3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / лекции по физике

Согласно теории Бора, при обратном самопроизвольном переходе атома ртуть должна испускать кванты с частотой

E2 E1 1,2 1015 Гц. h

Спектральная линия с такой частотой действительно была обнаружена в ультрафиолетовой части спектра в излучении атомов ртути.

Представление о дискретных состояниях противоречит классической физике. Поэтому возник вопрос, не опровергает ли квантовая теория законы классической физики. Квантовая физика не отменила фундаментальных классических законов сохранения энергии, импульса, электрического разряда и т. д. Согласно сформулированному Н. Бором принципу соответствия, квантовая физика включает в себя законы классической физики, и при определенных условиях можно обнаружить плавный переход от квантовых представлений к классическим. Это можно видеть на примере энергетического спектра атома водорода (рис. 169). При больших квантовых числах n >> 1 дискретные уровни постепенно сближаются, и возникает плавный переход в область непрерывного спектра, характерного для классической физики.

Полуклассическая теория Бора явилась важным этапом в развитии квантовых представлений, введение которых в физику требовало кардинальной перестройки механики и электродинамики. Такая перестройка была осуществлена в 20-е – 30-е годы XX века.

Представление об определенных орбитах, по которым движутся электроны в атоме, весьма условно. Движение электрона в атоме очень мало похоже на движение планет. Физический смысл имеет только вероятность обнаружить электрон в том или ином месте, описываемая

231

квадратом модуля волновой функции |Ψ|2. Волновая функция Ψ является решением основного уравнения квантовой механики – уравнения Шредингера. Таким образом, при бесспорных достоинствах теория Бора имела и существенные недостатки (таблица 26).

6.4. Атом водорода в квантовой механике

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия Не+, двукратно ионизованного лития Li++ и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Z∙e (для атома водорода Z = 1),

4 o r

где r – расстояние между электроном и ядром. Графически функция U(r) изображена жирной кривой (рис. 171).

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией , удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера

где m – масса электрона, Е – полная энергия электрона в атоме. Это уравнение типа имеет решение, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции , только при собственных значениях энергии (полученное ранее уравнение (376))

то есть для дискретного набора отрицательных значений энергии.

Е, U

Е 0

0

Е3 r

Ei Е2

Е1

Рис. 171. Зависимость E,U(r) для атома водорода

232

Состояния электрона в атоме описывается волновыми функциямиn,l,m , зависящими от трех квантовых чисел n, l, m:

главное квантовое число n = 1, 2, 3, 4... определяет слой, в кото-

ром находится электрон. Слои обозначаются буквами K, L, M , N,... соответственно;

орбитальное квантовое число l 0, 1, 2, 3,...(n 1) характеризует

магнитное квантовое число m 0, 1, 2,... l определяет наклон орбитали к заданной оси Z (проекция момента импульса электрона на

Так, например состояния, в которых орбитальное квантовое число l = 0, описываются сферически симметричными распределениями вероятности. Они называются s-состояниями (1s, 2s, ..., ns, ...). При значениях l > 0 сферическая симметрия электронного облака нарушается. Состояния с l = 1 называются p-состояниями, с l = 2 – D-состояниями и т. д.

Рис. 172. Распределение вероятности обнаружения электрона в атоме водорода в состояниях 1s и 2s.

На рис. 172 изображены кривые распределения вероятности ρ(r) = 4π∙r2∙|Ψ|2 обнаружения электрона в атоме водорода на различных расстояниях от ядра в состояниях 1s и 2s (r1 = 5,29·10–11 м – радиус первой боровской орбиты). Как видно из рис. 172, электрон в состоянии 1s (основное состояние атома водорода) может быть обнаружен на различ-

233

ных расстояниях от ядра. С наибольшей вероятностью его можно обнаружить на расстоянии, равном радиусу r1 первой боровской орбиты. Вероятность обнаружения электрона в состоянии 2s максимальна на расстоянии r = 4r1 от ядра. В обоих случаях атом водорода можно представить в виде сферически симметричного электронного облака, в центре которого находится ядро.

Рис. 173. Частичное перекрытие волновых функций

Частичное перекрытие волновых функций разных состояний определяет возможность и быстроту перехода электрона из одного состояния в другое, то есть с одного энергетического уровня на другой

(рис. 173).

6.5. Спин электрона. Спиновое квантовое число

О. Штерн и В. Герлах, проводя прямые измерения магнитных моментов, обнаружили в 1922 г., что узкий пучок атомов водорода, заведомо находящихся в s-состоянии, в неоднородном магнитном поле расщепляется на два пучка. В этом состоянии момент импульса электрона равен нулю. Магнитный момент атома, связанный с орбитальным движением электрона, пропорционален механическому моменту, поэтому он равен нулю и магнитное поле не должно оказывать влияния на движение атомов водорода в основном состоянии, то есть расщепления быть не должно. Однако в дальнейшем при применении спектральных приборов с большой разрешающей способностью было доказано, что спектральные линии атома водорода обнаруживают тонкую структуру (являются дублетами) даже в отсутствие магнитного поля.

Для объяснения тонкой структуры спектральных линий, а также ряда других трудностей в атомной физике американские физики Д. Уленбек и С. Гаудсмит предположили, что электрон обладает соб-

234

ственным неуничтожимым механическим моментом импульса, не связанным с движением электрона в пространстве, спином.

Спин электрона (и всех других микрочастиц) – квантовая величина, у неё нет классического аналога; это внутреннее неотъемлемое свойство электрона, подобное его заряду и массе.

Если электрону приписывается собственный механический момент импульса (спин) Ls, то ему соответствует собственный магнитный момент рms. Согласно общим выводам квантовой механики, спин квантуется по закону

где s – спиновое квантовое число.

По аналогии с орбитальным моментом импульса, проекция Lsz спина квантуется так, что вектор Ls может принимать 2s+1 ориентации. Так как в опытах Штерна и Герлаха наблюдались только две ориентации, то 2s+1=2, откуда s= 1/2. Проекция спина на направление внешнего магнитного поля, являясь квантованной величиной, определяется выражением

где ms – магнитное спиновое квантовое число. Оно может иметь только два значения: ms = ± 1/2.

Таким образом, опытные данные привели к необходимости характеризовать электроны (и микрочастицы вообще) добавочной внутренней степенью свободы. Поэтому для полного описания состояния электрона в атоме необходимо наряду с главным, орбитальным и магнитным квантовыми числами задавать еще магнитное спиновое квантовое число.

6.6. Принцип неразличимости тождественных частиц. Фермионы и бозоны

Если перейти от рассмотрения движения одной микрочастицы (одного электрона) к многоэлектронным системам, то проявляются особые свойства, не имеющие аналога в классической физике. Пусть квантовомеханическая система состоит из одинаковых частиц, например электронов. Все электроны имеют одинаковые физические свойства – массу, электрический заряд, спин и другие внутренние характеристики (например, квантовые числа). Такие частицы называют тождественными.

Необычные свойства системы одинаковых тождественных частиц проявляются в фундаментальном принципе квантовой механики –

принципе неразличимости тождественных частиц, согласно которо-

235

му невозможно экспериментально различить тождественные частицы.

Вклассической механике даже одинаковые частицы можно различить по положению в пространстве и импульсам. Если частицы в какойто момент времени пронумеровать, то в следующие моменты времени можно проследить за траекторией любой из них. Классические частицы, таким образом, обладают индивидуальностью, поэтому классическая механика систем из одинаковых частиц принципиально не отличается от классической механики систем из различных частиц.

Вквантовой механике положение иное. Из соотношения неопределенностей вытекает, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией,

позволяющей вычислять лишь вероятность (| |2) нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точки пространства. Если же волновые функции двух тождественных частиц в пространстве перекрываются, то разговор о том, какая частица находится в данной области, вообще лишен смысла: можно лишь говорить о вероятности нахождения в данной области одной из тождественных частиц. Таким образом, в квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми. Принцип неразличимости тождественных частиц не является просто следствием вероятностной интерпретации волновой функции, а вводится в квантовую механику как новый принцип, который является фундаментальным.

Принимая во внимание физический смысл величины | |2, принцип неразличимости тождественных частиц можно записать в виде

где x1 и х2 – соответственно совокупность пространственных и спиновых координат первой и второй частиц. Из выражения (386) следует, что возможны два случая:

то есть принцип неразличимости тождественных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции. Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется cимметричной, если меняет – антисимметричной. Изменение знака волновой функции не означает изменения состояния, так как физический смысл имеет лишь квадрат модуля волновой функции. В квантовой механике доказывается, что характер симметрии волновой функции не меняется со временем. Это же является доказательством того,

что свойство симметрии или антисимметрии – признак данного типа микрочастиц.

236

Установлено, что симметрия или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц. В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса. Частицы с полуцелым спином (например, электроны, протоны, нейтроны) описываются анти-

симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми-Дирака; эти частицы называются фермионами. Частицы с нулевым или целочисленным спином (например, -мезоны, фотоны) описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна; эти частицы называются бозонами. Сложные частицы (например, атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, являются фермионами (суммарный спин – полуцелый), а из четного – бозонами (суммарный спин целый).

Зависимость характера симметрии волновых функций системы тождественных частиц от спина частиц теоретически обоснована швейцарским физиком В. Паули (1900–1958), что явилось ещё одним доказательством того, что спин является фундаментальной характеристикой микрочастиц.

6.7. Периодический закон Менделеева

Химические свойства атомов определяются степенью заполнения электронами внешнего слоя (оболочки). Например, типичные металлы (литий, натрий, ...) имеют во внешнем слое один электрон, который легко отдают, стремясь иметь минимальную энергию и полностью заполненный внешний слой. Типичным окислителям (фтор, хлор, ...), наоборот, не хватает одного электрона до заполнения внешнего слоя, поэтому они отбирают электрон в соединениях с другими элементами. Благородные газы (гелий, неон, ...) имеют полностью заполненный внешний слой, поэтому они инертны в химических реакциях.

Заполнение электронных состояний атома подчиняется двум принципам – принципу Паули и принципу минимума энергии.

1. Принцип Паули В каждом состоянии с определенными квантовыми числами

n,l,m,s может находиться только один электрон. 2. Принцип минимума энергии

Электрон занимает свободное состояние с наименьшей энерги-

ей.

Принцип Паули, лежащий в основе системы заполнения электронных состояний в атомах, позволяет объяснить Периодическую систему

237

элементов Д.И. Менделеева (1869) – фундаментального закона природы, являющегося основой современной химии, атомной и ядерной физики.

Периодический закон Менделеева (Таблица Менделеева) объяс-

няется заполнением электронных состояний атома электронами (табли-

ца 27).

После Ar (аргона) возникают аномалии в заполнении слоев. Некоторые уровни верхнего слоя имеют энергии ниже уровней нижнего слоя, поэтому заполняются электронами в первую очередь. Это обеспечивает многовалентность атомов в различных химических реакциях.

6.8. Рентгеновское излучение. Закон Мозли

Рентгеновское излучение – электромагнитные волны, энергия фотонов которых лежит на энергетической шкале между ультрафиолетовым излучением и гамма-излучением.

Энергетические диапазоны рентгеновского излучения и гаммаизлучения перекрываются в широкой области энергий. Оба типа излучения являются электромагнитным излучением и при одинаковой энергии фотонов – эквивалентны. Терминологическое различие лежит в способе возникновения – рентгеновские лучи испускаются при участии электронов (либо в атомах, либо свободных) в то время как гаммаизлучение испускается в процессах девозбуждения атомных ядер. Фотоны рентгеновского излучения имеют энергию от 100 эВ до 250 кэВ, что соответствует излучению с частотой от 3∙1016 Гц до 6∙1019 Гц и длиной волны 0,005–10 нм (общепризнанного определения нижней границы диапазона рентгеновских лучей в шкале длин волн не существует). Мягкий рентген характеризуется наименьшей энергией фотона и часто-

238

той излучения (и наибольшей длиной волны), а жёсткий рентген обладает наибольшей энергией фотона и частотой излучения (и наименьшей длиной волны). Жёсткий рентген используется преимущественно в промышленных целях.

Рентгеновские лучи возникают при сильном ускорении заряженных частиц (тормозное излучение), либо при высокоэнергетических переходах в электронных оболочках атомов или молекул. Оба эффекта используются в рентгеновских трубках. Основными конструктивными элементами таких трубок являются металлические катод и анод. В рентгеновских трубках электроны, испущенные катодом, ускоряются под действием разности электрических потенциалов между анодом и катодом (при этом рентгеновские лучи не испускаются, так как ускорение слишком мало) и ударяются об анод, где происходит их резкое торможение. При этом за счёт тормозного излучения происходит генерация излучения рентгеновского диапазона. Ниже (рис. 174) приведено схематическое изображение рентгеновской трубки, где: X – рентгеновские лучи, K – катод, А – анод, С – теплоотвод, Uh – напряжение накала катода, Ua – ускоряющее напряжение, Win – впуск водяного охлаждения, Wout – выпуск водяного охлаждения.

Рис. 174. Схематическое изображение рентгеновской трубки

Рентгеновское излучение имеет характерный для материала анода спектр энергий (характеристическое излучение).

При обычном способе получения рентгеновского излучения получают широкий диапазон длин волн, который называют рентгеновским спектром. В спектре присутствуют ярко выраженные компоненты, как это показано на рис. 175 (линии К / ia и К / ib возникают вследствие взаимодействий ускоренных электронов с электронами внутренней К-оболочки). Широкий «континуум» называют непрерывным спектром. Налагающиеся на него острые пики называются характеристическими рентгеновскими линиями испускания. Хотя весь спектр есть резуль-

тат столкновений электронов с веществом, механизмы возникновения его широкой части и линий разные.

239

Вещество состоит из большого числа атомов, каждый из которых имеет ядро, окруженное электронными оболочками, причем каждый электрон в оболочке атома данного элемента занимает некоторый дискретный уровень энергии. Эти оболочки (энергетические уровни), обозначают K, L, M и т. д., начиная от ближайшей к ядру оболочки. Когда налетающий электрон, обладающий достаточно большой энергией, соударяется с одним из связанных с атомом электронов, он выбивает этот электрон с его оболочки. Опустевшее место занимает другой электрон с оболочки, которой соответствует большая энергия. Этот последний отдаёт избыток энергии, испуская рентгеновский фотон. Поскольку электроны оболочек имеют дискретные значения энергии, возникающие рентгеновские фотоны тоже обладают дискретным спектром. Этому соответствуют острые пики для определенных длин волн, конкретные значения которых зависят от элемента-мишени.

Характеристические линии образуют K-, L- и M-серии, в зависимости от того, с какой оболочки (K, L или M) был удален электрон. Соотношение между длиной волны рентгеновского излучения и атомным номером называется законом Мозли (рис. 176). Длина волны характеристического рентгеновского излучения, испускаемого химическими элементами, зависит от атомного номера элемента. Кривая соответствует

закону Мозли: чем больше атомный номер элемента, тем меньше длина волны характеристической линии.

Закон Мозли можно записать и через частоту (подобен в записи обобщённой формуле Бальмера-Ридберга)

240