
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
H' |
фокус |
|
|
|
|
|
||
|
Передняя |
Задняя |
Задняя |
|
|
|
фокальная |
|
|||
|
главная |
главная |
|
||
|
|
|
|||
|
плоскость |
плоскость |
плоскость |
|
|
Рис. 8. Построение изображения в идеальной оптической системе: лучи 1 и 2, параллельные главной оптической оси, пересекутся в заднем фокусе системы F'; лучи 1 и 3, выходящие из фокуса F, после задней главной плоскости распространяются параллельно главной оптической оси
2.6. Уравнение связи между положениями источника и его изображения
С помощью определенных выше двух правил преобразования лучей построим изображение Q'P' отрезка QP. Луч PA1 параллелен оптической оси,
поэтому, согласно первому правилу, на выходе из системы должен пройти через задний фокус F', а луч PFA2 проходит через передний фокус F, поэтому,
21
согласно второму правилу, должен на выходе из системы идти параллельно оптической оси. Точка пересечения лучей P', прошедших через систему,
представляет изображение точки P. Повторяя эти рассуждения для любой точки отрезка QP, построим его изображение – Q'P'. В дальнейшем расстояния,
отмеряемые от главной оптической оси вверх, будем брать со знаком «+», а
отмеряемые вниз – со знаком «–».
|
P |
n |
|
A1 |
|
A'1 |
|
n' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
–α |
|
|
F' |
|
Q' |
|
O |
Q |
|
F |
H |
|
H' |
– α' |
|
O' |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
–y' |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
A2 |
|
A'2 |
|
|
|
|
|
|
–x |
|
|
–f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
f' |
x' |
P' |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
–a |
|
|
|
|
a' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9. Построение изображения с помощью главных плоскостей и правил преобразования
лучей в идеальной оптической системе
На рисунке n и n' – показатели преломления перед оптической системой,
и за ней, –а и а' – расстояния от главных плоскостей H и H' до источника и его изображения, соответственно, –f и f' – переднее и заднее фокусные расстояния,
соответственно. |
Как видно из рисунка прямоугольные треугольники PFQ и |
||||||||||||||||||
HFA2 имеют общую вершину в F и подобны друг другу. Прямоугольные |
|||||||||||||||||||
треугольники |
P'F'Q' и |
H'F'A'2 |
имеют общую вершину в F' и тоже подобны |
||||||||||||||||
друг другу. Поэтому |
|
QP |
|
y |
|
x |
|
и |
Q ' P ' |
y ' |
|
x ' |
. |
Перемножив эти |
|||||
|
|
|
|
y ' |
f |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
HA |
|
|
H ' A' |
y |
|
f ' |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
равенства, получим формулу Ньютона: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x x ' |
f f ' |
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|||||||
Из (5), после подстановок x a ( f ) и x' a ' f ', |
следует искомое |
||||||||||||||||||
уравнение связи между положениями источника и изображения: |
|||||||||||||||||||
|
|
f |
|
|
f ' |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
||||
|
|
a |
a ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
Уравнение связи можно записать иначе, если найти связь между фокусными расстояниями –f и f'. Для этого снова обратимся к рисунку. Из
подобия треугольников |
PA1A2 и |
HFA2 следует |
A2H |
|
|
|
y ' |
|
|
f |
, а из |
||||
A A |
|
y ( y ') |
a |
||||||||||||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A'1 H ' |
|
|
|
y |
|
f ' |
|||
подобия треугольников |
PA'1A'2 |
и H'F'A'1 следует |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
A' |
A' |
y ( y ') |
a ' |
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
После деления этих равенств друг на друга получим следующее равенство:
|
|
y ' |
|
|||
f |
|
|
|
|
||
|
a ' |
|
|
|||
f ' |
y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
|
|
||
tg( ') |
|
sin( ') |
|
n |
(7) |
|
tg( ) |
sin( ) |
n ' |
||||
|
|
|
Из (7) следует важный факт, что отношение показателя среды к фокусному расстоянию системы в этой среде, является величиной постоянной:
|
n |
|
n ' |
(8) |
|
f |
f ' |
||||
|
|
|
Эту величину Φ называют оптической силой системы и измеряют в
диоптриях (дптр), размерность [м–1].
Уравнение связи (6), с учетом (8), тогда принимает следующий вид
(инвариант Аббе):
n ' |
|
n |
|
(9) |
|
a ' |
a |
||||
|
|
|
Из (9) видно, что если известны оптическая сила системы и показатели преломления сред, то по положению источника можно найти положение его изображения. Также (9) устанавливает способ экспериментального определения оптической силы системы.
23
2.7. Примеры простейших оптических систем
2.7.1. Сферическая преломляющая поверхность
Для этой поверхности с центром в точке О и радиусом R главные плоскости H и H' совпадают с касательной плоскостью к поверхности в точке В
еепересечения главной оптической осью.
αA
n |
α' |
n' |
|
R |
|
|
|
F B
A' O
–f
H, H’
Рис. 10. Преломление на сферической преломляющей поверхности
На рисунке изображен случай, когда источник находится в переднем фокусе системы F, тогда после преломления на сферической поверхности, луч должен идти параллельно оптической оси. Угол падения α на рисунке намеренно сделан большим, однако в расчетах будем полагать его, а также угол преломления α', малыми (параксиальное приближение). Тогда, в приближении
малого угла падения, |
|FA| ≈ |FA'| = –f. Как видно из рисунка AA' является общей |
||||
стороной |
для |
двух |
прямоугольных |
треугольников. |
Поэтому |
R sin ' AA' f sin( ') . |
Последний |
синус можно |
разложить |
||
sin( ') sin cos ' cos sin ' sin sin ' . Тогда выражение для переднего фокусного расстояния будет определяться следующим выражением:
|
|
|
R sin ' |
||||
f |
|
|
|
|
|||
sin sin ' |
|||||||
|
R |
|
R |
n |
|||
|
|
|
|
||||
n ' |
|
n ' n |
|||||
n 1
R |
|
|
sin |
||
1 |
||
sin ' |
||
|
(10) |
24
Используя равенство (8), находим, что оптическая сила сферической
поверхности
|
n ' n |
(11) |
|
R |
|||
|
|
Кроме того, из равенства (8) можно найти заднее фокусное расстояние:
n ' |
|
f ' R n ' n |
(12) |
Надо отметить, что в выражениях (10), (11) и (12) R – положительная величина, так как расстояние R отсчитывалось от точки B (от главной плоскости) до центра О по направлению распространения луча. Про поверхность, у которой центр находится после преломляющей поверхности по ходу луча, говорят, что она выпуклая. Если же центр поверхности находится перед поверхностью по ходу луча, то про такую поверхность говорят, что она
вогнутая. В этом случае в (10)–(12) R должно быть отрицательной величиной.
После подстановки (11) в (9) находим уравнение связи для сферической поверхности:
n ' |
|
n |
|
n ' n |
(13) |
|
a ' |
a |
R |
||||
|
|
|
2.7.2. Плоская преломляющая поверхность
В случае плоской поверхности можно использовать результаты,
полученные для сферической поверхности, считая в них, что радиус R = ∞. Как можно видеть из (13), в этом случае
n ' |
|
n |
(14) |
|
a ' |
a |
|||
|
|
Рассмотрим простой пример: если мы в воздухе смотрим на предмет,
лежащий на дне водоема, то поверхность воды – плоская преломляющая поверхность. Тогда в (14) n – показатель преломления воды (среды, в которой находится предмет), а n' – показатель преломления воздуха (n > n'). Из (14)
находим, что изображение находится от поверхности воды на расстоянии
25
n ' |
|
||
a ' a |
|
|
. Поскольку a' имеет тот же знак, что и a, то это значит, что |
|
|||
|
n |
|
|
изображение находится в воде, а поскольку a' < a, то изображение находится ближе к поверхности, чем сам предмет (как говорят: «вода приближает»).
2.7.3. Сферическая отражающая поверхность
Как уже говорилось выше, можно использовать соотношения,
полученные для преломляющей поверхности, и для отражающих поверхностей,
если в этих соотношениях сделать замену (4): n' = –n. Тогда (13) для отражающей поверхности будет иметь следующий вид:
1 |
|
1 |
|
2 |
(15) |
|
a ' |
a |
R |
||||
|
|
|
Из этого соотношения, в частности видно, что фокусное расстояние сферического зеркала f R / 2. Для отражающих поверхностей также справедливо правило знаков.
2.7.4. Плоская отражающая поверхность
Для плоского зеркала R = ∞, поэтому из (15) находим: a1' a1 . Как видно
из этого равенства a и a' всегда имеют разные знаки, т.е. изображение всегда находится "внутри" зеркала на том же расстоянии от его поверхности, что и предмет.
2.8. Сложение оптических систем
Эффективность метода Гаусса наиболее ярко проявляется при анализе оптических систем состоящих из более чем одной преломляющей поверхности.
Каждая такая поверхность является элементом оптической системы. Например,
линза представляет собой систему двух преломляющих поверхностей.
Рассмотрим систему из двух элементов. Каждый из них можно заменить системой главных плоскостей H1, H1' и H2, H2', относительно которых определены точки переднего и заднего фокусов F1, F1' и F2, F2' с
26
соответствующими фокусными расстояниями f1, f1' и f2, f2'. Расположение элементов относительно друг друга будем характеризовать расстоянием между задней главной плоскостью H1' первого элемента и передней главной плоскостью H2 второго элемента. Показатель среды перед передней главной плоскостью первого элемента n1, показатель преломления среды между элементами – n, показатель преломления среды после задней главной плоскости второго элемента – n2.
Получившаяся система, в свою очередь, будет характеризоваться своей системой главных плоскостей H, H', положением фокусов F, F'. Требуется найти оптическую силу получившейся системы, а также положение ее главных плоскостей и фокусов относительно главных плоскостей составляющих ее элементов.
H |
|
|
|
H1 |
|
|
H1' |
H2 |
|
H2' 3 |
|
|
H' |
|||
A |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A' |
||||||
|
n1 |
|
|
|
n |
|
|
|
n2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
F |
F1 |
|
|
F1' F2 |
|
|
F2' |
F' |
|
O' |
|||||
|
|
|
|
|
– y' |
|
|
|
|
|
|
|
|
–f' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
–x1 |
–f1 |
|
|
f1' |
|
|
–f2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X' |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 11. Построение изображения в системе из двух элементов, отстоящих на расстоянии d
друг от друга по главной оптической оси, показатель преломления между элементами n
Свет из точки А главной поверхности H сложной системы должен попасть в точку A' задней поверхности H'. В эту точку он должен попадать,
выходя из А в любом направлении к H'. Выберем одно из них, удобное для решения нашей задачи. Пусть луч 1 из А проходит через передний фокус сложной системы, тогда по второму правилу идеальной оптической системы на выходе из второго элемента луч света 3 должен идти параллельно главной
27
оптической оси. Но из второго элемента луч света будет выходить параллельно оптической оси, только тогда, если на этот элемент луч света 2 попадает,
пройдя через передний фокус этого элемента (согласно второму правилу).
Из рисунка видно, что для подобных прямоугольных треугольников с общей вершиной в F справедливо равенство
y |
|
|
f |
(16) |
|
y ' |
x |
f |
|||
|
|
||||
|
|
1 |
1 |
|
Из подобия прямоугольных треугольников с общей вершиной в F2
следует равенство
y |
|
f2 |
(17) |
y ' |
f ' |
||
|
|
1 |
|
Из равенства левых частей в (16) и (17) следует
x |
f |
|
|
||
f |
1 |
1 |
f2 |
(18) |
|
f1 ' |
|||||
|
|
|
|||
С другой стороны для первого элемента точка F является источником, а
точка F2 – ее изображением. Тогда для этого элемента справедлива формула Ньютона (5), которая для используемых в рисунке обозначений записывается следующим образом: x1 f1 f1 ' . Из этого равенства получаем выражение
x |
f1 f1 ' |
, |
(19) |
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
где Δ=d+f2 –f1'. После подстановки (19) в (18) находим переднее фокусное расстояние сложной системы
f |
f1 f2 |
. |
(20) |
|
|||
|
|
|
|
По определению фокусное расстояние сложной системы определяется через переднее фокусное расстояние формулой:
28