3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / conspectus

Выражение (1) называют интегралом Френеля, он определяет поле в некоторой точке Р через поле в точках волнового фронта. Можно сказать, что выражение (1) – есть математическая реализация принципа Гюйгенса–Френеля.

Действительно, значение поля в точке Р определяется суммой вторичных волн,

образованных на некоторой волновой поверхности, и дошедших до Р.

Недостатком этого выражения является то, что здесь используется неизвестная функция K ϕ . Кроме того, несмотря на свою видимую простоту, вычисление этого интеграла в конкретных ситуациях зачастую сопряжено со значительными трудностями. Поэтому часто используют приближения, при которых для интеграла можно получить аналитические выражения.

8.4. Теория дифракции Френеля

Френелю не удалось создать теорию, которая бы позволяла находить в произвольной точке наблюдения величину интенсивности волны, ограниченной в пространстве. Но он сумел предложить подход к описанию дифракционных явлений, с помощью которого можно было получать результаты, качественно совпадающие с теми, которые наблюдается в опытах. Например, в рамках этого описания можно получить периодическое изменение интенсивности на границе геометрической тени от препятствия и отличную от нуля интенсивность в области геометрической тени за препятствием.

8.4.1. Зоны Френеля

Для вычисления интеграла (1) Френель поделил весь волновой фронт на зоны (их называют зонами Френеля), предполагая, что от каждой точки внутри зоны вторичная волна приходит в точку наблюдения Р с одной и той же амплитудой и фазой, величины которых определяются номером зоны,

расстояниям от источника L до волнового фронта и расстоянием от волнового фронта до точки наблюдения Р. Зоны Френеля представляют собой

149

концентрические кольца на сферической поверхности волнового фронта,

вокруг центральной зоны, имеющей номер m = 1 (рис. 3). Центральная зона ориентирована на точку Р. На рис. 3 введены следующие обозначения B –

расстояние от вершины волнового фронта О до точки наблюдения Р; А –

расстояние от источника L до вершины О. Расстояния от границ зон до точки

наблюдения обозначены B B m , m = 1, 2, 3, … Также введены

обозначения для радиуса m-ой зоны Френеля – Rm и для высоты Hm сегмента сферы, отсекаемого m-ой зоной Френеля.

Hm

A B

Рис. 3. Схема деления волнового фронта на зоны Френеля

С учетом постоянности фазы и амплитуды от точек одной зоны, для выбранной схемы деления волнового фронта, интеграл (1) можно представить в виде суммы вкладов от различных зон

150

где Sm – площадь m-ой зоны Френеля. В последней сумме было учтено, что вклад в поле от соседних зон отличается знаком, потому что волны от соседних участков отличаются друг от друга по фазе на π. Действительно,

1 m Cm cos 2 B t 1 m Dm

Поскольку для соседних зон, расстояния Bm отличаются друг от друга всего лишь на λ/2, то можно предположить, что для соседних зон отличаются по величине незначительно, т.е. D1 D2 D3 .... Dm Dm 1

Здесь знак « » обозначает «немного больше».

Найдем сейчас выражение для площади m-ой зоны. Как видно из рис. 3

площадь m-ой зоны можно вычислить, если из площади сферического сегмента

σm , отсекаемого границей m-ой зоны, вычесть площадь сферического сегмента

σm–1, отсекаемого границей (m–1)-ой зоны. Площадь сегмента для сферы радиуса А, отсекаемого границей m-ой зоны, вычисляется по школьной формуле σm 2AHm . Найдем выражение для Hm . Заметим из рис. 3, что радиус Rm можно вычислить по теореме Пифагора:

151

Rm2 A2 A Hm 2

расстояние до точки наблюдения), находим выражение для высоты сегмента

Напомним, что выражение (4), было получено для случая, когда волновой

фронт не ограничен в пространстве.

Чтобы вычислить сумму (4) сгруппируем ее члены следующим образом

нулю. Таким образом, если на пути распространяющегося волнового фронта отсутствуют какие либо препятствия, то амплитуда поля в точке Р равна

половине амплитуды поля от первой зоны Френеля – EP, D21 , поскольку

вклады от всех других зон компенсируют друг друга в результате интерференции. Рассмотрим случаи, когда на пути волнового фронта имеются препятствия, т.е. волновой фронт становится ограниченным в пространстве.

152

интенсивность на отрезке РР1 плавно увеличивается от нуля до некоторого максимального значения. В точках, находящихся за точкой Р1, будут видны уже участки четвертой зоны Френеля, следовательно интенсивность будет уменьшаться.

Таким образом, в задачах, в которых требуется узнать, отлична ли от нуля амплитуда поля в некоторой точке за экраном с отверстием, для решения нужно всего лишь выяснить, сколько зон Френеля видны из этой точки. Если видно четное число зон, то в этой точке будет минимальная интенсивность, если нечетное – максимальная. Количество видимых зон определяется из сравнения радиуса r отверстия с радиусом Rm m-ой зоны. Выражение для Rm можно получить, например, из первого равенства в (3), в пренебрежении малым членом этого равенства Rm2 2AHm . После подстановки в него полученного ранее выражения для Hm , находим для квадрата радиуса m-ой зоны:

Предположим, для простоты, что источник L находится на бесконечности

A , тогда Rm2 m B . Поскольку в точке Р через отверстие мы видим m зон,

то Rm2 r2 . Тогда номер последней зоны, которая видна в Р, а следовательно, и

видимое количество зон, определяется выражением m r2 . С приближением

B

к отверстию количество видимых зон увеличивается. Так, если вернуться к рис.4, то можно заметить, что если из точки Р переместиться в точку Р2, то в этой точке будет максимальная интенсивность, потому что в ней будут видны три зоны Френеля.

Еще раз необходимо заметить, что амплитуда поля в точках, в которых видна одна или три зоны Френеля, в два раза больше, чем в случае, когда экран

154

с отверстием отсутствует EP,1 2EP, . Интенсивность в этом случае больше в

точке можно добиться с помощью собирающей линзы, в нашем же случае роль такой линзы играет обыкновенное отверстие в экране. Кстати, для отверстия справедлива известная «формула тонкой собирающей линзы». Действительно,

из (6) находим

где Fm R2 – «фокусное расстояние линзы». В отличие от настоящей mm

собирательной линзы у отверстия «фокусов» и «фокусных расстояний» может быть много.

Формула (4) подсказывает способы, с помощью которых можно добиться еще большего увеличения интенсивности света в точке Р. Действительно, в эту формулу четные члены входят со знаком минус, поэтому если от них избавиться, например, закрыв все четные зоны непрозрачными участками, то амплитуда увеличится во много раз. Такое оптическое устройство можно изготовить следующим образом: плоский лист прозрачного стекла покрыть с одной стороны слоем непрозрачной краски, а затем удалить краску в местах,

соответствующих нечетным (или четным) зонам Френеля, получится нечто,

похожее на мишень для стрельбы в тире.

Можно предложить еще более оригинальное решение, в листе стекла (без краски) в местах, соответствующих нечетным зонам, уменьшить толщину стекла (а следовательно, оптическую разность хода в стекле) так, чтобы в точку наблюдения волна от этих зон приходила в фазе с волнами от нечетных зон.

Тогда вклады от всех зон в (4) будут иметь одинаковые знаки, и амплитуда поля будет в два раза больше, в сравнении с амплитудой, получаемой предыдущим устройством.

155

О Световое пятно в центре геометрической тени было обнаружено французским физиком Араго, что явилось свидетельством справедливости модели, использованной Френелем для описания дифракционных явлений.

Однако, метод Френеля обладает и рядом недостатков. Основной заключается в том, что в рамках этого метода нельзя получить абсолютное значения интенсивности света в точке наблюдения. Все интенсивности получаются в долях D1 , которое вычислить нельзя, поскольку в него входит неизвестные величины. Кроме того, решение некоторых задач о дифракции на сложных отверстиях, при том разбиении волнового фронта, которое использовал Френель, дают неверные решения. В качестве примера можно указать простейшую задачу о дифракции на отверстии в половину первой зоны Френеля.

8.4.4. Спираль Френеля

Некоторое развитие метода Френеля, с помощью которого можно решать более сложные задачи состоит в том, что волновой фронт разбивается на более мелкие зоны. Разбиение производят таким образом, чтобы вклады от соседних зон отличались по фазе друг от друга не на π, как в случае разбиения на зоны Френеля, а на бесконечно малую фазу δ. В этом случае можно считать, что амплитуда волн плавно уменьшается с увеличением номера m зоны. Тогда поле в точке наблюдения представляет собой сумму комплексных чисел

направлением под углом φ = mδ к действительной оси. При этом начало каждого вектора совпадает с концом предыдущего.

157

2δ

δ

Рис. 6.Стрелкой на комплексной плоскости обозначен каждый член суммы, соседние члены отличаются по фазе на δ, поэтому на угол такой величины отличаются и направления соседних векторов

Начало первого вектора совпадает с началом системы координат. Эти вектора образуют ломаную линию в форме спирали (рис. 6). Направление стрелок определят фазу волны от соответствующей точки волнового фронта. В

пределе, когда 0, ломаная линия становится гладкой и стрелки уже не рисуют, полагая, что они направлены против часовой стрелки, а фаза определяется углом касательной к точке спирали. Эту спираль называют

спираль Френеля.

Рассмотрим несколько примеров использования спирали Френеля для расчета сумм.

А) Предположим, что нас интересует поле создаваемое неограниченным волновым фронтом, тогда по правилу нахождения суммы векторов, мы должны соединить начало первого вектора с концом последнего, который в данной задаче находится по центру отрезка ОА1 в точке А∞ (рис. 7а). Длина вектора

OA тогда и определяет амплитуду волны в точке наблюдения.

158