3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / лекции по физике

кулярными, но и волновыми свойствами. Легко представить, как электромагнитная световая волна проходит через две щели в оптическом опыте Юнга, так как волна не локализована в пространстве. Но если принять концепцию фотонов, то нужно признать, что каждый фотон тоже не локализован. Невозможно указать, через какую из щелей пролетел фотон, как невозможно проследить за траекторией движения фотона до фотопластинки и указать точку, в которую он попадет. Опыт показывает, что даже в том случае, когда фотоны пролетают через интерферометр поштучно, интерференционная картина после пролета многих независимых фотонов всё равно возникает. Поэтому в квантовой физике делается вывод: фотон интерферирует сам с собой.

Все вышесказанное относится и к опыту по дифракции электронов на двух щелях. Вся совокупность известных экспериментальных фактов может найти объяснение, если принять, что дебройлевская волна каждого отдельного электрона проходит одновременно через оба отверстия, в результате чего и возникает интерференция. Поштучный поток электронов тоже дает интерференцию при длительной экспозиции, то есть

электрон, как и фотон, интерферирует сам с собой.

5.7. Общее уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Статистическое толкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции (х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина | |2, определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, то есть в области с координатами х и x+dx, у и y+dy, z и z+dz. Taк как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результа-

211

тов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид

ная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, (х, у, z, t) – искомая волновая функция частицы.

Уравнение (350) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, то есть со скоростью << с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию:

1)волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной;

2)производные ; ; ; должны быть непрерывны;

x y z t

3) функция | |2 должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (347).

Уравнение (350) является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (350) можно упростить, исключив зависимость от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состояний

– состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно,

если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, то есть функция U = U(x, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая – только времени, причем зависимость от времени выражается множителем e i t e i(E / ) t , так что

i

(x, y, z, t) (x, y, z)e E t , (351)

где (x, y, z) – координатная (амплитудная) часть волновой функции(x, y, z, t) ; Е – полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (351) в (350), получим

212

Уравнение (353) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера таки-

ми условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким об-

разом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями . Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными. Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором – о дискретном спектре.

5.8. Принцип причинности в квантовой механике

Из соотношения неопределенностей часто делают вывод о неприменимости принципа причинности к явлениям микромира. При этом основываются на следующих соображениях. В классической механике, согласно принципу причинности – принципу классического детерминизма, по известному состоянию системы в некоторый момент времени (полностью определяется значениями координат и импульсов всех частиц системы) и силам, приложенным к ней, можно абсолютно точно задать её состояние в любой последующий момент. Следовательно, клас-

сическая физика основывается на следующем понимании причинности: состояние механической системы в начальный момент времени с известным законом взаимодействия частиц есть причина, а её состояние в последующий момент – следствие.

С другой стороны, микрообъекты не могут иметь одновременно и определенную координату, и определенную соответствующую проекцию импульса (задаются соотношением неопределенностей), поэтому и делается вывод о том, что в начальный момент времени состояние сис-

213

темы точно не определяется. Если же состояние системы не определено в начальный момент времени, то не могут быть предсказаны и последующие состояния, то есть нарушается принцип причинности.

Однако никакого нарушения принципа причинности применительно к микрообъектам не наблюдается, поскольку в квантовой ме-

ханике понятие состояния микрообъекта приобретает совершенно иной смысл, чем в классической механике. В квантовой механике состояние микрообъекта полностью определяется волновой функцией (x, у, z, t), квадрат модуля которой | (x, у, z, t)|2 задает плотность вероятности нахождения частицы в точке с координатами х, у, z.

В свою очередь, волновая функция (х, у, z, t) удовлетворяет уравнению Шредингера (350), содержащему первую производную функциипо времени. Это же означает, что задание функции о (для момента времени tо) определяет ее значение в последующие моменты. Следова-

тельно, в квантовой механике начальное состояние о есть причина, а состояние в последующий момент – следствие. Это и есть форма принципа причинности в квантовой механике, то есть задание функции о предопределяет её значения для любых последующих моментов. Таким образом, состояние системы микрочастиц, определенное в квантовой механике, однозначно вытекает из предшествующего состояния, как того требует принцип причинности.

5.9.Примеры решений уравнения Шредингера

1.Свободная частица

Свободная частица – частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Пусть частица движется вдоль оси х. Потенциальная энергия U(x) = 0 (так как на свободную частицу силы не действуют), поэтому уравнение Шредингера

Частное решение этого уравнения

(х) = А∙еi∙k∙x, (355)

где А = const и k = 2π/λ= const – волновое число; i 1 – мнимая единица.

Решение удовлетворяет уравнению, если энергия частицы имеет

вид

214

то есть энергия свободной квантовой частицы совпадает с классической кинетической энергией и может меняться непрерывно от нуля до бесконечности.

Общее решение:

Эта функция представляет собой плоскую монохроматическую волну де

постоянна во всем пространстве, что можно интерпретировать, как движение с постоянной скоростью.

2. Туннельный эффект

Туннельный эффект – проникновение частицы через потенциальный барьер, высота которого больше полной энергии частицы. Квантовая частица массой m , двигаясь вдоль оси х (рис. 157), встречает на своем пути потенциальный барьер, высота которого больше ее полной

Таким образом, квантовая частица имеет вероятность проникнуть за барьер, непреодолимый для классической частицы.

Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом. Прохождение частицы сквозь область, в которую, согласно законам классической механики, она не может проникнуть, можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность импульса р на отрезке х = l составляет p > h/l. Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия ( р)2/(2m) может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной.

215

Основы теории туннельных переходов заложены работами Л.И. Мандельштама и М.А. Леонтовича (1903–1981). Туннельное прохождение сквозь потенциальный барьер лежит в основе многих явлений физики твердого тела (например, явления в контактном слое на границе двух полупроводников), атомной и ядерной физики (например,-распад, протекание термоядерных реакций).

2

потенциальный барьер высотой Uo

А02

Е

вероятность обнаружить энергия свободной частицу за барьером

частицы

А02е 2 d

d

Рис. 157. Зависимость 2 (x) для туннельного эффекта

3. Потенциальный ящик

Потенциальный ящик – это область одномерного пространства, ограниченная двумя бесконечными барьерами, за которые не может проникать ни классическая, ни квантовая частица.

а) Классическая частица движется в ящике с постоянной скоростью или покоится. Полная энергия частицы – кинетическая энергия – может принимать любые значения (в том числе и ноль). То есть допускается непрерывное изменение энергии (рис. 158).

б) Поведение квантовой частицы описывается уравнением Шредингера

Решением этого уравнения (аналогично решению дифференциального уравнения гармонических колебаний) является гармоническая функция

равна нулю, то (0) 0, (a) 0 .

216

Для выполнения первого условия (0) Asin(0) A1 cos(0) 0 мы должны потребовать A1 0.

Для выполнения второго условия (a) Asin (2 a ) 0 мы долж-

квантованием (квант – порция). n – квантовое число – определяет со-

217

точки, в которых частица не может находиться. Поэтому она излучает часть энергии в виде фотона с энергией h Ek En , k n и переходит в нижнее состояние, в котором в этой точке отсутствуют узлы. При поглощении энергии, происходит обратный процесс – частица переходит с нижнего уровня на верхний (k n). Таким образом, перекрытие волновых функций (рис. 160) обеспечивает квантовые переходы частиц из одного состояния в другое.

Так как внутри ящика потенциальная энергия U (x) 0 , то полная

Энергия частицы, движущейся в ограниченном пространстве, может меняться только дискретно. Значения этой энергии называются энергетическими уровнями.

Энергия квантовой частицы в соответствии с принципом неопределенностей не может быть равной нулю. Действительно, на нулевом

h2

уровне частица имеет энергию Eo 8m a2 , то есть совершает так назы-

ваемые нулевые колебания. Поэтому, в частности, третий закон термодинамики гласит: «Не достижима температура, равная абсолютному нулю».

218

6.Элементы атомной физики

6.1.Опыт Резерфорда. Ядерная модель атома

Слово «атом» в переводе с греческого означает «неделимый». Под атомом долгое время, вплоть до начала XX в., подразумевали мельчайшие неделимые частицы вещества. К началу XX в. в науке накопилось много фактов, говоривших о сложном строении атомов.

Первая попытка создания модели атома принадлежит Дж. Томсону (1903 г.). Он считал, что атом представляет собой электронейтральную сферу радиусом примерно равным 10–10 м. Положительный заряд атома равномерно распределен по всему объему шара, а отрицательно заряженные электроны находятся внутри него (рис. 161).

Рис. 161. Модель атома Д. Томсона

Для объяснения линейчатых спектров испускания атомов Томсон пытался определить расположение электронов в атоме и рассчитать частоты их колебаний около положений равновесия. Однако эти попытки не увенчались успехом. Через несколько лет в опытах великого английского физика Э. Резерфорда было доказано, что модель Томсона неверна.

Первые эксперименты по исследованию внутренней структуры атомов были выполнены Э. Резерфордом и его сотрудниками в 1909– 1911 годах. Резерфорд предложил применить зондирование атома с помощью -частиц. Эти частицы возникают при радиоактивном распаде радия и некоторых других элементов. Масса -частиц приблизительно в 7300 раз больше массы электрона, а положительный заряд равен удвоенному элементарному заряду. В своих опытах Резерфорд использовал-частицы с кинетической энергией около 5 МэВ (скорость таких частиц очень велика – порядка 107 м/с, но она все же значительно меньше скорости света). -частицы – это полностью ионизированные атомы гелия. Они были открыты Резерфордом в 1899 году при изучении явления радиоактивности. Этими частицами Резерфорд бомбардировал атомы

219

тяжелых элементов (золото, серебро, медь и др.). Электроны, входящие в состав атомов, вследствие малой массы не могут заметно изменить траекторию -частицы. Рассеяние, то есть изменение направления движения -частиц, может вызвать только тяжелая положительно заряженная часть атома. Схема опыта Резерфорда представлена на рис. 162, где K – свинцовый контейнер с радиоактивным веществом, Э – экран, покрытый сернистым цинком, Ф – золотая фольга, M – микроскоп.

Рис. 162. Схема опыта Резерфорда по рассеянию α-частиц

От радиоактивного источника, заключенного в свинцовый контейнер, -частицы направлялись на тонкую металлическую фольгу. Рассеянные частицы попадали на экран, покрытый слоем кристаллов сульфида цинка, способных светиться под ударами быстрых заряженных частиц. Сцинтилляции (вспышки) на экране наблюдались глазом с помощью микроскопа. Наблюдения рассеянных -частиц в опыте Резерфорда можно было проводить под различными углами к первоначальному направлению пучка. Было обнаружено, что большинство -частиц проходит через тонкий слой металла, практически не испытывая отклонения. Однако небольшая часть частиц отклоняется на значительные углы, превышающие 30°. Очень редкие -частицы (приблизительно одна на десять тысяч) испытывали отклонение на углы, близкие к 180°.

Полученные результаты находились в резком противоречии с моделью атома Томсона, согласно которой положительный заряд распределен по всему объему атома. При таком распределении положительный заряд не может создать сильное электрическое поле, способное отбросить -частицы назад. Электрическое поле однородного заряженного шара максимально на его поверхности и убывает до нуля по мере приближения к центру шара. Если бы радиус шара, в котором сосредоточен весь положительный заряд атома, уменьшился в n раз, то макси-

220