Добавил:

nyan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Физика

Файл:

conspectus

.pdf

Скачиваний:

149

Добавлен:

23.01.2017

Размер:

2.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2710 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

			dk		0
k( ) k(0 )								(7)
k( ) k(0 )								(7)
		d		0
				0
Подставив (7) в (8) и введя обозначение y = ω–ω0, получим следующее
выражение:
					dk
			2		dk
	i t k ( )r			i t			r y
E e	i t k ( )r			i t		d	r y
E e	0	0	Aye				dy	(8)

Выражение (8) представляет поле пакета волн при излучении на основной частоте ω0. Интеграл представляет собой амплитуду этой волны. Эта амплитуда не будет зависеть от времени, если скобка в показателе экспоненты будет

величиной постоянной, т.е.: t ddk r const . Дифференцируя это равенство по

времени, находим скорость движения всего пакета, или как говорят групповую скорость:

(9)

Учитывая, что k

k , преобразуем правую часть в (9):

d (фk)

kc dn

n2 dk

dn d .

k dn d

ф 1

n d dk

c d dk

Из равенства левой и правой частей находим выражение для групповой

скорости

(10)

n 1

c d

Как видим в

области нормальной дисперсии,

где

0 , групповая

скорость, т.е. скорость передачи сигналов, всегда меньше фазовой скорости.

В области аномальной дисперсии	dn	0 , поэтому групповая скорость
	d

больше фазовой. Но, на самом деле, если посмотреть на рис. 3. в области аномальной дисперсии изменение показателя преломления происходит очень быстро на небольшом интервале частот, поэтому разложение (7) необходимо дополнить следующими членами ряда Тейлора. Но тогда нельзя добиться постоянства значения интеграла в (8), т.е. в этой области частот пакет расплывается, и понятие групповой скорости для этой области становится неприменимым.

6. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД

6.1. Тензор диэлектрической проницаемости

Не всегда электрические и магнитные свойства среды одинаковы по всем направлениям. Чаще бывает наоборот, какое-нибудь свойство различно вдоль различных направлений. В этом случае говорят об анизотропии свойства.

Среда может быть анизотропна по одним свойствам, но изотропна по другим.

Оптические свойства в изотропной среде определяются диэлектрической проницаемостью n , здесь ε – число. В случае анизотропных сред диэлектрическая проницаемость является тензорной величиной, как в этом случае определять показатель преломления, в чем состоят особенности распространения света в анизотропных средах? Эти вопросы мы рассмотрим ниже, при этом будем полагать, что среда немагнитная, т.е. μ = 1.

Вчем проявляется анизотропия электрических свойств среды? Например,

втом, что диэлектрическая индукция D в среде может быть не параллельна электрическому полю E, вызвавшему ее. Это значит, что например, в

декартовой системе х-координата вектора D, зависит от всех координат

вектора E:

Dx 0 (xx Ex xy Ey xz Ez ) .

Аналогично, можно записать выражения и для оставшихся компонент вектора D. Чтобы не писать длинные выражения используют индексную запись: Di 0 ij E j , здесь индексы i, j принимают значения (x, y, z), а по

одинаковым индексам происходит суммирование. В матричном виде тензор выглядит следующим образом

		xy
	xx		xz
yx yy yz .


zx zy zz
		91

Более сложная зависимость диэлектрической проницаемости от вызвавшего ее электрического поля приводит к тому, что направления волны не совпадает с направлением распространения энергии (луча). Действительно, из

уравнений Максвелла для плоских волн в анизотропной среде

k E B ,	(1)
k H D ,	(2)
k D 0,	(3)
k B 0	(4)

следует, что k D, k H и D H . То есть ту роль, которую играл вектор E в

изотропной среде, в анизотропной среде выполняет вектор D, а он не совпадает с вектором E. Вектор Умова–Пойнтинга S E H можно найти из уравнения

(1), умножив его векторно на E:


E		k E			0	E H	S
					0			0
Из последнего равенства находим выражение для вектора S:
	S		1	kE2 E E k
	S		0	kE2 E E k
			0

Можно убедиться, что вектор S в анизотропной среде не параллелен k.

Поэтому необходимо различать направления распространения волны и луча.

Покажем, что тензор ij симметричен, т.е. его индексы можно менять местами. Действительно, плотность электрической энергии можно записать с одной стороны как

w12 E D 20 Ei ij E j .

Сдругой стороны, индексы – это символы и замена символов ничего не должна изменить, поэтому выражение для плотности можно записать также как

w 20 E j ji Ei .

Вычтем одно выражение из другого 0 ( ji ij )E j Ei . В силу

произвольности величин E j Ei

выражение в скобках должно равняться нулю,

т.е. тензор диэлектрической проницаемости симметричен:

ij .

Если

то выражение w 0 E

ввести обозначения

E ,

этих

2w i

ji i

обозначениях можно

записать

как

1 ij xi x j , т.е. получили

выражение для

положительно определенной квадратичной формы. В высшей алгебре доказывается, что положительно определенная квадратичная форма допускает приведение к диагональному виду, т.е. можно найти систему координат в

	i	,i j		, т.е. в этой системе координат отличны от нуля только
которой ij	i			, т.е. в этой системе координат отличны от нуля только
0,i			j
диагональные элементы тензора:
					x 0	0

0 0 z

Вобщем случае диагональные элементы не равны друг другу.0 y 0

Тогда, если волна распространяется вдоль оси Z, т.е. в волне отличны от нуля только компоненты Ex и Ey, то Dx 0 x Ex , Dy 0 y Ey . Из этих

выражений получается, что волна раскладывается на две линейно поляризованные волны, для одной, с поляризацией вдоль оси Х, показатель

				c		,
преломления	равен nx		x , т.е. скорость ее распространения x				а

				nx
другая, с поляризацией вдоль оси Y, имеет показатель преломления ny					y		и
скорость y	c	. Таким образом, получается, что, в данном примере,		вдоль

	ny

оси Z, распространяются две волны с разной скоростью. Эти волны линейно поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. На выходе из этой

среды, волны будут складываться и из-за различной скорости распространения между ними появится разность фаз. Как было показано раньше, при сложении двух взаимно перпендикулярных линейно поляризованных волн при разности фаз δ = πm, m = 0, 1, 2, ... получается линейно поляризованная волна, а при всех других разностях фаз – эллиптически поляризованная. Однако рассмотренный выше пример является частным случаем. Необходимо показать, что разложение волны на две, распространяющиеся с разными скоростями, происходит и для других направлений в такой среде.

6.2. Уравнение Френеля (волновых нормалей)

Ввести явно скорость в уравнения (1)–(5) можно, если выразить волновой

вектор через скорость волны: k	N , где N – единичный вектор в

направлении распространения волнового фронта.

H	1	N E ,

	0

D 1 N H ,N D 0 ,

N B 0 .

Подставим (5) в (6):

D			1		N N E


		2 0
	1			N N E E
				N N E E
	2 0

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Введем обозначение i	c	(главные скорости в кристалле) и перейдем


	i
	i

в (9) к компонентам векторов Di 0 i Ei :

Ei Ni				N E			2	Ei 0	(10)
							2
							i
Умножим (10) на
	Ni
1		2
1		2
		2
		i
и просуммируем по индексу i:
1				Ni2		0
1					2	0
		i	1		2
		i	1		2
					2
					i
Но, поскольку Ni			–	компонента единичного					вектора, то 1 Ni2 и
									i

последнее равенство можно переписать в виде формулы, называемой формулой

Френеля:

z	Ni2
		0 .		(11)
	2 2	0 .		(11)
i x	i
Эта формула позволяет определять скорость волн υ вдоль направления,
определяемого Ni. Величины		i	c		определяются свойствами материала и


			i
			i

называются главными скоростями, а i называют главными показателями преломления. В общем случае υx≠ υy≠ υz.

		2	z		Ni2	2
Введем функцию	f (		)			, тогда (11) определяет значения υ	,в
Введем функцию	f (		)	2 2		, тогда (11) определяет значения υ	,в
			i x	i

которых эта функция равна нулю. Построим график этой функции при некотором фиксированном направлении распространения Ni:

f(υ2)

	υ’		υ’’	υ2
0	υ’		υ’’
0	υx2	υy2		υz2

Рис. 1.

Как видно из рис. 1, существует два значения, при которых функция равна нулю. Следовательно, в данном направлении могут распространяться волны с двумя различными фазовыми скоростями υ' и υ''. Покажем, что эти волны поляризованы перпендикулярно друг другу. Для этого запишем для каждой из них уравнение (9):

' 2 0D' E' N N E'

'' 2 0D'' E'' N N E''

Первое уравнение умножим скалярно на D'', а второе на D' и вычтем друг из друга:

0 ' 2 '' 2 D' D'' E' D'' E'' D'

0 Ei' ij E''j E''j ji Ei' 0

Здесь была использована	симметричность	тензора ji ij . Таким
образом, в силу того, что ' 2	'' 2 , находим	D' D'' 0 , т.е., в случае

вещественного тензора ij , эти волны поляризованы линейно и взаимно перпендикулярно.

6.3. Оптически одноосные и двуосные среды. Двулучепреломление

Формула Френеля (11) устанавливает зависимость величины скорости

волны от направления ее в распространения в анизотропной среде. Попробуем

получить явный вид этой зависимости и изобразить ее графически для различных случаев.

6.3.1. Изотропная среда (υx= υy= υz = υ0)

В такой среде скорости по всем направлениям равны υx = υy = υz = υ0

поэтому уравнение (11) после приведения к общему знаменателю будет выглядеть так

02 2 Ni2 0 .

i x

Из этого уравнения следует, как и ожидалось, что скорость волны для всех направлений: 2 02 . В сферической системе координат длина радиус-

вектора будет равна скорости υ волны при данном направлении распространения (определяется углом θ между осью Z и радиус-вектором, и

углом φ между осью X и радиус-вектором), отсутствие зависимости, например в плоскости ZX, будет изображаться окружностью (рис. 2).

Z	Z
υ0	n0=c/υ0
	n0=c/υ0
θ	θ
	X
	X

а)

б)

Рис. 2. а) скорость волн в плоскости ZX он направления (угла θ) не зависит; б) показатель

преломления волны от направления (угла θ) также не зависит

6.3.2. Анизотропная среда 1. (υx= υy= υ0 υz = υе)

В этом случае, после приведения к общему знаменателю в формуле

Френеля получается следующее уравнение:

02 2 N 2x N 2y e2 2 N 2z 02 2 0 .

В сферической		системе	координат	Nx sin cosϕ ,	N y sin sin ϕ,
Nz cos . Поэтому уравнение распадется на два:
2	2			(12)
		0
2	2 sin2 2 cos2			(13)
		e	0
Уравнение (12)		показывает, что для		одной волны	скорость будет

одинаковой по всем направлениям, как в изотропном случае, такую волну называют обыкновенной. Скорость другой волны зависит от угла θ и не зависит от угла φ. Из-за такой зависимости скорости волны от направления, такую волну называют необыкновенной. Графические зависимости приведены на рис. 3.

Z	υ0> υe	Z	υ0< υe
υ0	υ0> υe		υ0< υe
υ0
			υ0
θ			θ
υe	υe		X
	X

а)

б)

Рис. 3. Зависимость скорости волны в одноосной среде. а) положительный среда, скорость обыкновенной волны больше скорости необыкновенной; б) отрицательная среда, скорость обыкновенной волны меньше скорости необыкновенной

Из рис. 3 видно, что при распространении вдоль оси Z обе волны имеют одинаковую скорость. Направление в среде, при распространении вдоль которого, скорости обыкновенной и необыкновенной волн одинаковы,

называется оптической осью. В рассматриваемом случае такое направление

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2710 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методические материалы и лекции

#
23.01.20172.99 Mб149conspectus.pdf
#
23.01.20172.7 Mб100lek_optika.pdf
#
23.01.20172.74 Mб89Luks2.pdf
#
23.01.20174.3 Mб87u_lectures3.pdf
#
23.01.2017729.09 Кб86wave_opt_lex_bnv.pdf
#
23.01.2017534.13 Кб102Волновая оптика.pdf