3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / conspectus

интенсивности света, а, следовательно, является константой и показатель преломления n Re .

Если же амплитуда E0 падающей волны E(t) E0 cos(t) велика, то под действием поля этой волны амплитуда колебаний электрона также становятся большой и упругая сила, удерживающая электрон в атоме уже должна включать в себя и члены нелинейные по смещению

F kx A(2) x2 A(3) x3 ...,

т.е. осциллятор становится ангармоническим. В этом случае поляризация

P(t) eNx(t) ,

а вместо уравнения (3) нужно решать уравнение

r r эти функции должны преобразовываться по правилу P P , E E .

Как видно из уравнения (5) для сред с центром инверсии коэффициенты K у

членов с четными степенями P должны равняться нулю, так как они не удовлетворяют правилу преобразования. В связи с этим все нелинейные материалы разделяют по степени низшей нелинейности: так среды с центром инверсии обладают кубической нелинейностью, а все остальные квадратичной нелинейностью.

11.2.2. Среды с кубической нелинейностью

Изотропные среды, как правило, имеют кубическую нелинейность,

поэтому в (5), в пренебрежении всем более малыми членами, остается только член с коэффициентом K3 :

Решение этого уравнения будем искать в виде

249

11.2.4. Условия генерации второй гармоники

Наличие квадратичной нелинейности необходимо, но недостаточно для генерации второй гармоники. Рассмотрим более подробно условия генерации второй гармоники.

Распространение света в нелинейном материале происходит следующим образом: электрическое поле распространяющейся волны порождает волну поляризации, из-за чего в каждой точке материала создается изменяющаяся поляризованность. Изменяющаяся поляризованность порождает в этих точках вторичную электромагнитную волну, которая складывается с волной,

вызвавшей волну поляризации. Суммарная волна в свою очередь снова порождает волну поляризации, которая в следующих точках среды создает изменяющуюся поляризованность, эти точки становятся источником вторичной электромагнитной волны и так до тех пор, пока волна не выйдет из материал.

Волна поляризации (см. (16)) распространяется с той же фазовой скоростью, что и основная волна:

где k2 – волновой вектор вторичной волны. Будем полагать, что свет идет вдоль оси Х с началом отсчета на передней поверхности материала и пусть L – длина пути, который проходит свет в нелинейной среде. Предположим, что на расстоянии х от передней поверхности произошло рождение вторичной волны,

тогда на выходе из материала будет волна

второй член у аргумента косинуса представляет собой фазу волны поляризации в точке х, т.е. эта фаза с которой рождается вторичная волна, а третий член –

252

фаза, которую дополнительно приобретет вторичная волна от точки рождения до точки выхода из материала. Поскольку такие волны рождаются во многих точках среды и эти волны являются когерентными, то они должны интерферировать. Сложим волны, которые были рождены в некотором бесконечно малом слое dx. Суммарная волна от этого слоя на выходе из материала:

Поскольку нас интересует результат сложения всех волн,

сгенерированных на пути распространения света, то последнее выражение надо проинтегрировать по длине пути:

В (18) введены обозначения

Выражение (19) определяет так называемую волновую расстройку – характеризующую степень отличия волновых векторов основной волны и

второй гармоники.

Из выражения (18) видно, что волна на выходе имеет удвоенную частоту,

а амплитуда волны (множитель перед косинусом) зависит от L. Первое

значение, при котором амплитуда принимает максимальное значение –

называется длиной когерентности. Как видно из (21) эта длина имеет величину нескольких десятков длин волн, что меньше толщин обычно используемых образцов материала. Поэтому для эффективной генерации второй гармоники нужно чтобы волновая расстройка равнялась нулю k 0 . Или, как следует из

(19), чтобы выполнялось условие фазового (волнового) синхронизма:

n 0 (22)

При выполнении условия (22) длина когерентности (21) стремится к бесконечности, при этом, согласно (18), интенсивность второй гармоники

I2 const L2 ,

то есть эффект генерации второй гармоники накапливается с увеличением длины проходимого светом пути в нелинейном материале.

В изотропных материалах условие фазового синхронизма (22), вследствие дисперсии никогда не выполняется n() n(2) n 0 . Выполнение

условия фазового синхронизма может иметь место в анизотропных средах.

Действительно, например, в одноосных кристаллах вдоль каждого направления распространяется две волны, обыкновенная (о) и необыкновенная (е), в общем случае их показатели преломления различны, поэтому в отрицательном кристалле no () ne () . С ростом частоты, в случае нормальной дисперсии показатель преломления растет no (2) no (); ne (2) ne () и для некоторых направлений в кристалле может оказаться, что no () ne (2) .

На рис. 3 это направление показано зеленой линией, оно составляет угол

θс с оптической осью кристалла. Его легко вычислить. Действительно,

показатель преломления необыкновенной волны для частоты 2ω зависит от

направления:

254

показателя преломления при частоте 2ω.

O

c

n2o n2o

2

ne

no no

ne

ne

n2e O'

Рис. 3. Сечение индикатрисы показателя преломления одноосного отрицательного кристалла. Штриховой коричневой линей показано сечение для показателей преломления на частоте 2ω, синей сплошной линией показано сечение для показателей преломления на частоте ω. Линия OO' – оптическая ось кристалла, зеленой линией показано направление,

вдоль которого выполняется условие синхронизма

Из равенства

no ( c ) ne2 ( c )

находим, что направление в кристалле, вдоль которого выполняется условие фазовой синхронизации, составляет угол θс, определяемый выражением:

255

Если основная обыкновенная волна распространяется под этим углом в одноосном кристалле, например KDP, то генерируется двойная гармоника,

обладающая поляризацией необыкновенной волны.

256

1.2. Связь между фотометрическими величинами и энергией излучения

................................................................................................................................. 10

2.6.Уравнение связи между положениями источника и его