Добавил:

nyan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Физика

Файл:

conspectus

.pdf

Скачиваний:

149

Добавлен:

23.01.2017

Размер:

2.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

раскладывая их в ряд Тейлора по степеням ub ; wb и ua ; wa . Ограничиваемся первыми тремя членами этого разложения:

ux wy

r b

(24)

s a

ux0 wy0

u2 w2

В каждом уравнении в (24) первое слагаемое значительно больше всех

остальных, поэтому

будем полагать:

;

Подстановка (24) в

экспоненту дает следующее выражение:

ux wy

ik u2 w2

a b

eik (r s) eik (a b)e

2ab .

(25)

В случае, когда аргумент у третьей экспоненты

в (25)

много меньше

единицы, т.е. когда

max u2

w2 (a b)

max u2 w2 (a b)

(26)

то эту экспоненту можно положить равной единице.

Введем

характеристику

геометрического

размера

отверстия

R max u2 w2 . Например, в случае круглого отверстия это может быть

радиус отверстия, в случае бесконечной щели это может быть половина ширины щели. Введем параметр NF , который называется числом Френеля:

N R2

a b

(27)

F ab

Тогда аргумент у третьей экспоненты в (25) можно записать следующим образом:

max u2		w2 (a b)				NF	(28)
	2		ab		2

				169

Как можно видеть, в случае NF 1 условие (26) выполняется и третьей экспонентой в (25) можно пренебречь. Этот случай соответствует дифракции

Фраунгофера. Если же NF 1, то в (25) уже нельзя пренебрегать третьей экспонентой, это соответствует дифракции Френеля. Если же NF 1, то третья экспонента быстро осциллирует и ее значение на интервале интегрирования равно нулю, т.е. это значение волнового параметра соответствует отсутствию поля – геометрической тени.

Смысл волнового параметра можно определить, если вспомнить, что

abm – радиус m-ой зоны Френеля (см. выражение (6)). Тогда NF – это число

a b

видимых зон Френеля.

В случае

1 в точке наблюдения видна только

малая часть первой зоны; случае NF

1 видны несколько зон Френеля.

Если препятствие освещается плоской волной, т.е. a , то NF

тогда на расстояниях b

(непосредственно за препятствием) наблюдают

геометрическую тень,

на

расстояниях b

(вблизи препятствия)

–

дифракцию Френеля, а

на

расстояниях

(далеко от препятствия)

–

дифракцию Фраунгофера.

Рассмотрим каждый из этих случаев дифракции отдельно.

8.5.3. Дифракция в ближней зоне (дифракция Френеля)

Преобразуем (20) к виду, удобному для интегрирования.

(P)	iE0		eik (r s)	dσ	i	EA (u, w)	eikr	dudw ,
(P)				dσ		EA (u, w)		dudw ,
		SA	rs		SA		r

где EA (u, w) – поле, созданное источником в области отверстия,

170

			x u	2	y w	2
	x u 2 y w 2 z2			2		2
r	x u 2 y w 2 z2	z					.
			2z		2z

Если сравнить последнее выражение с (24), то видно, что фактически здесь считается, что z b , что имеет место при небольших углах между z и b.

Поэтому дифракцию Френеля иногда называют дифракцией в слабо расходящихся пучках. Поскольку z – задаваемое расстояние между отверстием

и экраном наблюдения, а также 1r 1z , то

(x, y) i eikz		( x u)2		( y w)2
	E (u, w)eik		eik
		2z		2z dudw . (29)

z SA A

Вдальнейшем будем полагать, что в любой точке отверстия поле одно и

то же EA(u, w) C0 .

Дифракция Френеля на щели

Пусть в экране сделана бесконечно длинная щель шириной d. Начало системы координат поместим в центр щели, в этом случае поле около экрана с

				d
				d
0,		u
				2		. Тогда
				2
отверстием зависит от одной координаты E(u, w) E(u)					d
С ,			u


	0			2
	0

(29) будет иметь следующий вид:

( x u)2

C0e

ikz

P (x)

du , (30)

где

( y w)2

2iz

C e

(1 i)

. (31)

Введем обозначения

171

(u x) ;

;

(32)

Тогда интеграл в (30)

( x u)2

2 z

dt i

cos

sin

. (33)

cos

dt i

sin

В (33) входят однотипные интегралы, для них вводят обозначения

S(t )

C(t ) cos

dt ;

sin

dt . (34)

Эти функции называют интегралами Френеля (не путать с интегралом Френеля (1)), для них существуют таблицы значений. После подстановки (34) в (33) и с учетом (31) интеграл (30) примет такой вид

P (1 i)C0 eikz C(t2 ) C(t1) i S(t2 ) S(t1) . (35) 2

Переходим к интенсивности света в точке Р:

I (P) I20 C(t1) C(t2 ) 2 S(t1) S(t2 ) 2 I20 l2 (t1,t2 ) . (36)

Здесь l2 (t1,t2 ) – квадрат расстояния между точками на кривой, которая называется спиралью Корню (другое название – клотоида), соответствующих параметрам t1 и t2 . На рис. 12 показана спираль Корню, представляющая собой симметричную параметрическую кривую: по оси Х отложены значения функции C t , а по оси Y отложены значения функции S t , при изменении t от до .

172

0.5		1,5
	S(t)	1,5
	S(t)
		t∞
			1,0
		0,5	C(t)
		0,5
	–0,5
–1,0	t–∞
	t–∞
	–1,5
	Рис. 12. Спираль Корню. Точки следуют с шагом t 0,1

На рис. 12 в первом квадранте кривая для положительных значений t, а в

третьем для отрицательных. В начале

координат t=0.

Соседние

точки на

кривой соответствуют изменению параметра

0,1.

В центре ветвей этих

кривых указаны точки,

соответствующие значениям

t и

t .

Координаты этих точек

, соответственно.

Для демонстрации решения задач, с использованием спирали Корню,

рассмотрим конкретную задачу. Но прежде упростим выражения для параметров t1 и t2.

d 2

k d

1 p ,

173

	k	d
t2				x
			2
	z

d 2		2x			2x
			2NF 1 p , где	p		.
	1
					d
2z		d

С В Е Т

Экран с щелью

Экран наблюдения

x=-d/2 x=0 x=d/2

Рис. 13. Схема наблюдения дифракции на щели

Предположим, что в нашей задаче NF 2 , тогда в центре проекции щели на экран наблюдения (рис. 13) x 0; p 0; t1 2; t2 2 . Для этих точек t1 и t2 расстояние между ними l1=1,194 (рис. 14 – крупный пунктир). Так как картина дифракции должна быть симметрична относительно центра, то рассмотрим интенсивность в нескольких точках при перемещении по экрану наблюдения от центра картины в сторону положительных х. На краю щели

x	d	; p 1; t	4; t		0 ,	l2=0,652 (рис. 14 –				сплошная линия). При
x		; p 1; t	4; t	2	0 ,	l2=0,652 (рис. 14 –				сплошная линия). При
2		1		2
2
дальнейшем увеличении					x	3d	; p 1,5; t	5; t		1	, l2=0,225 (рис. 14 –
дальнейшем увеличении					x		; p 1,5; t	5; t	2	1	, l2=0,225 (рис. 14 –
						4	1		2
						4

мелкий пунктир).

174

0.6
0.4
0.2
0.5	0.5
0.2
0.4
0.6
Рис. 14. Линии соединяют точки t1	и t2

С помощью подобных вычислений можно найти интенсивность в любой точке экрана наблюдения, расположенного за щелью. Ниже приведены несколько рисунков (рис. 15), демонстрирующих изменение интенсивности на экране наблюдения (значения интенсивности с точностью до множителя), при разных значениях чисел Френеля (расстояние от щели до экрана наблюдения увеличивается).

Можно видеть, что при больших NF вся интенсивность распределена в области щели ( p 1), в геометрической тени ( p 1) света почти нет. При удалении от щели, пучок света от нее расширяется, часть его уже попадает в область геометрической тени. Чем дальше от нее, тем шире пучок. На больших расстояниях уже формируются дополнительные максимумы дифракции

(последний рисунок), но расчеты для этого NF уже не соответствуют условиям применимости метода спирали Корню, мы выходим из области дифракции Френеля. Для этих значений нужно использовать уже приближение дифракции Фраунгофера.

175

			I I0
			2.0
			1.5
			1.0
			0.5
3	2	1	1	2	3
			I I0
			2.5
			2.0
			1.5
			1.0
			0.5
3	2	1	1	2	3
			I I0

		0.5
		0.4
		0.3
		0.2
		0.1
			p
4	2	2	4

			I I0
			2.0
			1.5
			1.0
			0.5
p					p
3	2	1	1	2	3
			I I0
			1.0
			0.8
			0.6
			0.4
			0.2
p					p
	4	2	2		4
			I I0

		0.16
		0.14
		0.12
		0.10
		0.08
		0.06
			p
10	5	5	10

Рис. 15. Изменение распределения интенсивности света на экране за щелью при удалении от

щели (уменьшении числа Френеля NF)

Для расчета дифракции на краю нужно положить, что край экрана имеет координаты x = 0, при положительных значениях х экран отсутствует. Тогда:

t		, а	t x	2	. Используя график спирали Корню можно найти
	2
			1	z

изменение интенсивности света на экране наблюдения (рис. 16).

176

		длина волны	0.0006см z	1.см
		I I0
		1.4
		1.2
		1.0
		0.8
		0.6
		0.4
		0.2
						x
0.2	0.1	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5
		длина волны	0.0006см z	100.см
		I I0

	1.4
	1.2
	1.0
	0.8
	0.6
	0.4
	0.2
			x
0.5	0.5	1.0	1.5

		длина волны	0.0006 см z	10. см
		I I0
		1.4
		1.2
		1.0
		0.8
		0.6
		0.4
		0.2
						x
0.2	0.1	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5

Рис. 16. Изменение интенсивности света на краю непрозрачного экрана (p=2x/d), положение

края экран соответствует p=0

Как можно видеть из рис. 16 характер изменения интенсивности такой же, как на рис. 1. Рассчитанные положения светлых и темных полос на экране наблюдения при заданных значениях параметров задачи, соответствуют измеренным положениям этих полос в опыте, проведенном при тех же параметрах. Из рис. 16 видно также, что чем дальше от края, тем дальше в область геометрической тени попадает свет.

Из приведенных выше результатов можно также сделать следующий вывод: видимые размеры отверстия всегда больше реальных размеров.

8.5.4. Дифракция в дальней зоне (дифракция Фраунгофера)

Как уже отмечалось выше, в случае NF 1 квадратичными членами в

(24) можно пренебречь, т.е. считать r b ux wy . Геометрические размеры (u, b

w) отверстия или препятствия малы по сравнению с b, поэтому можно полагать,

177

что 1r b1 . Тогда в этом приближении интеграл, определяющий поле в точке Р,

будет иметь следующий вид:

i eikb

(x, y)

(u, w) e ik

u e ik

wdudw. (37)

Из рис. 17 видно,

что

sin x , тогда

k sin x kx . Аналогично,

sin y , k sin y ky .

Рис. 17. Схема дифракции на отверстии, оси W и Y перпендикулярны плоскости рисунка (ср.

с рис. 11)

Перепишем (37) в новых обозначениях:

eikb

ik u

ik y w

(x, y)

(u, w) e x

dudw

(38)

i2 eikb

b EA (kx , ky ).

Здесь введено обозначение

ik u

iky w

, k

)

(u, w) e x

dudw .

(39)

По внешнему виду выражение (39) походит на двумерное преобразование

Фурье, в котором kx и k y являются пространственными частотами вдоль осей X

178

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методические материалы и лекции

#
23.01.20172.99 Mб149conspectus.pdf
#
23.01.20172.7 Mб100lek_optika.pdf
#
23.01.20172.74 Mб89Luks2.pdf
#
23.01.20174.3 Mб87u_lectures3.pdf
#
23.01.2017729.09 Кб86wave_opt_lex_bnv.pdf
#
23.01.2017534.13 Кб102Волновая оптика.pdf