3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / conspectus

Угловая дисперсия D . Она определяет разницу углов дифракции для максимумов у волн, отличающихся на единицу

одномерных, если положить их друг на друга так, чтобы надрезы одной решетки составляли острый или прямой угол с надрезами другой. Примером двумерной решетки может быть прозрачная ткань. Рассмотрим случай, когда надрезы в двух решетках взаимно перпендикулярны. Одна решетка периодична вдоль оси Х, ее период – d1, а прозрачная часть периода имеет ширину а1.

Другая периодична по Y с периодом – d2 и шириной прозрачной части а2.

Тогда поле в отверстиях дифракционной решетки описывается следующей функцией (по аналогии с одномерной):

Подставляем (59) в выражение (37), определяющее дифракционное поле в случае фраунгоферовской дифракции, получим выражение:

189

Интенсивность дифракционного поля от двумерной решетки будет определяться выражением:

I0I1(kx )I2 (ky ) .

Как можно видеть полученное выражение подобно выражению для интенсивности дифракционного поля от одномерной решетки вдоль оси Х,

только это поле модулировано (умножается) еще и вдоль оси Y.

Максимумы по осям Х и Y наблюдаются под углами, удовлетворяющими соответствующим условиям:

190

Рис. 24. Пример дифракции на двумерной структуре. Период по вертикальной оси в два раза

больше периода по горизонтальной оси

8.7. Дифракция рентгеновских лучей

Правильную трехмерную структуру, на которой бы могли дифрагировать световые лучи, пока еще не создали. Однако примером структуры,

периодичной по всем трем направлениям может быть структура кристалла,

например, кубического кристалла, который представляет собой систему атомных плоскостей, размещенных периодически по всем трем направлениям.

Расстояние между соседними атомными плоскостями называется постоянной решетки – это аналог периода дифракционной решетки. В общем случае постоянные решетки по всем трем направлениям различаются. Однако, для того, чтобы было можно наблюдать дифракционную картину, необходимо чтобы постоянная решетки была сравнима с длиной волны (см. например, (61)).

Поскольку постоянная решетки у кристаллов d 10 10 м , то и длина волны излучения, при котором возможна дифракция на кристалле, должна быть такого же порядка – 10 10 м . Но эти длины волн лежат в рентгеновской области

электромагнитного излучения.

191

При наблюдении рентгеновской дифракции на кристаллической структуре фиксируют положение дифракционных максимумов, которые удовлетворяют условиям Лауэ:

di (cos i cos 0,i ) mi ; i 1, 2,3;

(62)

cos2 1 cos2 2 cos2 2 1.

Здесь (0,1, 0,2 , 0,3) – углы между падающим пучком излучения и главными осями (X, Y, Z) в кристалле. Углы αi характеризуют направление дифрагировавшего луча относительно атомной плоскости.

Как уже отмечалось выше, фраунгоферова дифракция представляет собой фурье-преобразование поля, образованного чередующимися прозрачными и

непрозрачными частями объекта: (k) E(r)e ik r d r . Поэтому, фиксируя в

эксперименте фурье-распределение (k) , можно решить обратную задачу – найти E(r) , т.е. установить кристаллографическую структуру материала.

Процедура определения кристаллографической структуры материала по его дифракционному спектру называется рентгеноструктурным анализом. В

настоящее время, рентгеноструктурный анализ является хорошо развитой методикой определения структуры различных материалов и объектов, и

широко применятся в различных исследованиях.

192

9. ЗАКОНЫ ИЗЛУЧЕНИЯ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА. КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА

9.1. Основные характеристики теплового излучения

Исследование теплового излучения привело к появлению представлений

оквантовых свойствах света и последующему развитию квантовой физики. Это классический пример того, как исследования, имеющие на первый взгляд, лишь академический интерес, могут привести к возникновению новых представлений

омире, возникновению новых наук, обладающих не только огромным фундаментальным значением, но и неизмеримыми возможностями практического применения новых знаний.

Тепловое излучение – это свет, излучаемый нагретыми телами. Свет,

который окружает нас в повседневной жизни, и которому мы обязаны самой жизнью, рожден Солнцем. В быту мы часто используем лампочки накаливания,

в походе готовим пищу на огне, при отсутствии электричества используем свечи и керосиновые лампы. Все это примеры теплового излучения. Даже человек является источником теплового излучения.

Важность исследования теплового излучения связана с его широкой распространенностью. Необходимо отметить, что тела способны не только излучать, но и поглощать тепловое излучение, а поглощая это излучение,

нагреваться и излучать. Поэтому тела всегда характеризуются их излучательной и поглощательной способностями – некоторыми величинами,

которые можно измерить экспериментально.

Поглощательная способность α определяет какая доля от энергии Wпад

света, падающего на тело в единицу времени, поглощается телом:

193

соответствующих предельным значениям α: при α = 0 говорят об «абсолютно белом теле»; а при α = 1 – об «абсолютно черном теле». На практике эти случаи не реализуются, но некоторые тела можно приближенно считать «абсолютно белыми» или «абсолютно черными». Примерами объектов, к которым применимы эти понятия, являются мел и сажа, соответственно.

Экспериментально установлено, что поглощательная способность тела зависит от частоты света падающего на него и от температуры тела. При этом характер зависимости ( ,T ) различен у разных тел.

Испускательная способность ε тела определяет энергию, излучаемую в единицу времени, с единицы площади тела, на единице частотного интервала

, d . Экспериментально было установлено, что испускательная способность также зависит от частоты и температуры тела: ( ,T ) .

В обоих определениях фигурирует энергия в единицу времени, т.е.

мощность, поэтому в дальнейшем будем использовать понятие мощности.

Спектральная плотность излучения ρω(ω, Т) определяется как объемная плотность энергии излучения, приходящаяся на единицу частотного интервала

, d :

d

9.2. Опыты Кирхгофа

Кирхгоф исследовал равновесное тепловое излучение в некотором объеме. Под равновесием здесь понимается ситуация, когда в каждой точке объема поглощенная мощность равна мощности излучения. Таким образом, в

объеме отсутствуют тепловые потоки, в каждой точке устанавливается одна и та же температура.

194

Схема опыта была следующая: в некоторую замкнутую полость помещалось нагретое до некоторой температуры тело и тело, характеристики которого требовалось изучить. Полость была изготовлена таким образом, чтобы предотвратить передачу тепла из полости во внешнее пространство. Спустя некоторое время, когда в полости устанавливалось термодинамическое равновесие, в стенке полости делали небольшое отверстие, через которое выходило тепловое излучение, характеристики которого измерялись.

Кирхгофом было установлено два факта, которые носят название законов Кирхгофа:

1. Отношение ( ,T ) inv не зависит от природы и свойств тел, находящихся

( ,T )

в полости, и не зависит от природы и свойств стенок полости.

спектральной плотности излучения ρ(ω, Т): ( ,T ) c ( ,T ) . ( ,T ) 4

Из последнего выражения следует, что максимальной испускательной способностью обладает «абсолютно черное тело». Обращаем на это особое внимание, поскольку часто ошибочно считают, что «абсолютно черное тело» –

это тело, которое «все поглощает и нечего не испускает».

Спектральная плотность излучения в эксперименте обычно измеряется как функция длины волны (рис. 1), поэтому найдем связь между выражениями

( ,T ) и (,T ) для спектральной плотности, зависящей от длины волны и от частоты, учитывая, что 2c / .

195

Попытки получить теоретически выражение для спектральной плотности,

которое бы описывало экспериментальные зависимости на рис. 1, привели к необходимости пересмотра представлений о свете и пересмотра всей классической физики.

9.3. Вычисление спектральной плотности излучения. Формула Планка

Поскольку спектральная плотность представляет собой энергию волн,

имеющих частоту ω в единице объема, то чтобы вычислить спектральную плотность нужно посчитать количество волн с такой частотой в единице объема, а потом умножить это число на среднюю энергию одной волны.

Рассмотрим полость в форме шара диаметром D. В случае термодинамического равновесия, переноса энергии в полости не происходит, это значит, что волны в

полости являются стоячими, т.е. вдоль любого направления D n 2 n c , где

n – число колебаний с частотами от 0 до ω. Тогда, на единицу геометрической длины в полости приходится число волн, равное ne Dn c . Чтобы найти

общее число волн, приходящихся на единицу объема, нужно просуммировать

всем трем направлениям декартовой системы координат числа ne являются положительными, т.е. объем в первом октанте.

Таким образом, плотность энергии в полости:

197

колебания по одной степени свободы.

Подставляя (4) в (5) и дифференцируя по частоте, найдем спектральную

плотность (ср. с (2)):

Электромагнитная стоячая волна представляет комбинацию двух полей,

колеблющихся со сдвигом на половину длины волны, поэтому для получения окончательного выражения для спектральной плотности нужно (6) умножить на

2:

Основные трудности возникли в вычислении средней энергии одного колебания.

9.3.1. Формула Рэлея-Джинса

Из термодинамики известно, что в случае термодинамического

равновесия энергия, приходящаяся на одну степень свободы, равна kT2 , где k –

постоянная Больцмана, а T – температура. С другой стороны из механики известно, что при гармонических колебаниях средняя потенциальная энергия равна средней кинетической, т.е. для гармонических колебания средняя энергия колебания с частотой ω, равна

kT . (8)

Тогда для спектральной плотности излучения получаем формулу Рэлея– Джинса: