3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / лекции по физике

друг друга, т. е. возникнут дополнительные минимумы. Очевидно, что эти дополнительные минимумы будут наблюдаться в тех направлениях, которым соответствует разность хода лучей / 2, 3 / 2, ..., посылаемых, например, от крайних левых точек М и С обеих щелей. Таким образом, с

учетом (240) условие дополнительных минимумов

Наоборот, действие одной щели будет усиливать действие другой, если

то есть выражение (243) задает условие главных максимумов.

Полная дифракционная картина, для двух щелей определяется из условий приведённых в таблице 17.

Таблица 17

Дифракционная картина на двух щелях

Между двумя главными максимумами располагается дополнительный минимум, а максимумы становятся более узкими, чем в случае одной щели

Таким образом, между двумя главными максимумами располагается один дополнительный минимум. Аналогично можно показать, что между каждыми двумя главными максимумами при трех щелях располагается два дополнительных минимума, при четырех щелях – три и так далее.

Если дифракционная решетка состоит из N щелей, то условием главных минимумов является условие (242), условием главных максимумов – условие (243), а условием дополнительных минимумов

где m' может принимать все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N, ....

то есть кроме тех, при которых условие (244) переходит в (243). Следовательно, в случае N щелей между двумя главными максимумами располагается N–1 дополнительных минимумов, разделенных вторичными максимумами, создающими весьма слабый фон.

Чем больше щелей N, тем большее количество световой энергии пройдет через решетку, тем больше минимумов образуется между соседними главными максимумами, тем, следовательно, более интенсив-

141

ными и более острыми будут максимумы. На рис. 110 качественно представлена дифракционная картина с различным числом щелей. Так как модуль sin не может быть больше единицы, то из (243) следует,

что число главных максимумов

max

то есть определяется отношением периода решетки к длине волны. Главные максимумы при дифракции света на решетке чрезвычайно

узки. Рис. 110 дает представление о том, как меняется острота главных максимумов при увеличении числа щелей решетки.

Рис. 110. Распределение интенсивности при дифракции монохроматического света на решетках с различным числом щелей

На рис. 110 Io – интенсивность колебаний при дифракции света на одной щели. Положение главных максимумов зависит от длины волны. Это видно из (243). Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального (m = 0; максимум нулевого порядка остается неокрашенным), разложатся в спектр, фиолетовая область которого будет обращена к центру дифракционной картины, красная – наружу (рис. 111). Это свойство решётки используется для исследования спектрального состава света (определения длин волн и интенсивностей всех монохроматических компонентов), то есть дифракционную решётку можно использовать как спектральный прибор.

142

торых взвешено множество очень мелких частиц инородных веществ. Свет, проходя через мутную среду, дифрагирует от беспорядочно расположенных микронеоднородностей, давая равномерное распределение интенсивностей по всем направлениям, не создавая какой-либо определенной дифракционной картины. Происходит так называемое рассеяние света в мутной среде. Это явление можно наблюдать, например, когда узкий пучок солнечных лучей, проходя через запыленный воздух, рассеивается на пылинках и тем самым становится видимым.

Рассеяние света (как правило, слабое) наблюдается также и в чистых средах, не содержащих посторонних частиц. Л.И. Мандельштам объяснил рассеяние света в средах нарушением их оптической однородности, при котором показатель преломления среды не постоянен, а меняется от точки к точке. В дальнейшем польский физик М. Смолуховский (1872–1917) указал, что причиной рассеяния света могут быть также флуктуации плотности, возникающие в процессе хаотического (теплового) движения молекул среды. Рассеяние света в чистых средах, обусловленное флуктуациями плотности, анизотропии или концентра-

ции, называется молекулярным рассеянием.

Молекулярным рассеянием объясняется, например, голубой цвет неба. Согласно закону Д. Рэлея, интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна четвертой степени длины волны (I ~ -4), поэтому голубые и синие лучи рассеиваются сильнее, чем желтые и красные, обусловливая тем самым голубой цвет неба. По этой же причине свет, прошедший через значительную толщу атмосферы, оказывается обогащенным более длинноволновой частью спектра (сине-фиолетовая часть спектра полностью рассеивается) и поэтому при закате и восходе Солнце кажется красным. Флуктуации плотности и интенсивность рассеяния света возрастают с увеличением температуры. Поэтому в ясный летний день цвет неба является более насыщенным по сравнению с таким же зимним днем.

4.10. Дифракция рентгеновского излучения на кристалле. Формула Вульфа-Брегга

Для наблюдения дифракционной картины необходимо, чтобы постоянная решетки была того же порядка, что и длина волны падающего излучения. Кристаллы, являясь трехмерными пространственными решетками, имеют постоянную порядка 10–10 м и, следовательно, непригодны для наблюдения дифракции в видимом свете ( 5 10–7 м). Эти факты позволили немецкому физику М. Лауэ (1879–1960) прийти к выводу, что в качестве естественных дифракционных решеток для рентге-

144

новского излучения можно использовать кристаллы, поскольку рас-

стояние между атомами в кристаллах одного порядка с рентгеновского излучения ( 10–12 10–8 м).

Простой метод расчета дифракции рентгеновского излучения от кристаллической решетки предложен независимо друг от друга Г.В. Вульфом (1863–1925) и английскими физиками Г. и Л. Брэггами (отец (1862–1942) и сын (1890–1971)). Они предположили, что дифракция рентгеновского излучения является результатом его отражения от системы параллельных кристаллографических плоскостей (плоскостей, в которых лежат узлы (атомы) кристаллической решетки).

Схема дифракции рентгеновского излучения на кристалле представлена на рис. 112.

Рис. 112. Схема дифракции рентгеновского излучения на кристалле

Пучок монохроматического рентгеновского излучения (на рис. 112 показаны параллельные лучи 1 и 2) падает на поверхность кристалла под углом скольжения (угол между падающим лучом и кристаллографической плоскостью) и возбуждает атомы кристаллической решетки, которые становятся источниками вторичных когерентных волн 1 и 2 , интерферирующих между собой. Результат интерференции волн определяется их разностью хода 2d sin (рис. 112). Дифракционные максимумы наблюдаются в тех направлениях, в которых все отраженные атомными плоскостями волны находятся в одинаковой фазе (в направлениях, определяемых формулой Вульфа-Брэгга).

Формула Вульфа-Брэгга

где d – межплоскостное расстояние.

Ниже (таблица 18) приведены примеры применения формулы Вульфа-Брегга (измеряемые величины – , m ; – длина волны рентгеновского излучения; – угол скольжения; d – межплоскостное расстояние).

145

4.11. Разрешающая способность оптических приборов

Для практики наиболее интересен случай дифракции света, когда препятствие оставляет открытой лишь малую часть 1-й зоны Френеля.

L

есть дифракционную картину от препятствий небольшого размера следует в этом случае наблюдать на очень больших расстояниях. Например, если R = 1 мм, λ = 550 нм (зеленый свет), то расстояние L до плоскости наблюдения должно быть значительно больше 2 метров (10 метров или больше). Лучи проведенные в далекую точку наблюдения от различных элементов волнового фронта, практически можно считать параллельными (дифракция Фраунгофера).

Если на пути лучей за препятствием поставить собирающую линзу, то параллельный пучок лучей, дифрагировавший на препятствии под углом θ, соберется в некоторой точке фокальной плоскости (рис. 113).

Следовательно, любая точка в фокальной плоскости линзы эквивалентна бесконечно удаленной точке в отсутствие линзы.

В фокальной плоскости линзы наблюдается дифракционная картина Фраунгофера. На рис. 113 зеленая кривая – распределение интенсивности в фокальной плоскости (масштаб по оси x сильно увеличен).

Но согласно геометрической оптике, в фокусе линзы должно располагаться точечное изображение удаленного точечного предмета. На самом деле изображение точечного предмета оказывается размы-

тым из-за дифракции. В этом проявляется волновая природа света.

Никакая оптическая система не может дать точечного изобра-

жения. В случае дифракции Фраунгофера на круглом отверстии диаметра D дифракционное изображение состоит из центрального светлого пятна, на которое приходится приблизительно 85 % энергии света, и окружающих его светлых и темных колец (рис. 114).

146

номических приборах реализуется дифракционный предел качества изображений. Вследствие дифракционного размытия изображения двух близких точек объекта могут оказаться неотличимы от изображения одной точки. Рассмотрим в качестве примера объектив астрономического телескопа, нацеленного на две близкие звезды, находящиеся на угловом расстоянии ψ друг от друга. Предполагается, что все дефекты и аберрации устранены, и в фокальной плоскости объектива наблюдаются дифракционные изображения звезд (рис. 115).

На рис. 115 расстояние l между центрами дифракционных изображений звезд превышает радиус r центрального светлого пятна – в этом случае изображения звезд воспринимаются наблюдателем раздельно и, следовательно, объектив телескопа позволяет разрешить две близкие звезды. При уменьшении углового расстояния ψ между звездами дифракционные изображения могут сильно перекрыться и перестанут отличаться от изображения одиночной звезды. В этом случае объектив телескопа не разрешает близкие звезды.

Рис. 115. Дифракционные изображения двух близких звезд в фокальной плоскости объектива телескопа

Английский физик Дж. Релей в конце XIX в. предложил условно считать разрешение полным, когда расстояния l между центрами изображений равно (или превышает) радиус r диска Эйри (рис. 116; пунктирная кривая – распределение суммарной интенсивности света). Условие

называют критерием разрешения Релея. Из этого критерия следует

148

I

влияния атмосферные возмущения. Для характеристики объектива телескопа можно ввести величину R, обратную предельному углу ψmin. Эту величину называют разрешающей силой телескопа

Для увеличения разрешающей способности телескопа следует увеличивать диаметр объектива (либо переходить к более коротким волнам). Все сказанное выше о разрешающей способности телескопа применимо и к невооруженному глазу. Глаз при рассматривании удаленных предметов действует так же, как и объектив телескопа. Роль D играет диаметр зрачка глаза dзр. Полагая dзр = 3 мм, λ = 550 нм, найдем для предельного углового разрешения глаза

dзр

Этот результат хорошо согласуется с физиологической оценкой разрешающей способности глаза, выполненной исходя из размеров светочувствительных элементов сетчатки (палочек и колбочек).

Исходя из вышеизложенного, можно сделать общий вывод: световой пучок диаметром D и длиной волны λ вследствие волновой природы света испытывает дифракционное уширение. Угловая полуширина пучка оказывается порядка λ / D, так что полная ширина d пучка на расстоянии L приблизительно равна

149

На рис. 117 качественно продемонстрировано то, как по мере удаления от препятствия трансформируется пучок света (область I – понятие луча света, законы геометрической оптики; область II – зоны Френеля, пятно Пуассона; область III – дифракция в параллельных лучах).

Оценки, выполненные на рис. 117, показывают, что угловое расхождение пучка уменьшается при увеличении его первоначального поперечного размера D. Этот вывод справедлив для волн любой физической природы. Чтобы, например, послать «узкий» пучок лазерного излучения на Луну, нужно сначала его расширить.

Рис. 117. Пучок света, расширяющийся вследствие дифракции

Это достигается с помощью телескопа, когда лазерный пучок направляется в окуляр и затем, пройдя через телескоп, выходит из объектива, имея диаметр D (рис. 118). Такой расширенный пучок, дойдя до Луны, «засветит» на ее поверхности пятно радиусом

где L – расстояние до Луны. Приняв D = 2,5 м (телескоп-рефлектор Крымской обсерватории), λ = 550 нм, L = 4·106 м, получим R ≈ 90 м. Если бы на Луну был направлен первоначальный пучок лазерного света, имеющий диаметр порядка 1 см, то он «засветил» бы на Луне пятно, радиус которого оказался бы в 250 раз больше.

Проведём оценку разрешающей способности микроскопа. С по-

мощью микроскопа наблюдают близко расположенные объекты, поэтому его разрешающаяся способность характеризуется не угловым, а линейным расстоянием между двумя близкими точками, которые еще могут восприниматься раздельно. Наблюдаемый объект располагается вблизи переднего фокуса объектива. Часто пространство перед объек-

150