3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / лекции по физике

тельными, а процесс незатухающих колебаний в таких системах – ав-

токолебаниями.

В автоколебательной системе можно выделить три основных элемента – колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов). Источником энергии может служить энергия деформации пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис. 20 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.

УСТРОЙСТВО ОБРАТНОЙ СВЯЗИ

Рис. 20. Функциональная схема автоколебательной системы

В качестве примера механической автоколебательной системы можно привести часовой механизм с анкерным ходом (рис. 21). Ходовое колесо с косыми зубьями жёстко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твёрдого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник – балансиром-маховичком, скреплённым со спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир. Источником энергии – поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод. Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.

31

Впроизвольный же момент времени сумма энергий электрического

имагнитного полей является величиной постоянной

I dq – ток в цепи. dt

Рис. 23. Электромагнитные колебания в контуре

В правой части этого соотношения стоит ЭДС самоиндукции катушки. Уравнение, описывающее свободные колебания в RLC-контуре, может быть приведено к следующему виду, если в качестве переменной величины выбрать заряд конденсатора q(t)

При получении данного уравнения мы разделили (58) на L и подставили

I q и dI q . dt

34

Рис. 24. Графики зависимости q(t) и I (t)

Если сопротивление R = 0, то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими. Тогда из (59) получим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре

где qm – амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой o, называемой собственной частотой контура, то есть

o

Формула (63) впервые была получена У. Томсоном и называется формулой Томсона.

Частота свободных колебаний в контуре

Период и частота свободных колебаний не зависят от амплитуды колебаний и полностью определяются параметрами колебательной системы (L и C).

Сила тока в колебательном контуре

35

где Im= o∙qm – амплитуда силы тока. Напряжение на конденсаторе

где Um = qm/C – амплитуда напряжения.

Из выражений (65) и (66) вытекает, что колебания тока I опережают по фазе колебания заряда q на /2, то есть, когда ток (а также и напряжение) достигает максимального значения, заряд обращается в нуль, и наоборот.

Все реальные колебательные контуры содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасённой в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими (рис. 25).

Рис. 25. Затухающие колебания в контуре

Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим колебаниям груза на пружине при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: Fтр = -β∙ . Коэффициент β в этой формуле аналогичен сопротивлению R в электрическом контуре. Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания имеет вид

o

Физическая величина δ = R / 2∙L называется коэффициентом затухания.

Решением этого дифференциального уравнения является функция

36

которая содержит множитель exp (-δ∙t), описывающий затухание колебаний. Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R

контура. Интервал времени 1 , в течение которого амплитуда коле-

баний уменьшается в e ≈ 2,7 раза, называется временем затухания. Как уже ранее отмечалось добротность

где N – число полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ.

Энергетическое определение добротности

Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Следует отметить, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не очень высокой добротностью несколько меньше собственной частоты ωо идеального контура с теми же значениями L и C. Но при Q ≥ (5–10) этим различием можно пренебречь.

1.11. Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями

Сравнение свободных колебаний груза на пружине и процессов в электрическом колебательном контуре позволяет сделать заключение об аналогии между электрическими и механическими величинами. Эти аналогии представлены в таблице 3.

Аналогии между механическими и электрическими колебательными системами успешно используются в современных исследованиях и расчётах. При расчёте сложных механических систем часто прибегают к электромеханической аналогии, моделирую механическую систему соответствующей электрической.

Знание аналогии между электрическими и механическими величинами, позволяет успешно решать ряд задач по механике и электродинамике.

37

Таблица 3

Сопоставление механических и электромагнитных колебаний

1.12. Вынужденные механические колебания

Вынужденные механические колебания – незатухающие колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы

38

где Fo – амплитудное значение вынуждающей силы; – частота вынуждающей силы.

Это – частное решение неоднородного уравнения, описывающие уже установившиеся колебания.

Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний вообще равно сумме общего решения однородного уравнения ( x1 Aoe t cos 1t ), но оно играет существенную роль только в на-

чальной стадии процесса (при установлении колебаний) и рассмотренного выше частного решения неоднородного уравнения при установившихся колебаниях (рис. 26).

x

t

Рис. 26. Устанавливающиеся колебания

39

1.13. Вынужденные колебания. Переменный ток

Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями.

Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими. Периодический внешний источник обеспечивает приток энергии к системе и не даёт колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.

Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте ωо.

Если частота ωо свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника.

Для установления стационарных вынужденных колебаний необходимо некоторое время Δt после включения в цепь внешнего источника. Это время по порядку величины равно времени τ затухания свободных колебаний в цепи.

Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического источника тока, на-

зываются цепями переменного тока.

Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно рассматривать как протекание в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор, переменного тока. Переменный ток можно считать квазистационарным, то есть для него мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, так как их изменения происходят достаточно медленно, а электромагнитные возмущения распространяются по цепи со скоростью, равной скорости света. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа, которые будут использованы применительно к переменным токам.

Рассмотрим последовательно процессы, происходящие на участке цепи, содержащем резистор, катушку индуктивности и конденсатор, к концам которого приложено переменное напряжение

где Um – амплитуда напряжения.

1. Переменный ток, текущий через резистор сопротивлением R

(L 0, C 0) (рис. 27).

40