3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / лекции по физике

m d

гдеd – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника. Математический маятник можно представить как частный случай

физического маятника, предположив, что его масса сосредоточена в центре масс. Для математического маятника J m l2 . Тогда, согласно

физического маятника – это длина такого математического маятника, который колеблется с физическим маятником синхронно.

1.5. Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты

Пусть нужно сложить два колебания, которые определяются уравнениями x1 A1 cos t 1 ; x2 A2 cos t 2 . Представим каждое колебание в виде вектора и найдем по правилам сложения векторов результирующий вектор (рис. 12), используя метод вращающегося вектора амплитуды.

A

A2

φ φ2 - φ1

φ2 A1

x1 x2

x

Рис. 12. Сложение колебаний одного направления и одинаковой часто-

Результирующее колебание равно сумме складываемых колебаний. Уравнение результирующего колебания

Результирующую амплитуду можно найти по теореме косинусов

По формулам приведения в тригонометрии

21

При 2 1 2m ; m 0,1, амплитуда результирующего коле-

бания равна сумме амплитуд складываемых колебаний

A A1 A2.

При 2 1 2m 1 ; m 0,1,2, амплитуда результирующе-

го колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний

A A1 A2 .

Следовательно, колебания в зависимости от разности фаз могут усиливать или ослаблять друг друга. Этот важный вывод используется при описании интерференции волн.

Начальная фаза

1.6. Биения

Биения – периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами.

Складываемые колебания:

x1 A cos t,

(37)

x2 A cos t,

22

Частота биений равна разности частот складываемых колебаний.

1.7. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний

Эллиптически-поляризованные колебания

Складываемые колебания

x A cos t,

(41)

y Bcos t ,

где А и В – амплитуды складываемых колебаний; начальная фаза первого колебания принята равной нулю; – разность фаз складываемых колебаний.

Складываются гармонические колебания одинаковой частоты , происходящие во взаимно-перпендикулярных направлениях вдоль осей x и y.

Уравнение траектории результирующего колебания

Это – уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно (получается посредством исключения t из складываемых уравнений).

Эллиптически-поляризованные колебания – колебания, в кото-

рых траектория результирующего колебания имеет форму эллипса.

23

Уравнение траектории результирующего колебания в виде эллипса находится исключением параметра t из выражений (41).

Ориентация эллипса и его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз .

Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес:

1)= m∙ (m = 0, ±1, ±2, ...). В данном случае эллипс вырождается

вотрезок прямой

где знак плюс соответствует нулю и четным значениям т (рис. 14, а), а знак минус – нечетным значениям т (рис. 14, б). Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой и амплитудой

A2 B2 , совершающимся вдоль прямой, составляющей с осью х угол

зованными колебаниями;

2) = (2∙m+1) (m = 0, ± 1, ±2,...). В данном случае уравнение при-

2

мет вид

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис. 15). Кроме того, если А=В, то эллипс вырождается в окружность. Такие колебания на-

зываются циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания

24

довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу (рис. 16). Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

1:1

1:2

1:3

2:3

3:4

Рис. 16. Фигуры Лиссажу

1.8.Свободные затухающие колебания и их анализ

Вреальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими (рис. 17).

Скорость затухания колебаний зависит от величины сил трения. Интервал времени τ, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раз, называется временем затухания.

Частота свободных колебаний зависит от скорости затухания колебаний. При возрастании сил трения собственная частота уменьшается. Однако изменение собственной частоты становится заметным лишь при больших силах трения, когда собственные колебания быстро затухают.

25

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными. Эти колебания являются незатухающими. Внешняя сила совершает положительную работу и обеспе-

27

чивает приток энергии к колебательной системе. Она не даёт колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ωo.

Если свободные колебания происходят на частоте ωo, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы. После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Δt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе.

В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ωo. Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы.

Рассмотрим вынужденные колебания тела на пружине (рис. 18).

Внешняя сила Fвн приложена к свободному концу пружины. Она заставляет свободный левый конец пружины (рис. 18) перемещаться по закону

где ym – амплитуда колебаний, ω – круговая частота.

Рис. 18. Вынужденные колебания груза на пружине

Если левый конец пружины смещен на расстояние y, а правый – на расстояние x от их первоначального положения, когда пружина была недеформирована, то удлинение пружины Δl равно:

28

В этом уравнении сила, действующая на тело, представлена в виде двух слагаемых. Первое слагаемое в правой части – это упругая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия (x = 0). Второе слагаемое – внешнее периодическое воздействие на тело. Это слагаемое и называют вынуждающей силой.

Уравнению, выражающему второй закон Ньютона для тела на пружине при наличии внешнего периодического воздействия, можно придать строгую математическую форму, если учесть связь между ускорением тела и его координатой: a x . Тогда уравнение вынужденных колебаний запишется в виде

где o k – собственная круговая частота свободных колебаний,

m

ω – циклическая частота вынуждающей силы. В случае вынужденных колебаний груза на пружине (рис. 18) величина A определяется выражением

Уравнение (50) не учитывает действия сил трения. Это уравнение содержит две частоты – частоту ωo свободных колебаний и частоту ω вынуждающей силы.

Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону

Амплитуда вынужденных колебаний xm и начальная фаза θ зависят от соотношения частот ωo и ω и от амплитуды ym внешней силы.

На очень низких частотах, когда ω << ωo, движение тела массой m, прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x(t) = y(t), и пружина остаётся практически

недеформированной. Внешняя сила Fвн , приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, так как модуль этой силы при ω << ωo стремится к нулю.

Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ωo, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. Зависимость амплитуды xm вынуж-

29

денных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис. 19).

При резонансе амплитуда xm колебания груза может во много раз превосходить амплитуду ym колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (то есть чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.

У колебательных систем с не очень высокой добротностью (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно (рис. 19). На рис. 19 колебательной системе без трения соответствует кривая 1; при резонансе амплитуда xm вынужденных колебаний неограниченно возрастает; 2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной добротностью: Q2 > Q3 > Q4. На низких частотах (ω << ωo) xm ≈ ym. На высоких частотах (ω >> ωo) xm → 0. Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.

xm

1

2

3

4

ym

o

Рис. 19. Резонансные кривые при различных уровнях затухания

Вынужденные колебания – это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют

системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколеба-

30