3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / conspectus

Сравнивая полученную зависимость с рис. 2, можно видеть, что эта зависимость хорошо описывает зависимости ρω при малых частотах и совершенно не подходит для больших частот.

У формулы (9) есть еще один недостаток. Если попытаться вычислить плотность энергии для частотного диапазона

то из полученного выражения следует, что при увеличении частоты ω0 в

область высоких частот (ультрафиолетовых частот), плотность энергии становится бесконечно большой: W , при 0 . Что противоречит здравому смыслу. Этот результат вызвал в свое время много эмоций среди физиков, поскольку он был получен исходя из устоявшихся классических представлений в термодинамике и механике. Сложившуюся в связи с этим ситуацию некоторые из них характеризовали как «ультрафиолетовую катастрофу».

9.3.2. Формула Вина

Другой способ получения средней энергии одного колебания был предложен немецким физиком Вином. Он рассуждал следующим образом,

каждое колебание обладает энергией ( ) , количество колебаний с определенной энергией должно определяться распределением Больцмана:

( )

N N0e kT .

Тогда средняя энергия одного колебания определяется как

Энергию одного колебания можно записать через частоту:

( ) H ,

199

где H – постоянная. Таким образом, согласно Вину, спектральная плотность равна:

Эта формула дает хорошее согласие при больших частотах, но при переходе к малым частотам появляются значительные расхождения с экспериментальными данными.

9.3.3. Формула Планка

Поскольку формула Рэлея–Джинса и формула Вина хорошо описывают противоположные участки частотного интервала, то, как предположил Планк,

они являются предельными случаями некоторой общей формулы. Эту формулу он нашел методом подбора:

экспериментом во всем частотном диапазоне.

Однако, для вывода формулы (11) исходя из физических соображений,

Планку потребовалось ввести гипотезу о квантовании энергии колебаний.

Действительно, в случае, когда энергия колебаний может принимать любые значения, распределение числа колебаний по энергиям подчиняется

закону Больцмана N ( ) Ce Ce q , q 1 . Поэтому средняя энергия:

kT

kT

200

То есть получилось такое же выражение для средней энергии (9), которое привело к спектральной плотности Рэлея–Джинса.

Однако Планк заметил, что если в (12) заменить интеграл на сумму геометрической прогрессии, то может получиться выражение, содержащее экспоненту. Основное предположение Планка состоит в том, что энергия колебания всегда кратна некоторой минимальной энергии min :

то есть энергия «квантуется» – принимает только определенные значения. Шаг

Если предположить, что min H , то после подстановки (14) в

выражение для спектральной плотности (7), получается формула Планка (11).

Таким образом, гипотеза Планка о том, что энергия колебаний волн теплового излучения меняется дискретным образом, приводит к правильному выражению для спектральной плотности, и гипотеза переходит в разряд

201

законов и фактов. Отдельно отметим, что минимальная энергия колебания с частотой ω = 2πν: min h .

Гипотеза Планка противоречила классической физике, в которой энергия системы может принимать любые значения и меняется непрерывным образом.

9. 4. Законы излучения абсолютно черного тела

Используя формулу Планка, можно вывести несколько законов,

связывающих характеристики излучения тела с его температурой. Эти законы называют законами излучения абсолютно черного тела, т.е. предполагается, что

( ,T ) 1.

9.4.1. Закон Стефана–Больцмана о зависимости светимости тела от его температуры

Поскольку светимость есть мощность, излучаемая во всем частотном диапазоне, то для того, чтобы ее найти, нужно проинтегрировать излучательную способность ε тела по всему частотному диапазону:

Получившееся выражение обычно записывают в следующем виде:

(15)

излучения абсолютно черного

называется константой Стефана–Больцмана.

202

Не всякое тело можно считать абсолютно черным, в этом случае говорят что «тело серое», поэтому в закон (15) вводится поправочный коэффициент А,

называемый «коэффициент серости» или «степень черноты». Этот коэффициент определяют опытным путем, его значения 0 A 1. Закон Стефана–Больцмана для серых тел

пропорционально четвертой степени температуры, что подтверждается в бытовом опыте. Например, при нагревании железного стержня яркость нагретой части тем больше, чем больше ее температура.

9.4.2. Закон смещения Вина о длине волны, на которую приходится максимум энергии излучения

На кривых спектральной плотности имеется ярко выраженный максимум

(см. рис. 1). Найдем длину волны, соответствующую максимуму спектральной плотности (физически это означает, что в спектре излучении тела линия,

соответствующая данной длине волны, самая яркая). Это стандартная задача

Решение этого уравнения можно найти численно – x0=4,96. Но данное значение х0 соответствует длине волны, на которую приходится максимум функции (18). Следовательно,

203

Выражение (20) называют законом смещения Вина, а константу b –

постоянной Вина. Согласно этому закону, увеличение температуры тела приводит к смещению наиболее яркой линии в спектре его излучения в сторону более коротких длин волн. Этот закон также подтверждается повседневным опытом, например, по мере нагревания части металлического тела она меняет свой цвет с красного на желтый, а затем на синий. Этот закон позволяет также измерять температуры удаленных тел, например, звезд. Измеряя длину волны самой яркой линии в спектре излучения звезды, и считая ее абсолютно черным телом, с помощью закона смещения Вина можно найти температуру поверхности звезды.

9.5. Линейчатые спектры излучения и поглощения

То, что излучение состоит из дискретного набора частот, было обнаружено еще задолго до Планка. Многие исследователи фиксировали, что спектр от пламени газовой горелки дает не сплошной спектр, как в случае солнечного спектра, а состоящий из отдельных линий. Особенно ярко эти линии проявлялись, если в пламя горелки внести, например натрий,

окрашивающий пламя в желтый цвет. Если внести другой материал, то наиболее яркими становились другие линии в спектре.

С другой стороны, Фраунгофер в спектре Солнца обнаружил темные линии (рис. 3), которые подробно изучил Кирхгоф и дал объяснение происхождению этих линий. Сейчас они называются фраунгоферовскими, хотя задолго до него их наблюдал Волластон, который не придал значения этому результату.

204

Рис. 3. Фраунгоферовские линии в спектре Солнца

Он заметил, что темные линии в солнечном спектре наблюдаются в местах, где находятся линии спектра излучения некоторых газов. Чтобы проверить эту догадку, он провел следующий эксперимент: внес в пламя горелки натрий, пары натрия светились и он фиксировал в спектре излучения характерную для натрия двойную желтую линию (дублет). Затем, он освещал область, где светились пары натрия, дуговой лампой, имеющей сплошной спектр излучения. Но на фоне этого сплошного спектра в том месте, где у натрия находился дублет, Кирхгоф увидел темный дублет (рис. 4).

Рис. 4. Спектры излучения (вверху) и поглощения для натрия

Когда он убирал освещение от дуговой лампы, то темный дублет снова становился желтым, т.е. получается, что натрий поглощает некоторые части спектра излучения дуговой лампы.

Из этого он сделал вывод, который называют законом обращения линий Кирхгофа: линии поглощения соответствуют линиям испускания. Сейчас мы знаем, что атомы из непрерывного спектра поглощают излучение тех длин волн, на которых они сами излучают.

205

Установив этот факт, он смог объяснить происхождение фраунгоферовских линий в спектре Солнца. Положение этих темных линий соответствовало линиям поглощения водорода, кальция, натрия и других веществ. Именно таким образом, по линиям поглощения в атмосфере Солнца

позднее был открыт гелий.

Фактически Кирхгоф заложил основы спектрального анализа – мощнейшего метода изучения состава вещества, применяемого во многих

отраслях науки и техники.

Однако, положение линий в спектре не находило никакого физического объяснения, для начала нужно было найти хотя бы какие-нибудь закономерности в положении линий в спектре. Впервые это удалось Бальмеру.

где R – постоянная (постоянная Ридберга). Этот набор линий называется серией Бальмера.

Позднее, в ультрафиолетовой части спектра водорода была обнаружена еще одна серия (серия Лаймана), подобная бальмеровской:

Затем в инфракрасной части спектра водорода Пашен нашел еще одну серию – серия Пашена:

Другие исследователи в инфракрасной области спектра водорода в дальнейшем находили серии, подчиняющиеся простой зависимости:

Результат Бальмера был получен еще до того как Планк высказал предположение о квантованности энергии, т.е. уже существовали экспериментальные факты, указывающие на справедливость его гипотезы.

Хотя, в серии Бальмера шаг изменений в энергии излучения не был постоянным, но сам факт дискретной зависимости в изменении частот подтверждал гипотезу Планка.

Существование серий излучения в спектрах атомных газов нашло объяснение в теории Бора. Не будем вдаваться в подробности этой теории,

ограничимся лишь основными постулатами этой теории, основанной на идее Планка о квантовании энергии излучения.

1.Атомы могут находиться длительное время только в некоторых устойчивых состояниях, которые называют стационарными.

2.Переход атома из одного стационарного состояния Wn в другое Wm

сопровождается излучением (если Wn Wm ) или поглощением (если

Wn Wm ) кванта света с частотой Wn Wm .

Как видим, первый постулат закрепляет справедливость гипотезы Планка, а второй определяет, что излишек энергии при переходе атома из одного стационарного состояния в другое излучается в виде световой энергии.

Фактически, второй постулат устанавливает причину появления света – переход атома из возбужденного состояния с большой энергией в состояние с меньшей энергией. Следовательно, спектральный состав излучения атома определяется набором возможных для него стационарных состояний.

9.6. Фотоны

9.6.1. Фотоэффект

Явление фотоэффекта (фотоэлектрический эффект) впервые экспериментально наблюдал Г.Р. Герц, когда он изучал электрический пробой между заряженными шариками. Он установил, что при освещении одного из

207

шариков – катода – ультрафиолетовым светом пробой возникает при меньшей разности потенциалов между ними. Этот эффект был затем детально изучен А.Г. Столетовым. Усовершенствованная схема опыта Столетова показана на рис. 5.

K A

V

A

Рис. 5. Схема опыта Столетова. К – катод, А – анод

В сосуде с откачанным воздухом размещаются два электрода: катод – К и

анод – А. С помощью вольтметра фиксируют напряжение на электродах. Катод освещается через специальное окно ультрафиолетовым светом. Возникает фототок, величина которого регистрируется амперметром. Столетов определял зависимость силы фототока от напряжения на электродах (рис. 6) при различных характеристиках излучения, освещающего катод, для различных материалов катода.

Рис. 6. Зависимость фототока от разности потенциалов на электродах

208