Добавил:

nyan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Физика

Файл:

conspectus

.pdf

Скачиваний:

149

Добавлен:

23.01.2017

Размер:

2.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2717 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

А1

А∞	А∞	А1/2	А∞	А1/2
	А∞	А1/2

О	О	О
О

Рис. 7. а) волновой фронт не ограничен, вклад дают все зоны; б) видна только первая зона Френеля, в точке А1 фаза (угол касательной к спирали) изменяется на π по сравнению с точкой О, т.е. эта точка – граница первой зоны; в) видна только половина первой зоны Френеля в ее центре

Б) Рассмотрим теперь случай, когда волновой фронт ограничен отверстием, так что в точке наблюдения видна, только первая зона Френеля. От центральной точки зоны к ее краям фаза меняется от 0 до π, т.е. на спирали Френеля это соответствует кривой OA1/ 2 A1 (рис. 7б), все остальные витки спирали отсутствуют. По правилу нахождения суммы векторов результатом сложения будет вектор OA1 , а его длина, равная 2OA , будет определять амплитуду поля в точке наблюдения, из которой видна только первая зона Френеля.

В) Рассмотрим случай, когда отверстие в экране такого размера, что в точке наблюдения видна только центральная часть первой зоны Френеля,

равная половине зоны. В этом случае от спирали останется только кривая

OA1/ 2 , а результатом суммирования вектор OA1/ 2 (рис. 7в). Длина этого вектора

(по теореме Пифагора) 2OA определяет амплитуду поля в точке наблюдения для отверстия такого размера.

Как видим, с помощью спирали Френеля можно решать уже более сложные задачи по сравнению с первоначальным методом Френеля.

Существуют и другие способы разбиения волнового фронта, которые позволяют решать другие частные дифракционные задачи. Но эти методы в виду своего частного характера здесь не рассматриваются.

159

8.5. Теория дифракции Кирхгофа

Основой теории дифракции Френеля является принцип Гюйгенса– Френеля, математическим выражением которого является интеграл Френеля

(1). Недостаток этого выражения в том, что оно математически нестрогое, в нем фигурирует неизвестная функция К(φ), поэтому этот интеграл не может быть вычислен, соответственно, нельзя и найти значение амплитуды поля в конкретных случаях, а можно лишь находить амплитуду поля относительно амплитуды для случая неограниченного волнового фронта.

Необходима строгая математическая формулировка этого принципа,

которая позволяла бы получать численные значения для амплитуд поля в точке наблюдения. Кирхгофу удалось найти математическое выражение для этого принципа. Ранее подобное выражение получил Гельмгольц для монохроматических волн в акустике, поэтому получившееся математическое выражение называют интегральной теоремой Гельмгольца–Кирхгофа.

8.5.1. Теорема Гельмгольца–Кирхгофа

Очевидно, что принцип Гюйгенса–Френеля является интегральным,

поэтому его математическое выражение должно представлять собой интеграл.

Кроме того, искомое выражение для поля в точке должно выражаться через функцию, которая является решением волнового уравнения (потому что принцип Гюйгенса-Френеля касается распространения волн, а распространение волн описывается волновым уравнением). Наконец, в этом выражении должны фигурировать функции вторичных источников сферических волн, которые также являются решениями волнового уравнения. Согласно принципу Гюйгенса–Френеля, нам требуется выразить поле волны в точке через поле этой же волны на некоторой поверхности, не включающей эту точку, в общем случае – на поверхности, окружающей эту точку.

Пусть E(x, y, z,t) (x, y, z)e i t – скалярная			функция,	описывающая
поле волны, а	E (x, y, z,t) G(x, y, z)e i t	–	функция,	описывающая
	r
	160

сферическую волну. Так как эти функции должны являться решениями

	1 2E
волнового уравнения E			2 0 , то после	их подстановки в это
волнового уравнения E	2		2 0 , то после	их подстановки в это
		t
уравнение, с учетом k 2 2 , находим условия для функций и G:
2
k 2 0 и k 2 G 0 .				(8)

Эти функции будем полагать непрерывными и дважды дифференцируемыми, пусть нас интересует поле в некоторой точке Р внутри объема V, ограниченного поверхностью S. Тогда, для этих функций и для указанного объема справедлива теорема Грина:

		G
G G d		n	G	dσ . (9)
V	S	n		n
V	S

В (9) производные обозначают дифференцирование по внутренней

нормали к поверхности S. С учетом (8), левая часть в (9) равна нулю, т.е. в

нашем случае:

dσ 0 .

(10)

Пусть G(x, y, z)

eikr

– сферическая волна, где r – расстояние от точки Р

до точки x, y, z , поэтому для

поверхности S, учитывая, что внутренняя

нормаль n направлена противоположно увеличению r, находим

eikr

(11)

161

n	S

P S

Рис. 8. Точка Р исключается из области интегрирования введением сферы радиуса ε.

Нормали n направлены внутрь объема

Функция G имеет особенность в точке Р (рис. 8), поэтому для удовлетворения условиям теоремы Грины необходимо исключить из интегрирования в (10) точку Р. Для этого отделим эту точку сферой S с

центром в точке Р и радиусом ε. Тогда интегрирование в (10) будет включать интегрирование по поверхности S и поверхности S :

			eikr

		n		r
S	S

eikrr


		dσ 0 . (12)
	n

Для поверхности S направление внутренней нормали совпадает с ростом

r поэтому в (11) у правой части нужно заменить знак «–» на «+».

Тогда (12)

можно переписать следующим образом:

dσ

ikr

2dΩ

В получении последнего равенства использовалось определение элемента

телесного угла

dΩ

dσ

. После раскрытия скобок в последнем интеграле, в

пределе при

0 , P ,

и только второй член будет ненулевым:

162

P dΩ P 4 . После подстановки получившегося значения интеграла,

находим выражение для поля в точке Р:

P	1		eikr

	4		n	r
		S

eikrr


		dσ . (13)
	n

В этом выражении поле P в точке Р определяется через значения этого поля и его производной в точках произвольной поверхности S,

окружающей этой точку. Уравнение (13) является математическим выражением принципа Гюйгенса–Френеля и является одной из форм интегральной

теоремы Гельмгольца–Кирхгофа.

8.5.2. Интеграл Френеля–Кирхгофа

Кирхгоф, получив строгое математическое выражение для принципа Гюйгенса–Френеля (13), применил его для решения задач дифракции.

Рассмотрим следующую геометрию задачи: имеется бесконечный непрозрачный экран с отверстием произвольной формы, нас интересует поле в точке Р за отверстием (рис. 9).

		B
		n
	s	r
		r
L		P
L
		A

Рис. 9. Источник L создает поле в отверстии А. Вокруг точки наблюдения Р выделена

поверхность, состоящая из участков А, В и С

163

Кирхгоф ввел два условия, при которых значительно упрощается решение задачи:

1. непрозрачные части экрана не влияют на функцию и ее производную

в области отверстия (в области А на рис. 8) – они такие же, как если бы

непрозрачных частей экрана не было;

2. для непрозрачных частей экрана (областей В на рис. 8) 0 и 0 .n

Эти условия называют граничными условиями Кирхгофа, совместно с

(13) они являются основанием теории дифракции Кирхгофа.

Согласно рис. 9, интеграл по поверхности (13) можно представить в виде суммы интегралов по поверхности участков А, В и С:

P	1				eikr
	4				n	r

		SC	SB	SA

eikrr


	dσ	. (14)
n

Участок поверхности С можно выбрать как угодно далеко удаленным от точки Р, например, бесконечно удаленным от этой точки. В этом случае вклад в поле (P) от этого участка должен быть равным нулю, поскольку поле от этого участка сможет достигнуть точки Р только через бесконечное время,

иными словами – никогда не сможет. Поэтому интеграл по площади участка С

в (14) можно положить равным нулю.

Согласно второму условию Кирхгофа интеграл по поверхности участков

В также равен нулю.

Наконец, согласно первому условию Кирхгофа поле на участке А

описывается выражением для сферической волны		E	eiks	(см. рис. 9).
описывается выражением для сферической волны		E		(см. рис. 9).
	A	0	s

Таким образом, поле (P) описывается выражением:

				iks
P	1	E		e
P		E
			0
	4 SA			s

eikr

n r

eikrr

	E		e	iks
					dσ . (15)

		0		s
n

164

Как и ожидалось, поле в точке Р определяется полем в отверстии А.

Вычислим этот интеграл. Заметим, что

eiks

ikE0

. (16)

Здесь мы использовали два факта: первый – направление нормали n

совпадает

направлением

радиуса

сферической

волны,

поэтому:

lim

1; второй состоит в том,

что

что эквивалентно

n 0

s , поэтому членом

в (16) можно пренебречь.

Аналогично находим, что

eikr

cos(n ^ r) ik

cos(n ^ r) .

(17)

Здесь использован тот факт, что при движении вдоль нормали n радиус r

уменьшается (см. рис. 10, на котором показана часть рис. 9), поэтому производная по нормали

r	lim	r	lim	n cos(n ^ r)	cos(n ^ r) .
n	lim	n	lim	n	cos(n ^ r) .
n	n 0	n	n 0	n
				n
				n
				r
				r	P
					P

Рис. 10. Пояснение к вычислению производной по внутренней нормали

После подстановки (16) и (17) в (15) находим выражение для вычисления поля в точке Р:

(P)	(1 cos(n ^ r)) E eiks eikr		dσ . (18)
(P)		0	dσ . (18)
		0
SA	2	s r
SA

Этот интеграл называют интегралом Френеля–Кирхгофа.

165

Сравнивая это выражение с интегралом Френеля (1), находим, что

неизвестная функция в интеграле Френеля K (ϕ) i	1 cos(n ^ r)	, здесь
	2

использовано обозначение ϕ cos(n ^ r) . В дальнейшем будем полагать, что

ϕ 0 , что		справедливо для					большинства задач дифракции. Тогда
i	1 cos(n ^ r)		i		.
	2

				E eiks		E A
	Множитель		0				описывает поле в отверстии А, поэтому, в
					s

случае, когда поле во всех точках отверстия одинаково, вместо (18) для решения задач удобно использовать выражение

(P)	i	E		A	eikr	dσ .	(19)

	SA				r
В общем случае необходимо вычислять интеграл (18) или, с учетом
малости угла ϕ 0 , интеграл
	iE			eik (r s)
(P)		0				dσ .	(20)
				rs
			SA

Прежде чем переходить к вычислению интеграла (20) рассмотрим несколько следствий из теории дифракции Кирхгофа.

1) Заметим, что формула (20) симметрична относительно r и s, т.е.

источник, находящийся в точке L, создает в точке Р такое же поле, какое бы создавал в точке L источник (такой же интенсивности), находящийся в Р. Этот результат называют теоремой взаимности.

2) Выше был получен результат для дифракции на отверстии А. В случае же когда, на месте отверстия А будет находиться экран (препятствие) такой же формы, а участки В будут открытыми, то интегрирование в (18) должно производиться по открытым участкам, т.е. по SB .

166

B (P)	(1 cos(n ^ r)) E eiks eikr
B (P)		0		dσ . (21)
		0
SB	2	s	r
SB

Если сложить (18) и (21), то интегрирование будет по открытым участкам

А и В, т.е. эта сумма дает поле 0 P для случая, когда вообще отсутствует экран. Это можно записать таким образом:

A P B P 0 P ,	(21)
где A P – поле в точке Р при дифракции на экране Э1		с отверстием А,
B P – поле в этой же точке при дифракции на экране Э2		той же формы и

размеров, что и отверстие А, 0 P – поле в точке Р в отсутствии каких-либо экранов. Экраны Э1 и Э2 называют дополнительными друг другу.

Выражение (21) является математической формой принципа Бабине.

Этот принцип позволяет находить решения задач дифракции на препятствии,

по решению задачи на отверстии такой же формы.

Например, нас интересует результат дифракции на круглом диске.

Предположим, что в качестве источника для наблюдения дифракционной картины используется луч лазера, причем поперечное сечение лазерного пучка много больше площади диска. Тогда, в случае отсутствия каких либо препятствий на пути пучка, на экране наблюдения будет видно яркое пятно, а в остальных областях экрана световое поле отсутствует, его можно считать равным нулю. Тогда, согласно принципу Бабине, поскольку в темных областях экрана 0 P 0 , то в этих областях интенсивность света при дифракции на отверстии равна интенсивности света при дифракции на препятствии той же

формы и	размеров как у отверстия: A P B P I A P IB P . В
наиболее	освещенной	области	амплитуда 0 P	максимальна, поэтому
амплитуда	поля	при	дифракции	на	препятствии
B P 0 P B P IB P I0 P , так как 0 P					A P . То есть в

темной части экрана наблюдения картина дифракции на препятствии будет

167

такой же, как и в случае дифракции на отверстии, и обратной для области с наибольшей интенсивностью.

Перейдем к вычислению интеграла (20). Рассмотрим дифракцию на отверстии, а вычисления будем проводить в декартовых координатах (рис. 11).

		W		Y
		W
				P
				r
		Q	U	X
		Q

s				b
s		'
		O
	a		Z	O
	a

Рис. 11. Системы координат для экрана с отверстием (UW) и экрана наблюдения (XY). Оба

экрана параллельны, расстояние между ними равно z

Пусть источник L имеет координаты (x0, y0, z0,). Произвольная точка в плоскости отверстия Q имеет координаты (u,w), координаты произвольной точки наблюдения Р – (x,y). Найдем выражения для r и s. Из рис. 11 видно, что


		a		x2	y	2	z2
				0	0		0	;					(22)


		b		x2 y		2 z2



r	x u 2 y w 2 z2 u2 w2 2xu 2 yw b2
															. (23)
	x0 u	2	y0 w			2									. (23)
		2				2	2			2		2	2x0u 2y0w a	2
s							z0		u		w		2x0u 2y0w a

Будем полагать, что размеры отверстия в экране много меньше, чем а и b.

Тогда можно найти приближенные выражения для квадратных корней в (23),

168

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2717 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методические материалы и лекции

#
23.01.20172.99 Mб149conspectus.pdf
#
23.01.20172.7 Mб100lek_optika.pdf
#
23.01.20172.74 Mб89Luks2.pdf
#
23.01.20174.3 Mб87u_lectures3.pdf
#
23.01.2017729.09 Кб86wave_opt_lex_bnv.pdf
#
23.01.2017534.13 Кб102Волновая оптика.pdf