3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / conspectus

и Y. Таким образом, по своему смыслу дифракция Фраунгофера (38)

представляет разложение в поля ЕА в области А по пространственным частотам kx и k y .

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера на отверстиях разной формы.

Прямоугольное отверстие

Начало системы координат UWZ (рис. 17) поместим в центр

прямоугольника. Размер отверстия по оси U равен 2p, а по оси W – 2q. Для простоты будем считать, что поле в отверстии: ЕА (u,w) = С0 = const во всех точках отверстия А. Тогда поле в точке Р, согласно (38):

Умножая последнее выражение в (40) на комплексно сопряженное ему,

находим выражение для интенсивности света в произвольной точке Р, угловые координаты которой (kx, kx):

«синк»). График квадрата этой функции приведен ниже:

179

Рис. 18. График функции sinc2(x)

Тогда результатом расчета по (41) будет следующая двумерная картина

(чем светлее, тем больше интенсивность):

Рис. 19. Вид дифракционной картины от прямоугольного отверстия

(высота q щели по оси W больше в 1,5 раза ширины p по оси U: q/p=1,5)

Подобного вида картину можно наблюдать в быту, если смотреть через

прозрачную ткань (например, тюль) на удаленный источник света.

180

Бесконечно длинная щель

Отличие от предыдущего случая в том, что по одной оси координат границы находятся в бесконечности. Допустим, что q = ∞. Предполагаем, что источник света – бесконечно тонкая нить параллельная щели. В этом случае по оси Y условие фраунгоферовской дифракции NF 1 не выполняется, а по оси Х выполняется. Поэтому для вычислений нельзя использовать (39) так как в нем предполагалось, что по всех координатам выполняется условие фраунгоферовской дифракции. Нужно вернуться к выражению (30),

описывающему дифракцию на одномерной структуре, сделаем в нем замену z b, а в экспоненте под интегралом оставить только линейные по x и u члены

– случай фраунгоферовской дифракции по оси Х. Тогда выражение для поля при дифракции на щели:

происходит так, как показано на рис. 18, где x k sin x p . Отметим, что (43)

устанавливает зависимость интенсивности от угла x . Минимумы интенсивности имеют место, если

181

k sin x p m , где m 1, 2,...

которым виден m-й дифракционный минимум при дифракции на щели света с длиной волны λ.

8.6. Дифракционные решетки

Выше мы рассматривали случаи дифракции на одиночных отверстиях.

Если же отверстий много, то в этом случае необходимо производить интегрирование по всем отверстиям. Если отверстия расположены в непрозрачном экране периодически, то в этом случае говорят об амплитудной дифракционной решетке. Можно дать следующее определение амплитудной дифракционной решетки: дифракционная решетка – оптический прибор,

представляющий собой периодически чередующиеся прозрачные и непрозрачные участки. В оптическом диапазоне могут существовать двумерные и одномерные решетки. Примером двумерной решетки может быть прозрачная ткань.

8.6.1. Одномерная дифракционная решетка

На практике используют одномерные решетки, которые представляют собой прозрачную плоскопараллельную стеклянную пластинку с нанесенными на ней надрезами в виде параллельных линий, сделанными так, что расстояние между всеми соседними надрезами постоянно по всей пластинке (рис. 20).

Надрезы – это непрозрачные участки.

182

С В Е Т

Рис. 20. Схема амплитудной дифракционной решетки с периодом d. Прозрачная часть имеет

ширину а

Будем полагать, что щели можно считать бесконечно длинными,

имеющими ширину а. Тогда для расчетов можно использовать выражение (42),

от дифракционной решетки

Сумму в (45) легко посчитать, потому что она представляет собой геометрическую прогрессию из N слагаемых, знаменатель прогрессии – q e ik sin xd , q 1. Тогда

После подстановки (46) в (45) и умножения получившегося выражения на его комплексно сопряженное, получим выражение для интенсивности

дифракционного поля от дифракционной решетки:

дифракции на одной щели (ср. с (43)), а множитель

связан с тем, что щелей N. Максимальное значение этого множителя – N2 в

точках, где знаменатель равен нулю, т.е. при

главного максимума дифракционной картины при нормальном падении света на дифракционную решетку:

(50)

Для случая падения света под углом θ0 к нормали к решетке условие главных дифракционных максимумов будет определяться выражением

главных дифракционных максимумов больше интенсивности наибольшего максимума при дифракции на щели в N2 раз. Так как обычно в дифракционной решетке N ~ 1000, то максимумами от дифракции на одной щели в большинстве случаев можно пренебречь. Можно сказать, что дифракционная решетка раскладывает пучок падающего света (по оси Х) в «веер» из отдельных лучей,

184

распространяющихся под углами, определяемыми из (50) (рис. 21). Причем, у

каждой длины волны будет свой «веер».

С В Е Т

Рис. 21. После дифракционной решетки падающий не решетку поток разбивается на

несколько «лучей»

Дифракционную картину можно наблюдать, разглядывая дифракционную решетку на просвет под разными углами, при выполнении условия (50) при данном угле будет наблюдаться яркая полоса (рис. 22 а).

С В Е Т

С В Е Т

Линза

Рис. 22. Схемы наблюдения дифракционной картины: а) размещение глаза под разными углами к решетке; б) использование собирательной линзы для получения дифракционной картины на экране наблюдения

Другой способ наблюдения дифракционной картины от дифракционной решетки состоит в следующем: за решеткой помещают собирательную линзу, а

в ее фокус помещают экран наблюдения (рис. 22 б). Лучи от разных щелей,

имеющие одинаковый угол дифракции, будут собираться в побочном фокусе линзы, в определенной точке экрана наблюдения, для других углов дифракции лучи будут собираться в другой точке экрана наблюдения.

185

Расчеты изменения интенсивности дифракционного поля на экране наблюдения, показаны на рис. 23 для двух длин волн – λ1 = 0,60 мкм (красный цвет, сплошная линия) и λ2 = 0,42 мкм (синий цвет, штриховая линия). Можно видеть, что свет с разной длиной волны дифрагирует на разные углы. В центре находится главный максимум с m = 0, по соседству с обеих сторон от него находятся главные максимумы с m 1 и так далее. Между главными максимумами расположены побочные максимумы с малой интенсивностью,

соответствующие дифракции на одной щели. Интенсивность главных максимумов уменьшается с ростом его номера m.

Рис. 23. Изменение интенсивности света на экране наблюдения при дифракции на дифракционной решетке. Свет падает нормально, период решетки d=0,5 мкм, ширина прозрачной части a=0,05 мкм, число периодов – N=5, расстояние между решеткой и экраном b=15 см, красным цветом для длины волны – λ1 =0,60 мкм, синим – λ2 = 0,42 мкм

Условие (50) определяет положение главного максимума с номером m. А как определяются положения главных минимумов? Из выражения (48) видно, что его числитель равен нулю, когда для углов θ выполняется условие:

186

sin min n d N

Но число n не может быть произвольным. Предположим,

что нас интересует ближайший минимум к главному максимуму с номером m 0 . Угол, под которым этот максимум наблюдается, определяется из условия (48)

Вычтем (53) из (52):

Поскольку левая часть должна иметь минимальное значение из всех возможных (так как мы ищем ближайшим минимум), то числитель у дроби в правой части должен быть также минимальным, т.е. Отсюда находим n mN 1. После подстановки найденного значения n в (52)

получаем выражение для углового положения минимума,

ближайшего к главному максимуму с номером m:

решетки

Как видно из рис. 23 дифракционная решетка может использоваться для разложения падающего на нее излучения в спектр.

разность длин волн Δλ, при которой максимум с номером m

187

для длины волны λ совпадает с минимумом m для волны с

длиной λ–Δλ. С помощью (53) и (55) находим выражение для разрешающей способности R:

Как можно видеть, разрешающая способность прямо пропорциональна номеру дифракционного порядка и числу периодов в дифракционной решетке. Следовательно, чем более тонкие различия в длинах волн требуется определять,

тем большие порядки дифракции следует использовать, или нужно использовать дифракционные решетки с большим числом

N.

Свободная дисперсия . Определяет разность длин

волн Δλ, при которой положение максимума m для волны с длиной λ+Δλ

совпадает с положением максимума (m+1) для волны с длиной λ. Используя

(53), записываем условие совпадения положений этих максимумов:

m

Как видно из (57), когда требуется, чтобы линии из соседних порядков не перекрывались, нужно использовать порядки с малыми значениями m.

188