3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / лекции по физике

то есть – линейная функция атомного номера Z.

В (388), (389): Z – порядковый номер элемента; R – постоянная Ридберга; σ – постоянная экранирования, одинаковая в пределах каждой серии для всех элементов (для К-серии σ = 1, для L-серии σ = 7,5 и так далее); m = 1, 2, 3, …(определяет рентгеновскую серию), n = m+1, m+2, … (определяет линию соответствующей серии); а – постоянная, имеющая определённое значение для каждой линии.

Физический смысл постоянной экранирования состоит в том, что на электрон, совершающий переход, действует не весь заряд ядра Z e , а заряд (Z ) e , ослабленный экранирующим действием других электронов.

Следует отметить, что в процессе ускорения-торможения лишь около 1 % кинетической энергии электрона идёт на рентгеновское излучение, 99 % энергии превращается в тепло.

Рис. 176. Длина волны характеристического рентгеновского излучения

На Земле электромагнитное излучение в рентгеновском диапазоне образуется в результате ионизации атомов излучением, которое возникает при радиоактивном распаде, а также космическим излучением. Радиоактивный распад также приводит к непосредственному излучению

241

рентгеновских квантов, если вызывает перестройку электронной оболочки распадающегося атома (например, при электронном захвате).

При помощи рентгеновских лучей можно «просветить» человеческое тело, в результате чего можно получить изображение костей, а в современных приборах и внутренних органов. Выявление дефектов в изделиях (рельсах, сварочных швах и т. д.) с помощью рентгеновского излучения называется рентгеновской дефектоскопией. В материаловедении, кристаллографии, химии и биохимии рентгеновские лучи используются для выяснения структуры веществ на атомном уровне при помощи дифракционного рассеяния рентгеновского излучения (рентгеноструктурный анализ). Известным примером является определение структуры ДНК.

6.9. Лазеры

Лазеры или оптические квантовые генераторы – это современ-

ные когерентные источники излучения, обладающие целым рядом уникальных свойств (рис. 177).

Рис. 177. Оптический квантовый генератор

Создание лазеров – одно из самых существенных достижений физики XX века, которое привело к революционным изменениям во многих областях науки и техники. К настоящему времени создано большое количество лазеров с различными характеристиками – газовых, твердотельных, полупроводниковых, излучающих свет в различных оптических диапазонах. Лазеры могут работать в импульсном и непрерывном режимах. Мощность излучения лазеров может изменяться в пределах от долей милливатта до 1012–1013 Вт (в импульсном режиме).

242

Лазеры нашли применение в самых различных областях – от коррекции зрения до управления транспортными средствами, от космических полётов до термоядерного синтеза. Лазеры широко используются в военной технике (дальномеры, целеуказатели, прицелы и так далее). Важнейшим свойством лазерного излучения является чрезвычайно вы-

сокая степень его монохроматичности, недостижимая в излучении нелазерных источников. Это и все другие уникальные свойства лазерного излучения возникают в результате согласованного, кооперативного испускания световых квантов многими атомами рабочего вещества.

Для понимания принципа работы лазера, нужно изучить процессы поглощения и излучения атомами квантов света. Атом может находиться в различных энергетических состояниях с энергиями E1, E2 и так далее. Эти состояния в Боровской теории называются стабильными. На самом деле стабильным состоянием, в котором атом может находиться бесконечно долго в отсутствие внешних возмущений, является только состояние с наименьшей энергией. Это состояние называют основным. Все другие состояния нестабильны. Возбужденный атом может пребывать в этих состояниях лишь очень короткое время, порядка 10–8 с, после этого он самопроизвольно переходит в одно из низших состояний, испуская квант света, частоту которого можно определить из второго постулата Бора. Излучение, испускаемое при самопроизвольном переходе атома из одного состояния в другое, называют спонтанным. На некоторых энергетических уровнях атом может пребывать значительно большее время, порядка 10–3 с. Такие уровни называются метастабиль-

ными.

Переход атома в более высокое энергетическое состояние может происходить при резонансном поглощении фотона, энергия которого равна разности энергий атома в конечном и начальном состояниях.

Переходы между энергетическими уровнями атома не обязательно связаны с поглощением или испусканием фотонов. Атом может приобрести или отдать часть своей энергии и перейти в другое квантовое состояние в результате взаимодействия с другими атомами или столкновений с электронами. Такие переходы называются безизлучательными.

В 1916 году А. Эйнштейн предсказал, что переход электрона в атоме с верхнего энергетического уровня на нижний может происходить под влиянием внешнего электромагнитного поля, частота которого равна собственной частоте перехода. Возникающее при этом излучение на-

зывают вынужденным или индуцированным.

Вынужденное излучение резко отличается от спонтанного излучения. В результате взаимодействия возбужденного атома с фотоном атом испускает ещё один фотон той же самой частоты, распространяющийся

243

в том же направлении. Это означает, что атом излучает электромагнитную волну, у которой частота, фаза, поляризация и направление распространения точно такие же, как и у первоначальной волны. В результате вынужденного испускания фотонов амплитуда волны, распространяющейся в среде, возрастает. С точки зрения квантовой теории, в результате взаимодействия возбужденного атома с фотоном, частота которого равна частоте перехода, появляются два совершенно одинаковых фото- на-близнеца.

Именно индуцированное излучение является физической основой работы лазеров.

На рис. 178 схематически представлены возможные механизмы переходов между двумя энергетическими состояниями атома с поглощением или испусканием кванта.

кванта

Рис. 178. Условное изображение процессов

Рассмотрим слой прозрачного вещества, атомы которого могут находиться в состояниях с энергиями E1 и E2 > E1. Пусть в этом слое распространяется излучение резонансной частоты перехода ν = E / h. Согласно распределению Больцмана, при термодинамическом равновесии большее количество атомов вещества будет находиться в нижнем энергетическом состоянии. Некоторая часть атомов будет находиться и в верхнем энергетическом состоянии, получая необходимую энергию при столкновениях с другими атомами. Обозначим населенности нижнего и верхнего уровней соответственно через n1 и n2 < n1. При распространении резонансного излучения в такой среде будут происходить все три процесса, изображенные на рис. 178. Эйнштейн показал, что процесс поглощения фотона невозбужденным атомом и процесс индуцированного испускания кванта возбужденным атомом имеют одинаковые вероятности. Так как n2 < n1 поглощение фотонов будет происходить чаще, чем индуцированное испускание. В результате прошедшее через слой вещества излучение будет ослабляться. Это явление напоминает появление темных фраунгоферовских линий в спектре солнечного из-

244

лучения. Излучение, возникающее в результате спонтанных переходов, некогерентно и распространяется во всевозможных направлениях и не даёт вклада в проходящую волну.

Чтобы проходящая через слой вещества волна усиливалась, нужно искусственно создать условия, при которых n2 > n1, то есть создать инверсную населенность уровней. Такая среда является термодинамически неравновесной. Идея использования неравновесных сред для получения оптического усиления впервые была высказана В.А. Фабрикантом в 1940 году. В 1954 году русские физики Н.Г. Басов и А.М. Прохоров и независимо от них американский ученый Ч. Таунс использовали явление индуцированного испускания для создания микроволнового генератора радиоволн с длиной волны λ = 1,27 см. За разработку нового принципа усиления и генерации радиоволн в 1964 году все трое были удостоены Нобелевской премии.

Среда, в которой создана инверсная населенность уровней, называется активной. Она может служить резонансным усилителем светового сигнала. Для того чтобы возникала генерация света, необходимо использовать обратную связь. Для этого активную среду нужно расположить между двумя высококачественными зеркалами, отражающими свет строго назад, чтобы он многократно прошел через активную среду, вызывая лавинообразный процесс индуцированной эмиссии когерентных фотонов. При этом в среде должна поддерживаться инверсная населенность уровней. Этот процесс принято называть накачкой.

Начало лавинообразному процессу в такой системе при определенных условиях может положить случайный спонтанный акт, при котором возникает излучение, направленное вдоль оси системы. Через некоторое время в такой системе возникает стационарный режим генерации. Это и есть лазер. Лазерное излучение выводится наружу через одно (или оба) из зеркал, обладающее частичной прозрачностью. На рис. 179 схематически представлено развитие лавинообразного процесса в лазере.

Существуют различные способы получения среды с инверсной населенностью уровней. В рубиновом лазере используется оптическая накачка. Атомы возбуждаются за счет поглощения света. Но для этого недостаточно только двух уровней. Каким бы мощным не был свет лампынакачки, число возбужденных атомов не будет больше числа невозбужденных. В рубиновом лазере накачка производится через третий выше расположенный уровень (рис. 180).

245

Рис. 179. Развитие лавинообразного процесса генерации в лазере

На рис. 180 указаны «времена жизни» уровней E2 и E3. Уровень E2

– метастабильный. Переход между уровнями E3 и E2 безызлучательный. Лазерный переход осуществляется между уровнями E2 и E1. В кристалле рубина уровни E1, E2 и E3 принадлежат примесным атомам хрома.

Рис. 180. Схема оптической накачки в рубиновом лазере

После вспышки мощной лампы, расположенной рядом с рубиновым стержнем, многие атомы хрома, входящего в виде примеси в кристалл рубина (около 0,05 %), переходят в состояние с энергией E3, а через промежуток τ ≈ 10–8 с они переходят в состояние с энергией E2. Перенаселенность возбужденного уровня E2 по сравнению с невозбужденным уровнем E1 возникает из-за относительно большого времени жизни уровня E2.

Лазер на рубине работает в импульсном режиме на длине волны 694 мм (темно-вишневый свет), мощность излучения может достигать в

246

импульсе 106–109 Вт. Исторически это был первый действующий лазер (американский физик Т. Майман, 1960 г.).

Одним из самых распространенных лазеров является газовый лазер на смеси гелия и неона. Общее давление в смеси составляет порядка 102 Па при соотношении компонент He и Ne примерно 10 : 1. Активным газом, на котором возникает генерация на длине волны 632,8 нм (яркокрасный свет) в непрерывном режиме, является неон. Гелий участвует в механизме создания инверсной населенности одного из верхних уровней неона. Излучение He-Ne лазера обладает очень высокой монохроматичностью. Спектральная ширина линии генерации He-Ne лазера составляет примерно ν ≈ 5·10-4 Гц. Это фантастически малая величина. Время когерентности такого излучения оказывается порядка τ ≈ 1 / ν ≈ 2·103 с, а длина когерентности cτ ≈ 6·1011 м, то есть больше диаметра земной орбиты!

На практике многие технические причины мешают реализовать столь узкую спектральную линию He-Ne лазера. Путем тщательной ста-

билизации всех параметров лазерной установки удается достичь относительной ширины ν / ν порядка 10–14–10–15, что примерно на 3–4 по-

рядка хуже теоретического предела. Но и реально достигнутая монохроматичность излучения He–Ne лазера делает этот прибор совершенно незаменимым при решении многих научных и технических задач. Первый гелий-неоновый лазер был создан в 1961 году. На рис. 181 представлена упрощенная схема уровней гелия и неона и механизм создания инверсной населенности лазерного перехода (прямыми стрелками изображены спонтанные переходы в атомах неона).

Рис. 181. Механизм накачки He-Ne лазера

247

Накачка лазерного перехода E4 → E3 в неоне осуществляется следующим образом. В высоковольтном электрическом разряде вследствие соударений с электронами значительная часть атомов гелия переходит в верхнее метастабильное состояния E2. Возбужденные атомы гелия неупруго сталкиваются с атомами неона, находящимися в основном состояние, и передают им свою энергию. Уровень E4 неона расположен на 0,05 эВ выше метастабильного уровня E2 гелия. Недостаток энергии компенсируется за счет кинетической энергии соударяющихся атомов. На уровне E4 неона возникает инверсная населенность по отношению к уровню E3, который сильно обедняется за счет спонтанных переходов на ниже расположенные уровни. При достаточно высоком уровне накачки в смеси гелия и неона начинается лавинообразный процесс размножения идентичных когерентных фотонов. Если кювета со смесью газов помещена между высокоотражающими зеркалами, то возникает лазерная генерация.

248

7.Элементы квантовой статистики

7.1.Фазовое пространство. Функция распределения

Квантовая статистика – раздел статистической физики, исследующий системы, которые состоят из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики.

Пусть система состоит из N частиц. Введем в рассмотрение многомерное пространство всех координат и импульсов частиц системы. Тогда состояние системы определяется заданием 6N переменных, так как состояние каждой частицы определяется тройкой координат х, у, z и тройкой соответствующих проекций импульса рх, ру, pz. Соответственно число «взаимно перпендикулярных» координатных осей данного пространства равно 6N. Это 6N-мерное пространство называется фазовым пространством. Каждому микросостоянию системы отвечает точка в 6N-мерном фазовом пространстве, так как задание точки фазового пространства означает задание координат и импульсов всех частиц системы. Разобьем фазовое пространство на малые 6N-мерные элементарные ячейки объемом dqdp = dq1dq2...dq3Ndp1dp2...dp3N, где q – совокупность координат всех частиц, р – совокупность проекций их импульсов. Кор- пускулярно-волновой дуализм свойств вещества и соотношение неопределенностей Гейзенберга приводят к выводу, что объем элементарной ячейки (он называется фазовым объемом) не может быть меньше чем h3 (h – постоянная Планка).

Вероятность dW данного состояния системы можно представить с помощью функции распределения f (q, p):

Здесь dW – вероятность того, что точка фазового пространства попадет в элемент фазового объема dqdp, расположенного вблизи данной точки q, р. Иными словами, dW представляет собой вероятность того, что система находится в состоянии, в котором её координаты и импульсы, заключены в интервале q, q+dq и р, p+dp.

Согласно формуле (390), функция распределения есть не что иное, как плотность вероятности определенного состояния системы. Поэтому она должна быть нормирована на единицу

f (q, p)dqdp 1,

где интегрирование производится по всему фазовому пространству. Зная функцию распределения f (q, р), можно решить основную за-

дачу квантовой статистики – определить средние значения величин, ха-

249

рактеризующих рассматриваемую систему. Среднее значение любой функции

Если иметь дело не с координатами и импульсами, а с энергией, которая квантуется, то состояние системы характеризуется не непрерывной, а дискретной функцией распределения.

Явное выражение функции распределения в самом общем виде получил американский физик Д. Гиббс. Оно называется каноническим распределением Гиббса. В квантовой статистике каноническое распределение Гиббса имеет вид

где А – постоянная, определяемая из условия нормировки к единице, n – совокупность всех квантовых чисел, характеризующих данное состояние. Важно понимать, что f (Еn) есть именно вероятность данного состояния, а не вероятность того, что система имеет определенное значение энергии Еn, так как данной энергии может соответствовать не одно, а несколько различных состояний (может иметь место вырождение).

7.2. Понятие о квантовой статистике Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака

Одним из важнейших «объектов» изучения квантовой статистики, как и классической, является идеальный газ. Это связано с тем, что во многих случаях реальную систему можно в хорошем приближении считать идеальным газом. Состояние системы невзаимодействующих частиц задается с помощью так называемых чисел заполнения Ni – чисел, указывающих степень заполнения квантового состояния (характеризуется данным набором i квантовых чисел) частицами системы, состоящей из многих тождественных частиц. Для систем частиц, образованных бозонами – частицами с нулевым или целым спином, числа заполнения могут принимать любые целые значения: 0, 1, 2, ... . Для систем частиц, образованных фермионами – частицами с полуцелым спи-

ном, числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 для свободных состояний и 1 для занятых. Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, то есть определить средние числа заполнения Ni .

Идеальный газ из бозонов (частиц с нулевыми и целыми спина-

ми) – бозе-газ – описывается квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна. Распределение бозонов по энергиям вытекает из так называемого большого канонического распределения Гиббса (с переменным числом час-

250