3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / Практикум по решению задач
.pdf
2DL 1,22D ,
отсюда D 2,44 L =0,35 мм.
6.2.15. На отражательную дифракционную решетку с числом штрихов на 1 мм N0 =
600 падает наклонно параллельный пучок монохроматического света ( = 500 нм).
Определить угол падения, при котором можно наблюдать максимальный порядок дифракции.
Решение. Максимальный порядок дифракции будет иметь место при максимальной разности хода лучей, то есть при условии, что угол падения и угол дифракции лежат по одну сторону от нормали к решетке. Тогда основное уравнение дифракционной решетки примет вид
d(sin 1 sin 2 ) k ,
где d – период, d 1/ N0 , а φ1 и φ2 – углы падения и дифракции. Отсюда
|
k |
|
|
2d |
|
|
2 |
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
max |
|
|
|
N0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим |
данные из |
|
kmax |
|
2 |
|
|
|
6. условия: |
|
|||
|
600 5 10 |
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Положим, что углы падения и дифракции равны: 1 2 |
. Имеем |
||||||||||
2d sin 6 , |
2sin 6 , |
|
|
sin 3 N0 0,9 |
65 . |
||||||
|
N0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2.16. Современные фотопленки способны разрешать до Z = 104 линий/см. Какую светосилу (то есть отношение квадратов диаметров D и фокусного расстояния f) должен иметь объектив фотоаппарата, чтобы полностью использовать разрешающую способность пленки?
Решение. Размер r минимально разрешимого объекта равен r 1z . Угловой φ размер этого объекта rf zf1 . Угол дифракционной расходимости для
объектива α не должен превосходить φ, то есть |
|
|
1 |
. Отсюда |
D |
z и |
||||||
D |
zf |
f |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
D |
|
2 |
(5 10 4 1000 линий/мм |
)2 0,25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( z)2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.3. Задачи для самостоятельного решения
6.3.1. Непрозрачный экран, имеющий форму полудиска, помещен между точечным источником S и точкой наблюдения А таким образом, что точка О располагается на одной прямой с точками S и А. Экран
закрывает небольшое нечетное число полузон Френеля. Какова освещенность в точке А?
Ответ: Если E1 , E2 , E3 - |
поля, создаваемые в точке А представится |
|||||||||||
рядом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E 1 |
(E E |
2 |
E |
N 1 |
) |
1 E |
N |
(E |
N 1 |
E |
N 2 |
). При небольшом N |
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
четное число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
первая скобка близка к нулю, а последняя – к EN 1 / 2, так что
E12 (EN EN 1 ) 0. В точке А будет минимум освещенности.
6.3.2.Между точечным источником S и точкой
наблюдения A помещен диск, центр которого |
|
|
|||
расположен на одной прямой с точками S и A |
|
|
|||
(см. рис.). Одна половина диска прозрачна, |
|
|
|||
другая непрозрачна. Диск закрывает первые три |
O |
A |
|||
зоны Френеля. Толщина прозрачной части диска S |
|||||
|
|
||||
l N |
|
, где n - показатель преломления |
|
|
|
|
2(n 1) |
|
|
|
|
прозрачной части диска, N – целое число. Какова освещенность в точке А при четном и нечетном N?
Ответ: При четном N в точке А будет минимум освещенности (Е = 0), при нечетном N – максимум, приблизительно такой же, как при открытой центральной зоне.
6.3.3.Если круглое отверстие (например, ирисовая диафрагма) увеличивается таким образом, что его радиус от радиуса одной зоны возрастает до радиуса двух зон, то освещенность в точке P (точка Р – изображение источника света, даваемое диафрагмой) падает почти до нуля. Как согласовать этот факт с увеличением всего светового потока через диафрагму в два раза?
Ответ: Энергия перераспределяется, причем в одних точках плоскости изображения плотность светового потока возрастает, а в других убывает. Весь поток через плоскость изображения возрастает в два раза.
6.3.4.Симметрично между источником ( = 4900 Å) и точкой наблюдения расположен непрозрачный экран с круглым отверстием (r = 0,35 мм). Расстояние от источника до экрана а = 1 м. Во сколько раз изменится интенсивность в точке наблюдения, если источник сместить вдоль оси
к отверстию на расстояние |
а = 0,8 м? |
||||||
Ответ: |
I |
|
25 |
. (I 2I0 ; |
I |
50 I0 , где I0 – интенсивность в точке |
|
I |
9 |
||||||
|
|
|
|
9 |
|||
наблюдения в отсутствие экрана).
6.3.5. Между источником S ( = 4,9 10-5см) и точкой наблюдения Р расположен непрозрачный экран с круглым отверстием на оси SP. Расстояние от источника до экрана а = 3 м, между экраном и точкой наблюдения b = 1 м. Во сколько раз изменится интенсивность сигнала,
если точку наблюдения удалить вдоль оси на расстояние b = 3 м от экрана?
Ответ: |
I |
|
4 |
. (I 3I0 ; |
I |
4 I0 , где I0 – интенсивность в точке |
|
I |
9 |
||||||
|
|
|
|
3 |
наблюдения в отсутствие экрана.)
6.3.6.В непрозрачной пластинке имеется отверстие диаметром d = 1 мм. Оно освещается монохроматическим светом с длиной волны = 500 нм от
удаленного точечного источника. Найти расстояние Lmax от отверстия, на котором будет наблюдаться наибольшая освещенность.
|
d 2 |
Ответ: L |
4(2m 1) , m = 0, 1, 2, …; при m = 0 Lmax = 0,5 м. |
6.3.7. Параллельный пучок монохроматического света с длиной волны = 6000 Å нормально падает на непрозрачный экран с круглым отверстием диаметром D = 1,2 мм. На расстоянии b = 18 см за экраном на оси отверстия наблюдается пятно. На какое минимальное расстояние b нужно сместиться от этой точки вдоль оси отверстия, удаляясь от него, чтобы в центре дифракционной картины вновь наблюдалось темное пятно?
Ответ: b |
8b2 |
18 |
см. |
D2 8b |
|||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
6.3.8.Непрозрачный диск, радиус которого R = 0,55 см, освещается плоской монохроматической волной ( =5 10-5 см). Оказалось, что если в центре диска проделать маленькое отверстие, то интенсивность света в точке наблюдения, находящейся за диском на оси отверстия на расстоянии L = 1,5 м учетверится. Определить минимальный радиус отверстия.
Ответ: rmin 
m L 1,15 мм, где m = 1 23 .
6.3.9. В плоскопараллельной стеклянной пластинке с показателем преломления n, на которую нормально падает плоская волна, вырезано круглое отверстие размером в одну зону Френеля для некоторой точки Р, лежащей на оси системы. Определить, при какой толщине пластинки h интенсивность I колебаний в точке Р будет максимальной. Найти Imax, если в отсутствие пластинки интенсивность равна I0. Длина волны падающего света равна .
Ответ: h |
(2m 1) |
, |
m 0,1, 2, ; |
Imax 9I0 . |
|
2(n 1) |
|
|
|
6.3.10. Интенсивность света |
в некоторой точке на оси за отверстием в |
|||
|
|
непрозрачном экране, на который нормально падает |
||
A0 |
A |
параллельный пучок монохроматического света, равна |
||
I0, если в отверстии укладывается одна зона Френеля. С |
||||
|
|
|||
|
помощью векторной диаграммы найти интенсивность |
|||
|
||||
|
|
света в той же точке, если радиус отверстия уменьшить |
||
|
|
на а = 1/3 первоначальной величины. |
||
|
|
Ответ: |
I 0,41I0 . Если r – радиус отверстия, то |
|
разность хода между лучами, приходящими от его края и от центра,
равна r2/(2L), где L – расстояние от центра отверстия до точки наблюдения. Положим сначала r = r1, а затем r r1 (1 a), где r1 –
радиус центральной зоны Френеля. Тогда соответствующие разности фаз будут и (1 )2 .
Как видно из векторной диаграммы, амплитуды колебаний А0 и А в
рассматриваемых двух случаях |
связаны |
соотношением A A0 sin( / 2), |
а интенсивности – соотношением |
I I0 sin2 ( / 2) . При /3
II0 sin2 (2 / 9) I0 sin2 40 0,41I0 .
6.3.11.Точечный источник света с двумя монохроматическими линиями 1 = 6600 Å и 2 = 4400 Å одинаковой интенсивности расположен на расстоянии l = 1 м от экрана. Перед экраном на расстоянии а = 0,2 м располагается непрозрачный лист с отверстием диаметром D = 0,92 мм так, что источник света, центры диска и экрана расположены на общей оси системы. Как отличаются освещенности в центре экрана при наличии и в отсутствии листа?
Ответ: Освещенность при наличии листа в два раза больше.
6.3.12.Между точечным источником и приемником излучения установлен непрозрачный экран с круглым отверстием, размер которого соответствует внешнему краю зоны Френеля. Всю систему заполняют водой, показатель преломления которой n = 1,33. Определить интенсивность излучения I, которую зарегистрирует приемник, если известно, что в отсутствие экрана интенсивность была равна I0.
Ответ: I = 3I0.
6.3.13. На пути плоской световой волны с = 0,54 мкм поставили тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием f = 50 см, непосредственно за ней – диафрагму с круглым отверстием и на расстоянии b = 75 см от диафрагмы – экран. При каких радиусах отверстия центр дифракционной картины на экране имеет максимальную освещенность?
Ответ: r |
m |
fb |
0,9 m мм, где m = 1, 3, 5, …. |
|
b f |
||||
|
|
|
6.3.14.Точечный источник света и точка наблюдения Р расположены симметрично на расстоянии 2L на оси круглого отверстия в непрозрачном экране. Отверстие оставляет открытой одну зону Френеля для точки Р. Во сколько раз изменится интенсивность света в точке Р, если к отверстию без нарушения осевой симметрии приложить тонкую линзу с фокусным расстоянием f = L?
Ответ: Интенсивность света увеличится в два раза.
6.3.15.Основное фокусное расстояние амплитудной плоской зонной
пластинки равно f0. Найти ее остальные фокусные расстояния. Ответ: Основной фокус есть точка, для которой зоны, начерченные на пластинке, совпадают с зонами Френеля. Если r – радиус первой зоны, начерченной на пластинке, то основной фокус определяется
выражением f0 r2 / . Следующие фокусы получаются, когда в
первой зоне, начерченной на пластинке, укладывается 3, 5, …, 2k+1 зон Френеля, т.е. когда r2 / fk (2k 1) . Следовательно, fk f0 /(2k 1),
где k = 0,1,2,... Знаку «плюс» соответствуют действительные, а «минус»
- мнимые фокусы.
6.3.16.Оценить, с какого расстояния L можно увидеть раздельно свет от двух фар автомобиля.
Ответ: L ld 10 км, где l 1 м – расстояние между фарами, d 5 мм
– диаметр зрачка глаза.
6.3.17.Изображение точечного источника проецируется на экран с помощью тонкой линзы с малым апертурным числом двумя способами, реализуемыми при условии, что расстояние от источника до экрана в обоих случаях остается постоянным и равным L = 4 м. При этом фокусное расстояние линзы f = 0,75 м. Как относятся освещенности в центре дифракционного изображения в этих двух случаях?
Ответ: Освещенность не изменится.
6.3.18.С искусственного спутника Земли, обращающегося по круговой орбите на расстоянии h = 250 км, проводится фотографирование земной поверхности. Разрешающая способность фотопленки N = 500 линий /мм. Какими параметрами должен обладать объектив фотоаппарата (диаметр D, фокусное расстояние f), чтобы при
фотографировании разрешались детали с линейными размерами l 1 м?
Ответ: Диаметр объектива D 1,22 lh 16,8 см, фокусное расстояние f Nlh 50 см. Таким образом, Df 13.
6.3.19. Оценить, во сколько раз отличаются напряженности электрического поля монохроматической волны = 1 мкм в фокусе сферического зеркала (диаметр D = 10 см, радиус кривизны R = 1 м) и на его входе.
Ответ: E D2 104.
E R
6.3.20. Плоская волна проходит через стеклянную пластинку с показателем преломления n = 3/2, падая на ее поверхность
нормально (см. рисунок). Толщина пластинки испытывает скачкообразное изменение на 
величину b = 2 /3 вдоль прямой, проходящей |
|
|
через точку С перпендикулярно плоскости |
b |
|
рисунка. Найти интенсивность света в точке О, |
C |
|
лежащей в плоскости, проходящей через точку С |
O |
|
перпендикулярно к плоскости рисунка, если |
||
|
интенсивность света в этой точке в случае плоскопараллельной пластинки (т.е. при b = 0) равна I0.
Ответ: I I40 .
6.3.21. Дифракционные полосы от двух одинаковых параллельных щелей
наблюдаются в фокальной плоскости линзы L (см. |
OT S1 |
OT S2 |
OT S1 |
рисунок). S1 и S2 - бесконечно удаленные |
|
OT S2 |
|
линейные источники монохроматического света, |
|
|
|
параллельные щелям. При каком угловом |
|
|
|
расстоянии между S1 и S2 дифракционные полосы |
|
|
L |
исчезнут, если расстояние между центрами щелей |
|
|
|
равно D и велико по сравнению с шириной щели и |
|
|
|
длиной световой волны ?
|
|
1 |
|
|
Ответ: |
|
m |
2 |
, где m – целое число. |
|
||||
|
D |
|
||
F F
6.3.22. На рисунке изображена схема интерференционного опыта Юнга, в котором используется явление дифракции света на двух щелях. В качестве источника света в схеме применен лазер, работающий на
длине волны = 6328 Å. Пучок света на выходе лазера имеет плоский волновой фронт. Диаметр пучка d = 2 мм. При каком расстоянии между щелями D возможно наблюдение интерференционной картины на экране, если расстояние от источника до двойной щели L = 4 м?
Ответ: D 0,45 см.
6.3.23. При аэрофотосъемке местности используется объектив с фокусным расстоянием f = 10 см и диаметром D = 5 см. Съемка производится на фотопленку, имеющую разрешающую способность R = 100 мм-1. Определить, какие детали местности могут быть разрешены на фотографиях, если съемка производилась с высоты h = 10 км.
Ответ: f = 90 см, r1 = 0,672 мм. Изображения, т.е. максимумы, расположенные на оси пластинки, отодвинутся от последней.
6.3.24. Найти угловое распределение дифракционных минимумов при дифракции на решетке, период которой равен d, ширина щели равна b.
Ответ: Nd sin n , но d sin k , b sin m , где n, m, k – целые
числа. Условие минимума – выполнение хотя бы одного из этих равенств.
6.3.25.Найти условие появления главного дифракционного максимума при
наклонном падении лучей на решетку (угол падения 0). Какой вид принимает это условие, если d >> , а порядок спектра m << d/ ?
6.3.26.Пучок рентгеновских лучей падает на решетку с периодом 1 мкм под углом 89 30 . Найти .
Ответ: d(sin sin 0 ) n .
6.3.27.Описать характер спектров дифракционной решетки, если ее
постоянная d равна 1) удвоенной, 2) утроенной, 3) учетверенной ширине щели b.
Ответ: Исчезнут: 1) спектры порядков 2, 4, 6, …; 2) спектры порядков
3, 6, 9, …; 3) спектры порядков 4, 8, 12, …
6.3.28.Какой максимальный порядок спектра может наблюдаться при дифракции света с длиной волны на решетке с периодом d?
Ответ: Максимальный порядок равен наибольшему из целых чисел, не
превосходящих d/ .
6.3.29. Чем определяется максимальная длина волны, которая может получиться в спектре дифракционной решетки? Определить постоянную, которую должна иметь решетка, способная давать инфракрасный спектр с длинноволновой границей 100 мкм.
Ответ: При нормальном падении max = d. Период решетки должен быть не менее 0,01 см, т.е. решетка должна иметь не более 100 штрих/мм.
6.3.30.На плоскую отражательную решетку нормально падает свет D-линии натрия ( = 5890 Å). Определить число штрихов решетки на 1 мм, если спектр 2-го порядка наблюдается под углом 45 к нормали.
Ответ: 600 штрих/мм.
6.3.31.Подсчитать разрешающую силу решетки с периодом 2,5 10-4см и шириной 3 см в спектрах 1-го и 4-го порядков.
Ответ: 12000, 48000.
6.3.32.Свет от удаленного источника, угловой размер которого составляет
=10-3рад, непосредственно падает на дифракционную решетку.
Оценить, какую максимальную разрешающую способность Rmax можно получить в таких условиях.
Ответ: Rmax 1 103.
Л.М.Образцова, Л.Т.Сухов Общая физика. Оптика. Практикум по решению задач /Учеб. пособие
Корректура авторов
Оригинал-макет (графика, верстка) Казанцевой Г.В.
Усл. печ. л. 5,8 Уч.- изд. л. 5,6