3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / Оптика. Методика решения задач

202 ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

поэтому зависимость лучевой скорости необыкновенной волны ue от угла θ (между Se и оптической осью z ) имеет вид:

Очевидно, что если повернуть сечение лучевого эллипсоида плоскостью xOz вокруг оси Оу на 90° (оси системы координат при этом остаются на месте), то получим сечение эллипсоида, подобного эллипсоиду лучевых скоростей для необыкновенной волны. Вме-

сте со сферой радиуса uo (θ)= c ε эту сложную поверхность

называют лучевой.

На рис 9.7 показаны сечения лучевой поверхности для положительного (а) и отрицательного (б) одноосных кристаллов, а также способ определения с помощью лучевой поверхности ориентации De (или Ne ), если известна ориентация Ee (или Se ).

а б

Рис. 9.7. Сечения лучевых поверхностей для положительного (а) и отрицательного (б) одноосных кристаллов

Напомним, что в соответствии с (9.11):

υ = ue cosα ,

где, как видно из (9.17) и (9.18), угол поляризации α зависит от θ

(или ϕ).

зотропном материале с главными диэлектрическими проницаемостями εx = 2 , εy = 2,5 , εz = 3 . Записать уравнения этих волн.

Решение

под углом ϕ = 30° к оси Оу (см. рис 9.8). Поэтому уравнения волн можно записать в виде:

204 ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

v1 = c 1,7 2 (волна линейно поляризована в плоскости xOy).

Задача 9.2.2. Для некоторой среды уравнение эллипсоида волновых нормалей (оптической индикатрисы) имеет вид:

ра E .

Решение

В соответствии с условием задачи главные диэлектрические проницаемости среды равны εx = 2 , εy = 2,5 и εz = 3 , а главные

плоскости хОу, а лучевое уравнение Френеля (9.13) приводится к

виду:

sx2v2x (u2 − v2y )(u2 − v2z )+ s2y v2y (u2 − v2x )(u2 − v2z )= 0

хОу под углом 45° к оси Оу (см. рис 9.9), то уравнения волн можно записать в виде:

Ответ: u1 = c 3 (волна линейно поляризована вдоль оси z), u2 = 2c 4,5 (волна линейно поляризована в плоскости xOy).

Задача 9.2.3. Для анизотропной среды с главными диэлектрическими проницаемостями εx = 3 , εy = 2 , εz = 2,5 найти направ-

ления, вдоль которых лучевая скорость u не зависит от ориентации вектора E .

Решение

Сечение лучевого эллипсоида (9.13), перпендикулярное искомым направлениям, должно иметь форму окружности. Так как

εy < εz < εx эллипсоид с полуосями 1 εx ≠1 εy ≠1 εz имеет два таких сечения (радиусами 1 εz ), нормали к которым лежат в плоскости хОу под углами ±ψ к оси Оу (см. рис.9.11).

Рис. 9.11. Сечение лучевого эллипсоида плоскостью хОу

Так как координаты точки пересечения вектора E1 с лучевым

то в соответствии с (9.12):

(εxcos2ψ + εysin2ψ)εz =1,

откуда

Найденные направления являются лучевыми оптическими осями двуосного кристалла.

Ответ: ψ = ±45D.

Задача 9.2.4. Узкий пучок неполяризованного света падает нормально на пластинку исландского шпата, оптическая ось составляет с плоскостью пластинки угол γ ( 0 ≤ γ < 90°), и затем нор-

мально на вторую такую же пластинку, главная плоскость которой

образует с главной плоскостью первой пластинки угол α = 30° . Найти относительные интенсивности лучей за второй пластинкой.

Решение

В верхней части рис 9.12 показано раздвоение узкого пучка света при прохождении первой пластинки. Интенсивности пучков o1 и e1 одинаковы и равны половине интенсивности падающего

пучка. После прохождения второй пластинки каждый из пучков еще раз разделится на два пучка, и на выходе будем иметь четыре пучка: o1o2 , o1e2 , e1o2 и e1e2 , взаимное расположение которых по-

казано в нижней части рис.9.12.

В соответствии с рис 9.13 ( H1 и H2 – линии пересечения главных плоскостей пластинок с поверхностями пластинок):

Io1o2 : Io1e2 : Ie1o2 : Ie1e2 = cos2 α : sin2 α : sin2 α : cos2 α = 3 :1:1: 3 .

Ответ: 3:1:1:3.

Задача 9.2.5. Наблюдатель смотрит на близкий предмет через плоскопараллельную пластинку из исландского шпата. Когда между пластинкой и предметом помещена собирающая линза (на расстоянии a = 4 см от предмета), он видит два прямых увеличенных изображения предмета. После того как к линзе вплотную приложили очковое стекло с оптической силой D = + 5 дптр, стало видно

только одно изображение предмета. Найти фокусное расстояние f линзы.

Решение

Если наблюдатель смотрит через такую пластинку на близко расположенный предмет, то в результате двулучепреломления (см. задачу 9.2.4) на сетчатке глаза будет формироваться двойное изображение предмета. Собирающая линза между пластинкой и предметом играет роль увеличительного стекла (лупы), которое как бы

«отодвигает» предмет на расстояние наилучшего зрения L0 (см. рис. 9.14).

Согласно формуле тонкой линзы:

1 − 1 = 1 . a L0 f

В соответствии с условием задачи оптическая система (линза + оч-

ковое стекло) должна «отодвигать» предмет от наблюдателя на достаточно большое расстояние L∞ . Этот вывод можно сделать на

том основании, что по мере увеличения расстояния до S′ уменьшается максимальный угол между лучами, исходящими из любой точки S′ и участвующими в формировании ее изображения на сетчатке глаза, а следовательно, уменьшается раздвоенность изображения. Для удаленного предмета эта раздвоенность изображения меньше углового разрешения глаза.

Ответ: 0,05 м.

проницаемости среды: εx = 2; εy = 2,5; εz = 3 (μ =1). Как должна быть поляризована волна частотой ν = 1014 Гц, чтобы ее фазовая скорость в этой среде была максимальна? Найти соответствующее этой поляризации значение фазовой скорости. Написать уравнения этой волны (для векторов E, D и H), если амплитуда вектора электрической индукции равна D0.

Литература

1.Ландсберг Г.С. Оптика. − М.: Физматлит, 2003, глава 26.

2.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. − М.: Наука, 1980, глава 7.

3.Матвеев А.Н. Оптика. − М.: Высш. шк., 1985, §§39−42.

4.Бутиков Е.И. Оптика. − М.: Высш. шк., 1986, раздел 4.

5.Гинзбург В.Л., Левин Л.М., Сивухин Д.В., Четверикова Е.С.,

Яковлев И.А. Сборник задач по общему курсу физики. В 5 т. Кн. IV.

Оптика/ Под ред. Д.В.Сивухина. − М.: ФИЗМАТЛИТ; ЛАНЬ, 2006, §7.

6. Сборник задач по общему курсу физики: Учеб. пособие: Для вузов. В трех частях. Ч. 2. Электричество и магнетизм. Оптика./ Под ред. В.А.Овчинкина. − М.: Изд-во МФТИ, 2000, §11.

7.Иродов И.Е. Задачи по общей физике. − М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006, 5.4.

8.Ильичева Е.Н., Кудеяров Ю.А., Матвеев А.Н. Методика ре-

шения задач оптики/ Под ред. А.Н.Матвеева − М.: Изд-во Моск. ун-

та, 1981, раздел VIII.

поэтому зависимость лучевой скорости необыкновенной волны ue от угла θ (между Se и оптической осью z ) имеет вид: