3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / лекции по физике

гонометрические преобразования более простыми действиями над показательными функциями.

На рис. 4 изображены положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Экспериментально такая картина может быть получена при стробоскопическом освещении (освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени. На рис. 4 начальная фаза φо = 0. Интервал времени между последовательными положениями тела τ = T / 12.

Рис. 5 иллюстрирует изменения, которые происходят на графике гармонического процесса, если изменяются либо амплитуда колебаний xm, либо период T (или частота), либо начальная фаза φо. Во всех трех случаях для светлых кривых φо = 0: а – тёмная кривая отличается от светлой только большей амплитудой (x'm > xm); b – тёмная кривая отличается от светлой только значением периода (T' = T / 2); с – тёмная кривая отличается от светлой только значением начальной фазы ( о/ 2 рад).

При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось ox) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость = x

11

движения тела определяется выражением x ; ( t 0 ). В матема-

t

тике процедура нахождения предела отношения x при Δt → 0 называ-

t

ется вычислением производной функции x (t) по времени t и обознача-

ется как x' (t) или dx . dt

Появление слагаемого +π / 2 в аргументе косинуса означает изменение начальной фазы. Максимальные по модулю значения скорости= ω∙xm достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение тела при гармонических колебаниях:

Знак минус в (5) означает, что ускорение a(t) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x(t), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0). На рис. 6 приведены графики изменения координаты, скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания.

Таким образом, амплитуды скорости и ускорения соответственно равны xm и xm 2 Фаза скорости отличается от фазы смещения на

2 , а фаза ускорения на π. В моменты времени, когда х = 0, скорость

приобретает наибольшие значения; когда же х достигает максимального отрицательного значения, то ускорение приобретает наибольшее положительное значение (рис. 6).

Сила, действующая на колеблющуюся точку, пропорциональна смещению материальной точки и направлена в противоположную сторону (к положению равновесия)

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а, следовательно, и ки-

12

нетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения.

Рис. 6. Графики координаты x(t), скорости υ(t) и ускорения a(t) тела, совершающего гармонические колебания

Для груза на пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины. Для математического маятника – это энергия в поле тяготения Земли.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по закону инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и так далее (рис. 7).

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной.

Кинетическая энергия колеблющейся материальной точки

13

Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно, составляют систему, способную совершать в отсутствие трения свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гар-

моническим осциллятором (рис. 8).

Круговая частота ωо свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:

m a k x m о2 x ,

откуда

k

о . (12) m

Частота ωо называется собственной частотой колебательной системы.

F упр

x

Рис. 8. Колебания груза на пружине без трения

Период T гармонических колебаний груза на пружине равен

o k

При горизонтальном расположении системы пружина-груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину xо, равную

о k

и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ωо и периода колебаний T справедливы и в этом случае.

Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускоре-

15

нием тела a и координатой x. Ускорение является второй производной координаты тела x по времени t

a(t) d 2x , dt

поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде

где o2 k . m

Не только механические, но и любые другие физические системы, описываемые уравнением (15) способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида

Уравнение (15) называется уравнением свободных колебаний. Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ωо или период T. Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда xm и начальная фаза φо, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние l и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то xm = l, φо = 0.

Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помо-

Таким образом, амплитуда xm свободных колебаний и его начальная фаза φо определяются начальными условиями.

Можно привести много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 9 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора.

Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол θ возникает момент сил Mупр упругой деформации кручения

16

монические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты

Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника.

Следовательно,

1.4. Физический маятник

Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 11). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения O на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия

здесь d – расстояние между осью вращения и центром масс C.

Рис. 11. Физический маятник

Знак «минус» в этой формуле означает, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении, противоположном его отклонению из положения равновесия. Как и в случае математического маятника,

19

возвращающий момент M пропорционален sin φ. Это означает, что только при малых углах φ, когда sin φ ≈ φ, физический маятник способен совершать свободные гармонические колебания. В случае малых колебаний

где ε – угловое ускорение маятника, J – момент инерции маятника относительно оси вращения O. Модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением равен квадрату круговой частоты

здесь ωо – собственная частота малых колебаний физического маятника. Следовательно,

Более строгий вывод формул для ωо и T можно сделать, если принять во внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением. Угловое ускорение ε есть вторая производная углового смещения φ по времени: (t) (t) .

Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде

m g d в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты сво-

J

бодных гармонических колебаний физического маятника.

По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера) момент инерции J можно выразить через момент инерции JC относительно оси, проходящей через центр масс C маятника и параллельной оси вращения J JC m d2.

Окончательно для круговой частоты ωо свободных колебаний физического маятника получается выражение

Приведённая длина физического маятника:

20