3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / conspectus

т.е. максимальное расстояние между точками волнового фронта, колебания в которых происходят когерентно, и от которых еще возможно наблюдать

интерференцию. Можно заметить, что DZ – угловой размер источника,

тогда радиус когерентности c . Таким образом, чтобы наблюдать

интерференцию от источника с угловым размером ψ необходимо, чтобы расстояния между отверстиями, делящими волновой фронт было d c .

Надо заметить, что в случае, когда d c , функция видности становится снова отличной от нуля, но в этом случае V < 0. Отрицательность функции видности означает, что интерференционная картина обращается, т.е. в том месте, где в случае d c был максимум интенсивности, интенсивность стала минимальной, и наоборот. Этот эффект так и называется – эффектом обращения контраста интерференционной картины.

Для круглого источника света радиус когерентности по всем направлениям одинаков. Область пространственной когерентности, в этом случае представляет собой круг радиуса ρс. В общем случае, источник по разным направлениям имеет разные размеры, следовательно, и условия пространственной когерентности будут различными по этим направлениям.

Можно заметить, что, согласно (31), измерение степени когерентности предоставляет возможность для определения угловых размеров удаленных объектов. Действительно, интерференционная картина от объекта исчезает,

когда d , поэтому измеряя расстояние d между отверстиями, при котором

исчезает интерференционная картина, при наблюдении ее через светофильтр с известной длиной волны λ, можно найти угловой размер ψ удаленного объекта.

139

полихроматического источника

Можно обобщить описанный выше метод определения угловых размеров объектов на случай когда они являются полихроматическими, т.е. имеющими не одну частоту излучения ω, а спектр Δω << ω. Рассмотрим схему опыта,

повторяющую схему опыта Юнга с источником, обладающим поперечными размерами.

Рис. 14. Схема наблюдения интерференции от полихроматического источника

В точке наблюдения М в некоторый момент времени t складываются

являются стационарными по времени. Поскольку в точке М наблюдается усредненная по времени картина, то интенсивность в этой точке вычисляется следующим образом:

Здесь угловыми скобками обозначено усреднение по времени срабатывания Т прибора наблюдения, а звездочка обозначает комплексное сопряжение. В силу стационарности волн первое слагаемое тогда будет представлять среднюю интенсивность света в М, создаваемую светящейся

точкой P1:

T / 2

Второе слагаемое тогда имеет смысл средней интенсивности, создаваемой точкой Р2 в точке М:

E2 (t t2 ) E2*(t t2 ) I2

Третье и четвертое слагаемые являются комплексно сопряженными, поэтому их сумма представляет удвоенную их вещественную часть. Введем обозначение для третьего слагаемого

Функцию γ12(τ) называют комплексной степенью когерентности колебаний. В

новых обозначениях выражение (32) для интенсивности поля в точке наблюдения М, примет вид:

IM I1 I2 2 I1 I2 Re 12 () (34)

Получившееся соотношение выражает общий закон интерференции

12 ( ) arg 12 ( ) , а – средняя частота в излучаемом диапазоне. Тогда

1 12 () I1 I2 Iког Iнеког

Впредпоследнем выражении в скобках у первого слагаемого стоит

интерференционный член 2 I1 I2 cos 12 ( ) . Но, поскольку

интерференция имеет место для когерентных волн, то можно сказать, что это слагаемое описывает когерентную часть интенсивности в точке М. Второе слагаемое фактически представляет собой вклад в интенсивность по отдельности от точек P1 и P2, т.е. когда нет интерференции, что имеет место в случае некогерентных полей. Поэтому выражение (35) представляет интенсивность в точке М как сумму когерентной – Iког и некогерентной – Iнеког

функции. Видим, что ее значение может меняться от 0 – когда имеет место некогерентная суперпозиция волн, до 1 – в случае когерентной суперпозиции.

Промежуточные значения отвечают частично когерентной суперпозиции.

142

Найдем выражение для функции видности, для чего для простоты

Во всех предыдущих выражениях учитывался вклад только одной точки S

излучателя в интенсивность в точке М. Для того, чтобы получить выражение для полной интенсивности в точке М от всего источника, необходимо (35)

проинтегрировать по всей площади источника, в предположении, что поля в

где Σ – площадь поперечного сечения излучателя (излучатель предполагаем

функция, для которой можно получить аналитическое выражение (это выходит за рамки курса).

Тогда для функции видности (36) можно будет получить подобное выражение

Таким образом, как следует из (38), определяя из наблюдений интерференционной картины значение функции видности V 12 ( ,) , и, зная аналитическое выражение для 12 ( ,) , можно найти θ угловой размер излучателя.

143

7.11.3. Опыт Брауна и Твисса

В предыдущих опытах для измерений получали изображения интерференционной картины. Но оказывается, можно проводить измерения

(поперечного размера излучателя, например) не наблюдая самой интерференционной картины. Такая схема была реализована в опыте Брауна и Твисса (см. рис. 15).

ФЭУ1 J1(t)

g( ) J1(t)J2 (t )dt

d

K

J2(t–τ)

ФЭУ2

Рис. 15. Схема опыта Брауна и Твисса. ФЭУ – фотоумножители, К – коррелятор,

вычисляющий корреляцию токов от ФЭУ1 иФЭУ2

Два ФЭУ, у которых время срабатывания значительно меньше характерного времени излучения атома ~ 10-8 с, т.е. они могут фиксировать мгновенное значение интенсивности, находятся в точках P1 и P2, между которыми расстояние d, из-за чего возникает задержка сигнала с одного ФЭУ на τ. Величина тока ФЭУ зависит от интенсивности света в этой точке, т.е.

J (t) I (t) E(t) E*(t) . Токи от ФЭУ поступают в коррелятор К, где перемножаются. Таким образом, результат перемножения – это фактически квадрат функции 12 ( ,) . Получая зависимость g(τ) можно находить функцию

12 ( ,) , а по ней угловые размеры источника и когерентность излучателя.

Поскольку перемножаются не сами поля, а их интенсивности, такую схему

144

изучения интерференции называют интерферометр интенсивностей. Этот метод используется для определения угловых размеров звезд или углового расстояния между двойными звездами. Также его используют для определения характерных для излучателя флуктуаций излучения.

145

8. ДИФРАКЦИЯ

8.1. Явление дифракции

Под дифракцией понимают совокупность явлений, в которых свет распространяется не так, как предписывают законы геометрической оптики.

Например, если внимательно рассмотреть границу тени от предмета конечных размеров, освещенного небольшим светильником, то можно увидеть, что она не является резкой, и что в области за предметом, где освещенность должна быть равна нулю (область тени), вблизи границы освещенность отлична от нуля, т.е.

свет каким-то образом попадает за препятствие (рис. 1). Поэтому дифракцию иногда определяют как явление огибания светом препятствия.

Рис. 1. Дифракция на краю непрозрачного экрана. Снимок границы тени

Если же препятствие представляет собой бесконечный непрозрачный экран с небольшим отверстием, то явление дифракции приводит к тому, что пучок света, вышедшего из, отверстия будет расходящимся. В этих двух случаях общим является то, что фронт волны ограничивается препятствием. По этой причине иногда про явления дифракции говорят, как о результате распространения ограниченных в пространстве волн.

8.2. Принцип Гюйгенса–Френеля

Но что такое огибание светом препятствия? Это перераспределение светового потока в пространстве таким образом, что часть потока меняет

146

направление своего распространения и попадает в область тени, т.е. туда, куда по законам геометрической оптики свет попадать не должен.

Но интерференция также определяется как результат распределения светового потока в пространстве. В случае интерференции распределение светового потока происходит в результате сложения двух или более волн,

например двух волн от одного источника, но прошедших разные оптические пути. Можно предположить, что и дифракция (т.е. отклонение направления распространения волнового фронта) является результатом сложения волн, но в случае дифракции нужно производить суммирование по всем участкам волнового фронта, падающего на предмет. Это предположение было выдвинуто Френелем и является дополнением принципа Гюйгенса. Напомним, что согласно принципу Гюйгенса, который является основанием геометрической оптики, распространение волнового фронта происходит следующим образом:

каждая точка волнового фронта, является источником вторичных сферических волн, новое положение волнового фронта в следующий момент времени определяется огибающей для всех вторичных волн. Согласно же Френелю новое положение волнового фронта определяется результатом сложения вторичных волн. Этот принцип, определяющий распространение световой волны с учетом интерференции вторичных волн, называют принципом Гюйгенса–Френеля. Как будет показано ниже, на основе этого принципа можно построить теории, удовлетворительно описывающие наблюдаемые дифракционные явления.

8.3. Интеграл Френеля

Из сказанного выше следует, что явления интерференции и дифракции имеют общую природу и являются результатом сложения волн. Только в случае интерференции говорят об интерференции ограниченного числа волн, а в случае дифракции – об интерференции бесконечного числа волн, потому что

147

даже на ограниченном участке волнового фронта имеется бесконечное число точек, каждая из которых является источником вторичных волн.

Попробуем получить выражение для поля волны в произвольной точке наблюдения Р.

Пусть произвольный бесконечно малый участок волнового фронта,

удаленный от точки Р на расстояние r, имеет площадь dS (рис. 2).

Рис. 2. Вектор n нормаль к участку поверхности dS

неизвестна и которая показывает какая доля излучения от dS попадает в точку

Р. Относительно нее можно высказать лишь предположения: а) значение этой функции максимально для φ=0, так как в этом случае участок dS ориентирован точно на точку Р и большая часть этого излучения должна попадать в эту

Согласно принципу Гюйгенса–Френеля, поле в некоторой точке наблюдения Р является результатом сложения полей от всех участков волнового фронта. Так как этих участков бесконечно много, то сумма представляет собой интеграл по всей поверхности S волнового фронта

148