3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / Практикум по решению задач

1.3. Задачи для самостоятельного решения

1.3.1.Определите разность фаз колебаний двух точек, лежащих на луче на расстоянии 1 м друг от друга, если длина волны излучения равна 0,5 м.

1.3.2.Определите длину волны, если числовое значение волнового вектора равно 0,02512 см-1.

1.3.3.Плоская синусоидальная волна распространяется вдоль оси Х в среде, не поглощающей энергию, со скоростью υ = 10 м/с. Две точки,

находящиеся на расстояниях х1 = 7 м и х2 = 10 м от источника, колеблются с разностью фаз 3 / 5. Амплитуда волны А = 5 см.

Определите: 1) длину волны, 2) уравнение волны, 3) смещение f2 второй точки в момент времени t2 = 2 с.

1.3.4.Скорость распространения электромагнитной волны в некоторой среде составляет 250 Мм/с. Определите длину волны в этой среде, если ее

частота в вакууме ν0 = 1 МГц.

1.3.6.В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны 10 В/м. Определите амплитуду напряженности магнитного поля волны.

1.3.7.Энергетическая освещенность земной поверхности в среднем равна 1,3·103 Дж/(м2с). Каковы амплитуды напряженности электрического поля и индукции магнитного поля, если предположить, что земная поверхность освещается монохроматическим светом?

1.3.8.Напишите выражение для плотностей энергии и импульса электромагнитного поля в вакууме.

1.3.9.Световая волна имеет частоту ν = 4·1014Гц и длину волны λ = 5·10-7м. Какова скорость распространения этой волны? Чему равен показатель преломления среды n, в которой она распространяется? Какова длина

волны света λ0, после того как он вышел из данной среды и стал распространяться в воздухе?

1.3.10.Какому диапазону частот соответствует видимый участок спектра электромагнитных волн?

1.3.11.Монохроматический пучок света падает из вакуума на среду с показателем преломления n. Как связаны между собой частоты падающей и преломленной волн? Каково соотношение между длинами этих волн?

1.3.12.Круговая частота плоской электромагнитной волны равна 109с-1, а величина индукции магнитного поля – 10-6Тл. Найдите длину волны, величину напряженности электрического поля волны и средний поток энергии.

1.3.13.Электромагнитная волна с частотой ν = 5 МГц переходит из немагнитной среды с диэлектрической проницаемостью = 2 в вакуум. Определите приращение ее длины волны.

1.3.14.Радиолокатор обнаружил в море подводную лодку, отраженный сигнал от которой дошел до него за t = 36 мкс. Определите расстояние от локатора до лодки, считая диэлектрическую проницаемость воды ε = 81.

1.3.15.Запишите ряд Фурье для периодической функции с периодом Т, заданной на участке (0,Т) формулой f(t) = t/T.

1.3.16.Найдите спектральный состав немонохроматической волны, представляющей собой отрезок синусоиды:

1.3.17. Запишите ряд Фурье для периодической функции с периодом Т, заданной формулой

1.3.18. Найдите энергию, которую переносит за t = 1 мин. Плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в вакууме, через площадку S = 10,0 см2, расположенную перпендикулярно

направлению распространения волны. Амплитуда напряженности электрического поля Е0 = 1,0 мВ/м. Период Т << t.

2. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА. ЗАКОН МАЛЮСА

2.1. Теоретический материал

Уравнения Максвелла допускают решение, когда у вектора E во всех точках и во все моменты времени отлична от нуля только одна проекция,

например, Ex (z,t). Вследствие поперечности электромагнитных волн, у

вектора B отлична от нуля только одна проекция на ось у, т.е. By (z,t) .

Мгновенный снимок такой волны приведен на рис. 1 в разделе 1. Такую волну называют линейной или плоско поляризованной. Плоскость, в которой

лежит вектор напряженности электрического поля E и волновой вектор k ,

называют плоскостью поляризации.

При распространении плоской гармонической волны в вакууме вектор

E может иметь любое направление в плоскости х,у, а обе его компоненты Ех и Еу отличны от нуля. Электрическое поле волны E(z,t) можно

рассматривать как суперпозицию двух волн одинаковой частоты с

ортогональными направлениями поляризации

Здесь а и b – действительные части комплексных амплитуд Е0х и Е0у, а1 и 2 – их фазы. Уравнение траектории, которую описывает конец вектора E в плоскости z = const, имеет вид

где 2 1 - разность фаз слагаемых волн. Выражение (2) представляет

уравнение эллипса, вписанного в прямоугольник со сторонами 2а и 2b,

параллельными осям х и у (рис. 1). Ориентация эллипса и его эксцентриситет определяются отношением a/b и значением .

Рис. 1. Траектория, описываемая концом вектора E в плоскости z = const

Аналогично вектору E , конец вектора B описывает эллипс в плоскости z = const. Вышеизложенное представляет наиболее общий случай, а волна

E(z,t) называется э л л и п т и ч е с к и п о л я р и з о в а н н о й.

Рассмотрим частные случаи для a = b и различных . Виды поляризации можно представить схематически (рис. 2).

Рис. 2. Траектории, описываемые концом вектора E для a = b и различных

Как видно из рис. 2, при разности фаз 0 наблюдается правая

поляризация, при которой Ey (z,t) обгоняет Ex (z,t) . В реальной форме это запишется:

Для правой системы координат вектор E вращается по часовой стрелке, если смотреть навстречу бегущей волне, при E0 y / E0 x i волна будет

правой круговой поляризации. Разности фаз 2 соответствует левая поляризация, в этом случае Ey (z,t) отстает по фазе от Ex (z,t) :

амплитуд E0 x и E0 y волна будет линейно поляризованной. Отношение E0 y / E0 x выражается вещественным числом и определяет угол между направлением поляризации и осью x как tg E0 y / E0 x (рис. 2).

Из рассмотренного следует, что волну с произвольной поляризацией можно разложить либо на сумму двух линейно поляризованных волн с ортогональными направлениями поляризации, либо на сумму двух поляризованных по кругу волн с правой и левой поляризациями.

Свет, испускаемый обычными источниками, не поляризован – это

естественный свет. В нем колебания вектора E в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения света, не имеют преимущественной пространственной ориентации. Для получения поляризованных волн используются специальные устройства, например, поляроиды. Они представляют собой полимерную пленку с внедренными игольчатыми микрокристаллами удлиненной формы, которые хорошо ориентируются при механическом растяжении пленки. Чаще всего

используется герапатид (соль йода и хинина). Эти кристаллы сильно

поглощают свет, когда колебания происходят вдоль оси иглы и почти не поглощают его, когда колебания совершаются в перпендикулярном направлении. Направление, перпендикулярное оси ориентации кристаллов, называют осью пропускания поляроида, а соответствующую плоскость – плоскостью пропускания.

то интенсивность I света, выходящего из анализатора, можно определить,

используя рис. 3. Пусть П – ось (плоскость) пропускания анализатора, а φ – угол между П и плоскостью поляризации падающего света. Разложим E0 на

вектор E|| , параллельный оси пропускания, и векторE , перпендикулярный к ней. Составляющая E задерживается поляроидом и через него пройдет только E|| , величина этого вектора равна E E0 cos . Учитывая, что I0 ~ E02 ,

Для учета поглощения света веществом поляроида следует ввести еще коэффициент прозрачности K. Получим

Соотношения (5) и (6) выражают закон Малюса.

Для характеристики частично поляризованного света, который представляет, например, смесь естественного I0 с линейно поляризованным

Iп, используется понятие «степень поляризации» Р:

При вращении анализатора вокруг оси светового пучка интенсивность света будет максимальной при совпадении плоскости пропускания анализатора с плоскостью поляризации света Iп и определится как

2.2. Основные типы задач и решений

1-й тип: Представление волн одного типа поляризации как результат

сложения или разложения волн другого типа поляризации.

Метод решения: Записать уравнения волн в комплексной форме по проекциям на оси координат. Проанализировать полученные соотношения на основе принципа суперпозиции.

2-й тип: Определение характера поляризации плоской волны через

уравнения ее проекций на оси координат.

Метод решения: Использовать уравнения (3), (4) и рис.2.

3-й тип: Вычисление интенсивности света, прошедшего через систему поляризаторов при известных углах между плоскостями пропускания.

Обратная задача.

Метод решения: Воспользоваться законом Малюса (5), (6).

4-й тип: Нахождение степени поляризации частично поляризованного света.

Вычисление отношения интенсивностей естественной и поляризованной составляющей.

Метод решения: Использовать определение понятия «степень поляризации» (7), (10) и закон Малюса.

Примеры

2.2.1. Покажите, что линейно поляризованную волну с произвольным направлением поляризации можно представить как суперпозицию двух распространяющихся в том же направлении волн правой и левой круговой поляризации. Как связаны амплитуды этих волн с амплитудой исходной волны?

Решение. Для такого представления линейно поляризованной волны запишем уравнения волн круговой поляризации, бегущих в направлении оси z, в проекциях на оси координат.

Волна правой круговой поляризации

волна левой круговой поляризации

результирующая волна

E(z,t) (2E0 ei( t kz ) ; 0; 0).

Полученное уравнение описывает линейно поляризованную волну с амплитудой 2Е0, бегущую вдоль оси z. Следует заметить, что такое

разложение используется при анализе явления естественного вращения

плоскости поляризации.

2.2.2. Какой характер поляризации имеет плоская электромагнитная волна,

проекции вектора E которой на оси х и у, перпендикулярные к направлению ее

распространения, определяются следующими уравнениями:

Решение. Представим Еу в пункте (а) через функцию косинуса и запишем

уравнений видно, что все три волны распространяются вдоль оси z, имеют одинаковые амплитуды Е0 и частоты ω. Отличие между ними в том, что

Используя рис. 2, легко сделать вывод, что (а) соответствует круговой левой поляризации, (б) – эллиптической правой, большая ось эллипса ориентирована вдоль прямой у = х, (в) – линейной поляризации, плоскость

поляризации лежит во втором и четвертом квадрантах.

2.2.3. При прохождении естественного света через два одинаковых, расположенных последовательно, поляроида интенсивность света падает до τ2 = 8%. Найти угол φ между осями пропускания поляроидов, если каждый из них в отдельности пропускает τ1 = 40% светового потока.

максимуму пропускания, интенсивность прошедшего света уменьшилась в τ = 3,0 раза. Найти степень поляризации падающего света.

Опишем первый и второй случаи прохождения света через поляризатор по закону Малюса (5):

I0/2 + IП – интенсивность в максимуме пропускания;

I0/2 + IП cos2φ – интенсивность после поворота поляризатора на угол φ. Согласно условию задачи составим уравнение:

2.3. Задачи для самостоятельного решения

2.3.1.Ветровое стекло и фары автомашин снабжаются пластинками из поляроида. Как должны быть расположены эти пластинки, чтобы шофер мог видеть дорогу, освещенную светом его фар, и не страдал бы от света фар встречных машин?

2.3.2.Интенсивность естественного света, прошедшего через два поляризатора, уменьшилась в 8 раз. Пренебрегая поглощением света, определить угол между плоскостями пропускания поляризаторов.

2.3.3.Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность естественного света, прошедшего через два поляризатора, плоскости пропускания которых образуют угол в 60 , если каждый поляризатор как поглощает, так и отражает 5% падающего света.

2.3.4.Определить, во сколько раз ослабится интенсивность естественного света, прошедшего через два поляризатора, расположенных так, что

угол между их осями пропускания φ = 60 , а в каждом из

поляризаторов теряется 8% падающего на него света.

2.3.5.Определить степень поляризации частично поляризованного света, если амплитуда светового вектора, соответствующая максимальной

интенсивности света, в три раза больше амплитуды, соответствующей

его минимальной интенсивности.

2.3.6.Степень поляризации частично поляризованного света составляет 75%. Определить отношение максимальной интенсивности света, пропускаемого анализатором, к минимальной.