3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / conspectus

фонариков. Потому что процессы излучения в этих источниках протекают не согласованно.

Различают временную и пространственную когерентность, обе являются условием наблюдения интерференции.

7.2. Временная когерентность

Согласованное протекание процессов во времени называют временной когерентностью.

Как видно из (2) для когерентности волн по времени необходимо, чтобы слагаемые, зависящие от времени в аргументе косинуса, незначительно менялись на временах усреднения.

Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие (1(t) 2 (t)) const

или в простейшем случае, 1(t) 2 (t) , что возможно, только если волны происходят из одного источника. Таким образом, условием когерентности по

времени является происхождение волн от одного источника излучения.

Чтобы интерференционный член был отличен от нуля, величина

(1 2 ) должна быть близка к нулю, потому что частота световых волн имеет порядок 1015 с–1 и, даже на очень небольших временах усреднения, косинус изменит свой знак много раз, т.е. средняя его величина будет равна нулю.

Таким образом, находим второе условие когерентности по времени – волны должны иметь близкие частоты 1 2 . Для характеристики этого условия когерентности вводят понятие времени когерентности tког, оно определяется из неравенства tког , (разность фаз двух волн равна π), т.е.

когерентности, т.е. расстояния, которое проходит свет за время когерентности

109

Поскольку для интерференции обе волны должны излучаться одним источником, то длина когерентности показывает насколько могут различаться пути, проходимые этими волнами, чтобы при сложении получилась интерференционная картина. Превышение этой длины означает, что интерференционный член в (3) равен нулю.

7.3. Пространственная когерентность

Согласованное протекание процессов в различных точках пространства называют пространственной когерентностью. Найдем математическое выражение определяющее условие пространственной когерентности.

Условие пространственной когерентности – k1r1 k2r2 (разность фаз двух волн меньше π).

Рис. 1. Схема наблюдения интерференционной картины

Рассмотрим для простоты случай, когда величины волновых векторов

Введем вектор r, направленный в точку наблюдения и начинающийся посредине между точками 1 и 2 волнового фронта. Причем r1 r d / 2 и

110

Это условие определяет расстояние между двумя точками волнового фронта, которые еще могут считаться когерентными (рис. 1), поэтому d

называют еще радиусом когерентности. На практике угол φ – видимый размер источника, от которого собираются наблюдать интерференцию, а d –

наибольшее поперечное расстояние между видимыми точками источника при котором возможно наблюдение интерференции. Например, видимый угловой размер Солнца φ~0,01 рад, а длина волны λ ~ 555 нм, тогда d = 555 нм/0,01 ≈ 55,5 мкм. Именно таким должен быть максимальный размер отверстия, чтобы можно было наблюдать интерференцию от него.

7.4. Способы получения интерференционной картины

Ниже будем рассматривать способы получения картины двухлучевой интерференции и устройства для наблюдения интерференции, в которых реализованы эти способы. Устройства для получения интерференционной картины и ее наблюдения называются интерферометрами. Основная задача двухлучевых интерферометров – получить две когерентные волны. Все способы получения двух когерентных волн можно поделить на две группы:

метод деления волнового фронта, метод деления амплитуды волнового фронта.

7.4.1. Метод деления волнового фронта

Исторически это был первый способ для наблюдения интерференции световых волн. Суть его состоит в том, чтобы взять только две точки волнового фронта (все другие точки волны удалить, например, с помощью непрозрачного экрана), для которых выполняется условие когерентности и которые являются

111

источниками вторичных волн, и волны, излучаемые в этих точках, свести в область, где они будут складываться.

Опыт Юнга. Схема опыта Юнга приведена на рис. 2. Непосредственно использовать Солнце в качестве источника света для наблюдения интерференции Юнг не мог, так как для получения двух когерентных волн, ему необходимо было бы сделать в непрозрачном экране два отверстия отстоящие друг от друга всего на 0,05 мм, что было невозможно во времена Юнга.

Поэтому он в качестве источника света использовал отверстие малого диаметра в непрозрачном экране Э1. Из-за малости этого отверстия, его угловой размер в точке наблюдения также будет мал. Что, в свою очередь, приводит к большому радиусу когерентности (см. (6)), уже допускающему изготовление в другом экране Э2 двух одинаковых отверстий, отстоящих друг от друга на расстояние d, не превышающее радиус когерентности. Каждое отверстие представляет собой источник волны. Эти волны произошли от одного источника, имеют одну частоту, поэтому они являются когерентными и при их сложении должна наблюдаться интерференционная картина на экране наблюдения ЭН.

Интенсивности света от каждого отверстия равны друг другу.

Х

r2

x

r1 d/2

–d/2

L

Рис. 2. Схема опыта Юнга

112

т.е. разность хода должна быть равна целому числу волн (четному числу полуволн).

Из (8) находим, что положение максимума на экране наблюдения определяется формулой

xmax, m dL m . (10)

Интерференционный минимум имеет место, когда косинус в (8) равен минус единице, т.е. когда δk = ±π+2πm, m = 0, ±1, ±2,..., или при разности хода

т.е. разность хода волн должна быть равна нецелому числу волн (нечетному числу полуволн).

Положение минимума на экране наблюдения тогда определяется

формулой

Согласно формулам (10) и (12) положение максимумов и минимумов зависит от длины волны, поэтому, если источник света содержит волны разных длин, то в интерференционной картине будут присутствовать максимумы для каждой из длин волн. Следовательно, интерферометр можно использовать для

исследования спектрального состава излучения.

Как видно из формул (10) и (12) в интерференционной картине имеется много максимумов (минимумов) для разных значений числа m, которое

называется порядком интерференционного максимума (минимума). Для m = 0 максимум расположен в центре экрана наблюдения, поэтому и

называется центральным максимум. Количество интерференционных максимумов определяется условием временной когерентности s lког , чтобы разность хода была не больше длины когерентности. Из (9), с учетом (5),

находим, что количество максимумов в интерференционной картине

114

Nmax . Для оценки числа максимумов можно принять, что в солнечном

2

свете Δλ=2–5 нм.

Расстояние между соседними максимумами:

Из (13) видно, что расстояние между соседними максимумами зависит от длины волны, т.е. в интерференционной картине, которую Юнг получил,

используя Солнце в качестве источника, измеряя расстояние между максимумами одного цвета и зная расстояния L и d, можно определить длину волны соответствующую тому или иному цвету. Что и было сделано Юнгом.

Особо необходимо отметить, что для измерения очень малой величины – длины волны λ, Юнгу потребовалась обычная линейка, для измерения расстояний L и d. В этом особенность устройств основанных на оптических эффектах – чрезвычайно малые длины можно измерять при помощи грубых измерительных устройств.

«Качество» интерференционной картины определяют по степени различия интенсивности света в максимуме и минимуме этой картины. Для этого используют функцию видности полос (контраст полос по Майкельсону):

VImax Imin Imax Imin

Чем меньше различаются интенсивности света в максимуме и минимуме интерференционной картины, тем труднее зафиксировать это различие глазом или прибором. В случае, когда Imax Imin , интенсивность в максимуме такая же, как и в минимуме, т.е. интерференционной картины фактически нет, тогда

интерференционной картины реализуется в идеальной схеме интерферометра

115

Юнга, т.е. когда отверстия в экранах Э1 и Э2 (рис. 2) являются точечеными и когда разность фаз между волнами в экране Э2 не меняется со временем.

Все другие интерферометры, основанные на методе деления волнового фронта, в той или иной степени повторяют схему опыта Юнга. Рассмотрим один из них.

Бипризма Френеля. Бипризма изготавливается из двух одинаковых призм с малым преломляющим углом α, показателем преломления n и соединенных друг с другом основаниями (рис. 3). Различные части падающей волны преломляются на один угол, но в разные стороны, так, что как будто преломленные волны пришли из двух мнимых источников волн, отстоящих друг от друга на расстояние меньшее радиуса когерентности. В области пересечения преломленных волн наблюдают интерференцию. Схема получения интерференции подобна опыту Юнга, поэтому все полученные для нее результаты можно применить и для бипризмы Френеля.

С учетом обозначений, приведенных на рис. 3 L = a+b, положения максимумов определяются выражением

116

7.4.2. Метод деления амплитуд

Волна, падающая на границу двух сред, разделяется на две: отраженную

и преломленную. Обе эти волны произошли от одного источника, т.е. могут быть когерентными при выполнении дополнительных условий, и,

следовательно, эти волны могут использоваться для получения интерференционной картины. Поскольку энергия падающей волны поделилась между энергиями отраженной и преломленной волн, то такой метод получения когерентных волн назвали методом деления амплитуд.

Но после получения двух когерентных волн их еще надо свести в область,

где бы они могли проинтерферировать. Это может быть реализовано

различным образом.

Интерференция при отражении от плоскопараллельной пластинки

(полосы равного наклона).

При интерференции на плоскопараллельной стеклянной пластинке, волна

2r, отраженная от первой поверхности пластинки, складывается с волной 1trt,

прошедшей в пластинку и отразившейся затем от второй поверхности (Рис. 4).

Рис. 4. Интерференция на плоскопараллельной пластинке. Интерферируют лучи 1trt и 2r.

Интерференционные максимумы и минимумы локализованы в бесконечности, так как интерферируют лучи, идущие параллельно друг другу

Будем полагать, что n1 < n2. В этой схеме интерферируют волны,

прошедшие через разные среды, поэтому оптическая разность хода этих волн

117

от оптически более плотной среды, поэтому, согласно формулам Френеля, она сдвигается по фазе относительно падающей на π ( k ) или на разность хода =λ/2. Из рис. 4 можно найти длины путей, проходимых волнами:

Максимум интерференции имеет место, когда оптическая разность хода равна целому числу длин волн, поэтому условием максимума для интерференции на плоскопараллельной пластинке будет

Из (15) видно, что для каждой длины волны максимум будет иметь место при своем угле падения, которые равен и углу наблюдения (интерференция наблюдается в отраженном свете). Интерферируют волны, идущие параллельно друг другу, поэтому локализация максимумов интерференции на бесконечности. Но, если на пути отразившихся волн, удовлетворяющих условию максимума, поставить собирательную линзу, то, в зависимости от длины волны они будут фокусироваться в различные точки фокусной плоскости линзы. Поэтому, если на пластинку падает расходящийся пучок (это значит в нем есть разные углы падения) солнечного света, то в отраженном

свете после фокусирующей линзы мы увидим цветную картину.

118