Добавил:

nyan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Физика

Файл:

3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / колебания и волны.pdf

Скачиваний:

151

Добавлен:

23.01.2017

Размер:

2.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

ЛЕКЦИЯ 3

Свободные незатухающие колебания в системах с двумя степенями свободы. Нормальные колебания (моды). Парциальные и нормальные частоты. Биения. Понятие спектра колебаний. Методика анализа колебаний двух связанных осцилляторов. Затухание колебаний и диссипация энергии. Вынужденные колебания. Резонанс. Колебания систем со многими степенями свободы. Дисперсионное соотношение.

Наблюдая колебания массы m, подвешенной на легкой пружине жесткости k1, нельзя не обратить внимание на то, что, наряду с вертикальными колебаниями груза, возникают и так называемые маятниковые колебания (из стороны в сторону) — см. рис. 3.1.

	Наиболее сильными эти маятниковые колебания будут тог-
	да, когда частота вертикальных колебаний k1 / m будет равна удво-
	енной частоте маятниковых колебаний g / a (а — длина растяну-	k1
	той пружины при неподвижном грузе). Такой результат легко понять,
	если рассматривать маятниковые колебания как резонансные пара-	a
		a
	метрические колебания, при этом параметр маятника — длина пру-	a

	жины а — меняется при вертикальных колебаниях на величину ±Δa
	(см. предыдущую лекцию). В течение некоторого времени маятнико-	±Da
	вые колебания могут усиливаться за счет уменьшения энергии верти-	±Da
		m
		m
	кальных колебаний. Затем процесс пойдет в обратном направлении:	Ðèñ. 3.1.
	маятниковые колебания начнут ослабевать, «возвращая» энергию уси-

ливающимся вертикальным колебаниям. Следовательно, вертикальные колебания не будут гармоническими, что связано с наличием маятниковых колебаний, соответствующих возбуждению второй степени свободы. При определенных условиях могут возникать и крутильные колебания груза вокруг вертикальной оси пружины. Опыт показывает, что наиболее сильными эти колебания будут в том случае, когда их частота k2 / J (k2 — коэффициент жесткости пружины при ее скручивании, рассмотренный в лекции по деформации твердого тела, J — момент инерции тела относительно вертикальной оси) будет примерно в два раза меньше частоты вертикальных колебаний. В общем случае в этой системе могут происходить четыре типа колебаний, соответствующих четырем степеням свободы: одно вертикальное, два маятниковых в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях и одно крутильное.

Таким образом, перед нами возникает задача изучения основных закономерностей колебаний в системах с двумя, тремя и более степенями свободы, затем можно рассмотреть и колебания сплошной среды, как системы с бесконечно большим числом степеней свободы.

Свободные незатухающие колебания в системах с двумя степенями свободы.

На рис. 3.2 изображены три различные колебательные системы с двумя степенями свободы. Первая из них (а) — это два различных пружинных маятника, связанные пружиной с жестко-

48					Колебания и волны
k 1	m 1	k ¢	m 2	k2
à)					l1	a	l2
à)	0	s1	0	s2	l1	k ¢	l2
						k ¢
	s1		s2		m1		m2
a	s1	a	s2	a	m1
a		a		a
á)		m1	m2		â) 0	s1	0 s2

Ðèñ. 3.2.

стью k´. Вторая (б) — два груза с массами m1 è m2, закрепленные на натянутом некоторой силой F невесомом резиновом шнуре. Третья (в) — два связанных пружиной k´ различных маятника, каждый из которых состоит из груза, подвешенного на невесомом стержне.

Колебания грузов в каждой из трех систем описываются двумя временными зависимостями их смещений s1(t) è s2(t). Положительное направление смещения s на рисунке указано стрелками.

Опыт показывает, что при произвольном способе возбуждения колебания не будут гармоническими: амплитуда колебаний каждой из масс будет периодически меняться во времени. Однако можно создать такие начальные условия, при которых каждый груз будет совершать гармонические колебания с одной и той же частотой ω:

	s1 (t) = s01 sin(ωt + ϕ);	(3.1)
	s2 (t) = s02 sin(ωt + ϕ).	(3.1)
	s2 (t) = s02 sin(ωt + ϕ).
	Частота этих колебаний ω определяется свойствами системы. Отношение
	ς = s02/s01	(3.2)

также определяется параметрами системы. Эта безразмерная алгебраическая величина ς называется коэффициентом распределения амплитуд при гармоническом колебании. Отметим, что s01 è s02 могут иметь любой знак. Если ς > 0, то смещения обеих масс всегда происходят в одну сторону (синфазные колебания), а при ς < 0 — в противоположные стороны (противофазные колебания). Гармонические колебания (3.1) называются нормальными колебаниями, или модами, а частота ω называется нормальной частотой. Таким образом, мода характеризуется двумя параметрами: частотой ω и коэффициентом ς, определяющим «конфигурацию» моды.

Практика показывает, что в системе с двумя степенями свободы могут суще-

ствовать синфазные гармонические колебания с частотой ωI								и противофазные гармони-
ческие колебания с частотой ωII		> ωI .
	Следовательно, в системе могут быть возбуждены две моды:
		sI	(t) = sI	sin(ω	t + ϕ	I	);
		1	01	I		I
	I ìîäà	s2I (t) = s02I		sin(ωIt + ϕI );				(3.3)
		ςI = s02I / s01I > 0.

Лекция 3								49
	sII (t) = sII		sin(ω	II	t + ϕ	II	);
	1	01		II		II
II ìîäà	s2II (t) = s02II		sin(ωIIt + ϕII );					(3.4)
	ςII = s02II	/ s01II < 0.

Нетрудно теперь понять, что любое колебание связанной линейной системы с двумя степенями свободы (а именно такие системы мы будем далее рассматривать) может быть представлено в виде суперпозиции двух нормальных колебаний (3.3) и (3.4):

(t) = sI (t) + sII

(t) = sI

sin(ω

t + ϕ

) + sII

sin(ω

t + ϕ

);

(3.5)

s2 (t) = s2I (t) + s2II (t) = s02I

sin(ωIt + ϕI ) + s02II sin(ωIIt + ϕII ).

Не прибегая пока к детальному математическому исследованию, проанализируем поведение системы с двумя степенями свободы, пользуясь основными идеями,

развитыми в предыдущих лекциях. Представим			k¢
любую из систем, изображенных на рис. 3.2, как	k1	m1	k¢
любую из систем, изображенных на рис. 3.2, как
сложную систему, состоящую из двух парциаль-
ных систем. Эти парциальные системы, соответ-	k ¢
ствующие случаю (а) рис. 3.2, показаны на	k ¢	m2	k2
ствующие случаю (а) рис. 3.2, показаны на
рис. 3.3: каждая из этих парциальных систем
имеет собственную частоту колебаний, которая		Ðèñ. 3.3.
называется парциальной частотой.		Ðèñ. 3.3.
называется парциальной частотой.
Величины этих парциальных частот, соответственно, равны:

ω1 =	k1 + k′	;	ω2 =	k2 + k′		.			(3.6)
ω1 =	m1	;	ω2 =		m2	.			(3.6)
	m1				m2
Совершенно очевидно, что частота ω1				— это частота колебаний массы m1
в системе двух связанных маятников, когда масса m2						неподвижна (заблокирована
вторая степень свободы). Аналогично, с частотой ω2						будет колебаться масса m2 ,
когда неподвижна масса m1 .
Теперь перейдем к определению нормальных частот ωI							è ωII . Вспомним, что
квадрат частоты гармонических			k	m		k ¢	m		k
колебаний равен отношению воз-			k	m		k ¢	m		k
колебаний равен отношению воз-
вращающей силы к смещению гру-
за s и величине его массы m. Под-	à)
берем начальные смещения масс
m1 è m2 таким образом, чтобы для
обеих масс эти отношения (а, сле-
довательно, и частоты) были бы	á)			0	s01I	s1	0	s02I	s2
одинаковы. Такой подбор легко
угадывается для симметричной
системы (m1 = m2 = m, k1 = k2 = k),
(рис. 3.4), у которой парциальные	â)		s01II	0		s1	0	s02II	s2
частоты совпадают:						Ðèñ. 3.4.

50		Колебания и волны
ω1 = ω2 =	k + k′ .	(3.7)
	m

Если оба груза сместить вправо на одинаковые расстояния s01I = s02I , то средняя пружина k′ (пружина связи) не будет деформирована (позиция б). После отпускания пружина будет оставаться недеформированной. Поэтому каждый из грузов будет совершать гармонические колебания с одной и той же частотой

ωI =	k	,	(3.8)
	m

которая и является первой нормальной частотой. Конфигурация этого синфазного колебания (моды) задается коэффициентом распределения амплитуд ςI = +1 .

k	m	k ¢	m	k		Если теперь обе массы
k	m	k ¢	m	k	сместить в разные стороны на оди-
					сместить в разные стороны на оди-
					наковые расстояния s02II		= −s01II
à)	0	s1	0	s2	(позиция в), то пружина k′		óäëè-
					нится на величину 2s02II . Поэтому
					к правой массе будет приложена
á)		s01	s02		возвращающая сила, равная
					II	′ II
					− (ks02	+ 2k s02 ) , а на левую мас-
					су будет действовать в противо-
â)		s01I	s02I		положном направлении сила
					II	′ II
					− (ks01	+ 2k s01 ) . После отпуска-
					ния грузы будут совершать про-
ã)	s01II		s02II		тивофазные гармонические ко-
		Ðèñ. 3.5.			лебания со второй нормальной
					частотой
			ωII =	k + 2k′ .			(3.9)
				m

Конфигурация второй моды характеризуется коэффициентом распределе-

íèÿ ςII = –1.

Если грузы, изображенные на рис. 3.5а, сместить на произвольные расстояния (например, в одну сторону на величины s01 è s02 , как это изображено на рис. 3.5б), то это эквивалентно суперпозиции двух типов начальных смещений: в одну сторону на одинаковые величины (позиция в)

s01I = s02I =	1		(s01 + s02 ) ;		(3.10)

2
и в разные стороны (позиция г) на величины
− s01II = s02II =		1		(s02 − s01 ) .	(3.11)

2

Поскольку колебательная система линейна, то синфазные колебания, возникающие после отпускания грузов в позиции (в), будут происходить независимо от присутствия

Лекция 3

противофазных колебаний, возникающих при отпускании грузов в позиции (г). Смещения обоих грузов с течением времени будут описываться формулами (3.5), в которых амплитуды определяются равенствами (3.10) и (3.11), а начальные фазы jI = jII = p / 2 .

Проанализируем более подробно колебания в системе, изображенной на рис. 3.5. Пусть мы сдвинули левую массу вправо на расстояние s01 , а правую массу оставили в несмещенном положении (s02 = 0) . После отпускания обоих грузов в системе возникнут колебания. Из (3.10) и (3.11) определяем амплитуды мод: s01I = s02I = s01 / 2 ;

- s01II = s02II = -s01 / 2 . Поскольку фазы jI = jII							= p / 2 (т.к. начальные скорости у грузов
отсутствуют), то смещения
	s1	(t) =	s01			cos wIt +	s01		cos wIIt;
	s1	(t) =				cos wIt +	2		cos wIIt;
		2					2			(3.12)
				s01				s01		(3.12)
	s2	(t) =		s01		cos wIt -		s01	cos wIIt.
	s2	(t) =				cos wIt -			cos wIIt.
		2					2
Производя суммирование тригонометрических функций в (3.12), получим:
s1	(t) = s01 cos wII - wI t × cos wII + wI t;
					2				2	(3.13)
	(t) = s01 sin wII - wI t × cos wII + wI t.									(3.13)
s2	(t) = s01 sin wII - wI t × cos wII + wI t.
					2				2
Временные зависимости (3.13) изображены на рис. 3.6.

s1	TÁ

Ðèñ. 3.6.

52							Колебания и волны
Видно, что колебания каждой из масс имеют форму биений. Период этих бие-
ний равен 1)
T	=		2π	=	2π	,	(3.14)
T	=			=		,	(3.14)
á		ωII − ωI			Ωá
где частота биений		ωII − ωI			Ωá
где частота биений
Ωá =			ω = ωII − ωI .				(3.15)
Если ввести среднюю частоту
	ω0		= ωI + ωII ,				(3.16)
			2

то с этой частотой связан период колебаний Т = 2π .

ω0

Если частота биений Ωá << ω0 , как это изображено на рис. 3.6, то Тá >> T . В этом случае колебания обоих грузов будут почти гармоническими (квазигармоническими). Если переписать (3.13) с использованием средней частоты ω0 и частоты биений Ωá â âèäå:

s (t) = s			01		cos	Ωá	t cos ω	t = A (t)cos ω		t;
s (t) = s					cos		t cos ω	t = A (t)cos ω		t;
1						2	0	1	0
						2
s	2	(t) = s		01	sin	Ωá t cos ω		t = A	(t) cos ω	t;	(3.17)
	2			01		2	0	2	0
						2

òî ïðè Ωá << ω0 колебания (3.17) можно трактовать как колебания с частотой ω0 и медленно меняющейся амплитудой A(t).

s 2

В теории колебаний и в других раз-

делах физики для анализа колебательного

процесса используют спектральное представ-

ление, или спектр колебаний. Этот спектр

изображают графически: по оси абсцисс ука-

зывают частоты колебаний, а по оси ординат

откладывают квадраты их амплитуд. Так, в

частности, для колебаний, изображенных на

ðèñ. 3.6 ( s1 èëè s2 ) и описываемых форму-

wI w0 wII

w лами (3.17), легко нарисовать спектр, по-

Ðèñ. 3.7.

скольку уже известно спектральное разложе-

ние этого колебания (представление в виде суммы гармонических колебаний), задаваемое формулами (3.12).

Такой спектр изображен на рис. 3.7.

1) Колебания (3.12), вообще говоря, не являются периодическими, т.е. нельзя указать такое время

T*, спустя которое они точно повторяются (отношение частот ω I				/ ω II			– чаще всего иррациональ-
	mω I
		= nω II будут исчезающе редки). Поэтому
ное число, а случаи их рационального отношения:
периодом биений Tá мы называем период (3.14) повторения огибающей суммарного колебания,
равный половине периода колебания с частотой	ωII − ωI		Ωá	=	2	π	= ω II − ω I .
	2				Tá
			, à

Лекция 3

Этот спектр содержит две спектральные компоненты. Его можно охарактеризовать средней частотой w0 и шириной Dw . В соответствии с формулой (3.14) произведение Dw на период Тá равно постоянной величине:

Dw ×Òá = 2p .	(3.18)
Формула (3.18) имеет глубокое физическое содержание. Так, если происходит
некоторое квазигармоническое колебание вида
s(t) = A(t) cos[w0t + j(t)],	(3.19)

для которого амплитуда А и фаза j медленно меняются на масштабе времени t (рис. 3.8а), то спектр такого колебания может состоять из большого числа частот.

Эти частоты группируются вблизи центральной (основной) частоты w0 = 2p /T в пределах характерного интервала частот Dw, обратно пропорционального временно-

му масштабу t. На рис. 3.8б

изображен этот спектр, где по

оси ординат отложен квадрат

амплитуды s0 каждой из гар-

монических составляющих,

причем между t и Dw суще-

ствует связь: DwЧ t ~ 2p .

Количественная связь

между колебательным процес-

à)

сом s(t) и его спектром пред-

s02(w)

ставляется (по аналогии с фор-

мулами (3.12)) в виде суммы

Dw ~ 2p/t

конечного или бесконечного

числа гармонических состав-

ляющих (в виде ряда или ин-

теграла Фурье). Такое пред-

á)

ставление будет широко ис-

пользоваться в курсе «Оптика».	Ðèñ. 3.8.

Методика анализа колебаний связанных осцилляторов. Выше мы рассмотрели колебания двух одинаковых связанных пружинных маятников, не прибегая к решению уравнений их движения. Однако, если жесткости пружин и массы тел имеют произвольные величины, то зачастую бывает трудно догадаться о конфигурации мод и их частотах. Поэтому представляется важным вооружиться универсальным методом, позволяющим по единой схеме провести последовательный анализ любой колебательной системы с двумя степенями свободы, являющейся системой любых связанных осцилляторов.

54	Колебания и волны

Запишем уравнения движения двух связанных пружинных маятников в виде:

&&		′		′
m1s1	= −k1s1 − k s1		+ k s2 ;		(3.20)
&&	= −k	′		′	(3.20)
m2s2	= −k	2s2 − k s2 + k s1.
Разделив первое уравнение на m1 , а второе — на m2					и используя выражения
(3.6) для парциальных частот, перепишем (3.20) следующим образом:
		2
s1 = −ω1 s1 − α1s2 ,
&&
			2	,	(3.21)
s2 = −α2 s1 − ω2s2				,
&&

ãäå α1 = −k′ / m1, α2 = −k′ / m2 — коэффициенты, зависящие от жесткости k′ пружины связи. Обратим внимание, что уравнения (3.21) не могут решаться по отдельности, т.к. каждое из них содержит s1 è s2 . Поэтому целесообразно перейти от смещений s1 è s2 к новым функциям ξ1 è ξ2 , называемым нормальными координатами. Смысл перехода состоит в получении двух независимых уравнений движения, которые можно решать по отдельности.

Однако, в общем случае эти координаты найти не просто. Поэтому для иллюстрации такого перехода рассмотрим систему с одинаковыми массами (m1 = m2 = m) è

пружинами (k1 = k2 = k) . Поскольку парциальные частоты совпадают (ω1 = ω2 = ω =

=	k + k ′ ), а также α1 = α2 = α = −		k′	, то система уравнений (3.21) становится более
=	k + k ′ ), а также α1 = α2 = α = −			, то система уравнений (3.21) становится более
	m		m
простой. Сложив оба уравнения, получаем:
		&&	= −(ω		2	+ α)ξ1			,	(3.22à)
		ξ1	= −(ω			+ α)ξ1			,	(3.22à)
ãäå ξ1 = s1 + s2		— первая нормальная координата. Вычитая второе уравнение из перво-
го, находим:
		&&	= −(ω		2	− α)ξ2			,	(3.22á)
		ξ2	= −(ω			− α)ξ2			,	(3.22á)
ãäå ξ2 = s1 − s2		— вторая нормальная координата. Теперь уравнения (3.22) независимы.
Первое из них описывает колебание центра масс системы с частотой
		ωI2 = ω2 −					k′	,		(3.23)
		ωI2 = ω2 −						,		(3.23)
							m

меньшей парциальной частоты ω . Второе уравнение описывает изменение расстояния между двумя массами с частотой

ωII2

= ω2 +

k′

(3.24)

превышающей парциальную частоту. Решения уравнений (3.22) очевидны:

ξ1 (t) = s1 (t) + s2 (t) = ξ01 sin(ωIt + ϕI ) ;

(3.25à)

ξ2 (t) = s1 (t) − s2 (t) = ξ02 sin(ωIIt + ϕII ) .

(3.25á)

Возвращаясь к функциям s1 è s2 , получаем:

(t) =

ξ01

sin(ω

t + ϕ

) +

ξ02

sin(ω

t + ϕ

)

;

(3.26à)

(t) =

ξ01

sin(ωIt + ϕI ) −

ξ02

sin(ωIIt + ϕII ) .

(3.26á)

Лекция 3				55
s1 (t = 0)	Четыре величины		x01, x02 , jI è jII определяются из начальных условий:
s1 (t = 0)	, s2 (t = 0)	, s1 (t = 0)	, s	2 (t = 0) .
		&	&

Проиллюстрировав переход к нормальным координатам, вернемся к методике анализа колебаний в произвольных системах, описываемых уравнениями (3.21).

Пусть в системе происходит нормальное колебание с неизвестной пока часто-

той w и коэффициентом распределения амплитуд V =					s02	:
той w и коэффициентом распределения амплитуд V =						:
					s01
	s1 (t) = s01 sin(wt + j), s2 (t) = s02 sin(wt + j) .						(3.27)
Подставим (3.27) в систему уравнений (3.21). Тогда получим систему из двух
алгебраических уравнений:
		(w12 - w2 )s01 + a1s02 = 0;					(3.28)
		a2 s01 + (w22 - w2 )s02 = 0.					(3.28)
		a2 s01 + (w22 - w2 )s02 = 0.
Система линейных однородных уравнений (3.28) имеет отличные от нуля реше-
ния только в том случае, если ее определитель равен нулю:
	w12 - w2	2a1	2	= (w12 - w2 )(w22 - w2 ) - a1 × a2 = 0.			(3.29)
	w12 - w2	2a1	2	= (w12 - w2 )(w22 - w2 ) - a1 × a2 = 0.			(3.29)
	a2	w2 - w

Это — квадратное уравнение относительно w2 , причем w > 0 . Поэтому, решая уравнение (3.29), можно найти нормальные частоты wI è wII . После нахождения частот не составляет труда найти конфигурацию мод, т.е. коэффициенты распределения амплитуд VI è VII . Их можно определить, например, из первого уравнения (3.28), причем оче- видно, что для каждой нормальной частоты ( wI èëè wII ) эти коэффициенты различны:

æ s

- w2

æ s

- w2

= ç

(3.30)

è s01

øI

è s01

øII

Таким образом, уравнение (3.29) и равенство (3.30) позволяют полностью рас- считать параметры каждой из двух мод. Движение каждой из масс, как уже неоднократно отмечалось, является суперпозицией двух нормальных колебаний:

s1 (t) = s01I sin(wIt + jI ) + s01II sin(wIIt + jII ) ,

s2 (t) = VI × s01I sin(wIt + jI ) + VII × s01II sin(wIIt + jII ) ,

где амплитуды s01I è s01II и начальные фазы jI è jII определяются, как и раньше, из начальных условий: s1 (0) , s2 (0) , s&1 (0) , s&2 (0) .

Расчет мод для любой системы двух связанных осцилляторов читатель может проделать самостоятельно.

Соотношение между парциальными и нормальными частотами. Для установления связи между парциальными и нормальными частотами перепишем (3.29) в виде

(w12 - w2 )(w22 - w2 ) - g2w12w22 = 0 ,					(3.31)
ãäå
g =	a1a2	=	k¢2	.	(3.32)
g =	w12w22	=	(k1 + k¢)(k2 + k¢)	.	(3.32)
	w12w22		(k1 + k¢)(k2 + k¢)

56		Колебания и волны
		Безразмерный коэффициент связи g
0 wI w1 w2	wII	w между двумя системами может принимать значе-
Ðèñ. 3.9.		ния 0 < g < 1 . Если из (3.31) определить нормаль-

ные частоты wI è wII , то они будут выражаться через парциальные частоты w1 è w2 и коэффициент g . Эти четыре частоты будут располагаться на оси частот в последовательности, изображенной на рис. 3.9.

При слабой связи (g << 1) нормальные частоты близки к парциальным, а при сильной связи (g 1) различие в частотах становится существенным. Это хорошо видно, если парциальные частоты совпадают (w1 = w2 = w0). Тогда (3.31) примет вид:

(w02 - w2 )2 - g2w04 = 0 .

Отсюда
2	2	(	- g	),	2 2	(	+ g	).	(3.33)
wI	= w0	1	- g		wII = w0	1	+ g

Затухание колебаний. Если энергия не подводится извне, то колебания связанных осцилляторов будут затухать. Поскольку сила вязкого трения пропорциональна скорости, то уравнения (3.21) с учетом затухания примут вид:

&s&1 = -w12s1 - 2d1s&1 - a1s2 ,

	2	- 2d2 s2 .	(3.34)
s2 = -a2 s1 - w2s2		- 2d2 s2 .
&&		&

Здесь d1 = G1 / 2m1 è d2 = G2 / 2m2 — коэффициенты затухания для первого и второго осцилляторов. Если искать решение этой системы в виде нормальных затухаю-

щих колебаний:
s	(t) = s e−δt sin(wt + j) ,	s	(t) = s e−δt sin(wt + j) ,	(3.35)
1	01	2	02

то после подстановки (3.35) в (3.34) можно найти нормальную частоту w , коэффициент затухания d и конфигурацию V каждой из двух мод. Опуская промежуточные выкладки, отметим, что при w1 >> d1 è w2 >> d2 (слабое затухание) нормальные частоты и распределение амплитуд в модах будут близки к тем, что и в отсутствие затухания. Для коэффициента затухания d получается выражение:

d =	(w12 - w2 )d1 + (w22 - w2 )d2				.	(3.36)

	(w12 - w2 ) + (w22 - w2 )
Можно видеть, что при произвольном соотношении между w1 , w2 , d1 è d2
коэффициенты затухания мод dI è dII , получаемые из (3.36) при w = wI						è w = wII ,
будут различными.
Если парциальные частоты совпадают (w1 = w2 ) , òî
	dI = dII	=	1	(dI + dII ) .		(3.37)

Åñëè w1 ¹ w2 , à d1 = d2 = d , òî		2

	dI	= dII = d .				(3.38)

Последним результатом мы воспользуемся при рассмотрении диссипации энергии в связанной колебательной системе.

Энергия колебательной системы и ее диссипация. Рассмотрим колебания двух одинаковых масс (рис. 3.10а), закрепленных на растянутом легком резиновом шнуре.

Лекция 3							57
Если один из грузов	a			m	a	m	a
Если один из грузов
оттянуть на расстояние 2s0	à)
(б) и затем одновременно от-	à)
(б) и затем одновременно от-
пустить обе массы, то их ко-
лебания будут иметь вид би-				2s0
ений. С другой стороны, при	á)			2s0
ений. С другой стороны, при	á)
этих начальных условиях бу-
дут возбуждены две моды (в				s0		s0
и г) с одинаковыми амплиту-	â)			s0		s0
и г) с одинаковыми амплиту-	â)					s0
дами колебаний обеих масс,						s0
дами колебаний обеих масс,
равными s0 . Энергия, запа-				s0
сенная в первой моде, равна	ã)			s0
сенная в первой моде, равна	ã)
сумме кинетических энергий				Ðèñ. 3.10.
обеих масс при прохождении ими положения равновесия со скоростью v 0I							= s0ωI , ò.å.:
E0I	= 2 m (v	0I )2	= ms02ωI2 ,				(3.39à)
	2
а энергия второй моды, аналогично, равна
E0II	= 2 m (v 0II )2		= ms02ωII2 .				(3.39á)
	2
Важно отметить, что энергообмен между модами отсутствует, а полная энергия
системы равна сумме энергий ее мод. В то же время в процессе биений энергия первого
осциллятора за время, равное половине периода биений, «перетекает» ко второму ос-
циллятору и затем за такое же время возвращается обратно. Полный энергообмен меж-
ду осцилляторами возможен лишь тогда, когда обе массы одинаковы и отношение
(ωI + ωII ) /(ωII − ωI ) равно целому числу n, т.е.:
	ωI + ωII = 2ω0 = n.						(3.40)
	ωII − ωI	Ωá					(3.40)
	ωII − ωI	Ωá
Следовательно, частота ω0 должна быть кратной частоте биений. В самом деле,
при выполнении условия (3.40) каждая из масс будет периодически останавливаться в
положении равновесия (как следует из формул (3.17)). С течением времени колебания
будут затухать, и будет экспоненциально уменьшаться энергия, запасенная в модах:
E I (t) = ms02e−2δt ωI2				= E0Ie−2δt ,			(3.41à)
E II (t) = ms02e−2δt ωII2				= E0IIe−2δt .			(3.41á)
Важно подчеркнуть, что через время			τE = 1		энергия каждой из мод умень-
				2δ
шится в е раз, при этом противофазная мода «потеряет» больше энергии, чем синфазная,
поскольку начальная энергия E0II	у нее была больше, чем E0I					(ñì. (3.39)).
Вынужденные колебания. Рассмотрим основные закономерности вынужден-
ных установившихся колебаний в системе, изображенной на рис. 3.11, если на левую
массу m1 действует сила F(t) = F0 sin ωt. Уравнения движения в этом случае будут отли-
чаться от (3.34) наличием этой силы в правой части первого уравнения:

58	Колебания и волны

&s&1 = −ω12 s1

&s&2 = −α2 s1

Нетрудно догадаться, что решениями этой системы в установившемся режиме являются гармонические функции

− 2δ1s1 − α1s2 +			F0	sin ωt,
&			m1
			m1			(3.42)
2	− 2δ2s2 .					(3.42)
2
− ω2 s2
		&
	k1	m1 F(t) k ¢			m 2	k 2
				Ðèñ. 3.11.

s1 (t) = s01 sin(ωt + ϕ1 ) , s2 (t) = s02 sin(ωt + ϕ2 ),

(3.43)

которые отражают тот факт, что обе массы колеблются на частоте вынуждающей силы. Подставляя (3.43) в (3.42), можно вычислить амплитуды и фазы вынужденных колебаний. Мы ограничимся лишь обсуждением результатов.

s01			На рис. 3.12 изображена АЧХ для
s01
			первого осциллятора, к которому приложена
			сила. Обращает на себя внимание наличие
			двух резонансов, которые при малом затуха-
			нии наблюдаются на нормальных частотах
			ωI è ωII . При изменении частоты ω îò ωI
			äî ωII амплитуда s01 падает и достигает ми-
			äî ωII амплитуда s01 падает и достигает ми-
wI w1 w2 wII			w нимума на второй парциальной частоте ω2 ,
Ðèñ. 3.12.			при этом с уменьшением затухания амплиту-
			при этом с уменьшением затухания амплиту-

да на этой частоте стремится к нулю. Это обстоятельство используют для подавления отклика системы на действие внешней силы. В радиотехнике, где используются связанные колебательные контуры, их применяют как фильтры и демпферы.

Два резонанса имеют место и для смещения s2 второй массы. Если проанализировать отношение амплитуд s02 / s01 в зависимости от частоты ω , то оказывается, что это отношение вблизи частоты ωI равно коэффициенту распределения амплитуд ςI для первой моды, а вблизи частоты ωII — коэффициенту распределения амплитуд ςII для второй моды. Это используется для определения этих коэффициентов, поскольку при вынужденных колебаниях это сделать проще, чем при собственных.

Колебания систем со многими степенями свободы. Основные идеи, сформулированные при рассмотрении колебаний систем с двумя степенями свободы, теперь могут быть с успехом использованы для анализа колебаний систем с тремя, четырьмя, ...,N степенями свободы, и в пределе, при N → ∞ , для анализа колебаний в сплошных средах, т.е. волн.

Обратимся вначале к колебаниям трех одинаковых масс m, закрепленных на равных расстояниях а на натянутом легком резиновом шнуре, как показано на рис. 3.13а. Любое колебание этой системы может быть представлено как суперпозиция трех нормальных колебаний с частотами ωI , ωII è ωIII . Опуская на время вопрос о величине частот, найдем конфигурацию этих мод. Примем во внимание, что квадрат частоты колебаний каждой массы в данной моде должен быть одинаков. Этого можно добиться в случае, когда отношения

Лекция 3									59
возвращающей силы к	a		m	a	m	a	m		a
возвращающей силы к
величине массы m и ее	à)
смещению s у всех гру-	à)
смещению s у всех гру-
зов будут одинаковыми.						s0			wI
Такие условия реали-									wI
Такие условия реали-	á)
зуются при смещении	á)
зуются при смещении
масс тремя способами							s0		wII
масс тремя способами			s0						wII
(á, â è ã íà ðèñ. 3.13).			s0
(á, â è ã íà ðèñ. 3.13).	â)
	â)
При отпускании грузов
из положения (б) в сис-					s0				wIII
из положения (б) в сис-				–			s0 /	–	wIII
теме будет происходить		s		–			s0 /	–
теме будет происходить	ã)		0 /Ö2				Ö2
первое нормальное ко-	ã)
первое нормальное ко-
лебание на частоте ωI ;	0		x1		x2		x3		x
из положения (в) —	0		x1		x2		x3		x
из положения (в) —					Ðèñ. 3.13.
второе на частоте ωII ;					Ðèñ. 3.13.
второе на частоте ωII ;
из положения (г) — третье на частоте ωIII . Очевидно, что ωIII							> ωII > ωI .
Конфигурация каждой из мод может быть описана с помощью двух коэффици-
ентов распределения амплитуд. Забегая вперед, отметим, что для четырех масс таких
коэффициентов должно быть три, и т.д.
Однако ситуация может быть упрощена, если обратить внимание, что расположе-
ние масс в позициях (б), (в) и (г) на рис. 3.13 напоминает «синусоидальное» (пунктиром
изображен фрагмент функции sin kx , где k				— некоторый параметр, характеризующий пе-
риод этой функции). Тогда конфигурация первой моды будет описана следующим образом:

s0I (x) = s0 sin kI x;	kI =		π	.	(3.44à)
s0I (x) = s0 sin kI x;	kI =			.	(3.44à)
Для второй моды:			4a
Для второй моды:
s0II (x) = s0 sin kII x;	k II = 2kI .				(3.44á)
Для третьей моды:
s0III (x) = s0 sin kIII x;	kIII	= 3kI .			(3.44â)

Роль безразмерных коэффициентов ς выполняет функция sin k p x ( p = I, II, III) , вычис-

ленная в точках x = x1 = a , x = x2 = 2a , x = x3 = 3a .

Другими примерами связанных осцилляторов являются атомы в молекулах CO2, H2O и т. д. На рис. 3.14 изображены конфигурации мод и приведены значения частот нормальных колебаний молекул. Обратим внимание, что эти частоты имеют порядок величины (1013 ÷1014 ) ñ–1 и значительно превышают (на несколько порядков) частоты механических колебаний макроскопических систем. Резонансные колебания этих (и других) молекул можно возбудить при взаимодействии разноименно заряженных ионов, составляющих эти молекулы, с электрическим полем световой электромагнитной волны инфракрасного (ИК) диапазона, имеющей близкую частоту.

Колебания и волны

wI = 4,16 · 1013

c –1

wII = 7,05 · 1013

c–1

wIII = 2,00 · 1013 c –1

105°

wI = 11 · 1013 c –1

wII = 11,27 · 10 13 c –1

wIII = 4,78 · 10 13 c –1

Ðèñ. 3.14.

В курсе «Оптика» мы познакомимся с таким взаимодействием, приводящим, в частности, к ослаблению (поглощению) энергии световой волны и ее рассеянию в среде с колеблющимися молекулами (комбинационному рассеянию).

Будем увеличивать число масс, закрепленных на шнуре через равные промежуткиа. Если N — число этих масс, то полная длина шнура равна l = a(N +1) (рис. 3.15). Рассчитаем нормальные частоты всех мод и их конфигурации. Будем считать, что невесомый шнур натянут с силой F, и при малых отклонениях масс от положения равновесия s << l эта сила не меняется. Каждая масса испытывает действие сил натяжения шнура по обе стороны от нее.

На рис. 3.16 показано мгновенное положение фрагмента шнура и трех масс. Если углы q1 è q2 малы, то возвращающая сила, действующая на среднюю массу, равна:

f = -F × (sin q1 + sin q2 ) » -F(q1 + q2 ) .										(3.45)
Величины углов q1 è q2	определяются взаимным расположением масс:
	s	n	- s	−		s	n	- s +
q1 »				n 1	; q2 »			n 1	.	(3.46)
			a
								a

С учетом (3.45) и (3.46) уравнение движения средней массы примет вид:

m&s&	= -F	æ	sn - sn−1	+	sn - sn+1	ö.
		ç
n			a		a	÷
		è				ø

Если колебания являются нормальными, то

sn−1(t)= s0,n−1 sin wt,

sn (t)= s0,n sin wt,

sn+1(t)= s0,n+1 sin wt,

где частоту w и распределение амплитуд предстоит определить.

a m a m a m a m a m a m a m a m a

(3.47)

(3.48)

xN – 1 xN

Ðèñ. 3.15.

Лекция 3

Подставляя (3.48) в (3.47), получим

- s

maw2 ö

- s

+ =

(3.49)

−

+ ç 2 -

÷s

0,n

0,n 1

Поскольку n = 1, 2, 3, ..., N, то (3.49) представляет собой систему N линейных

однородных уравнений. s

Из условия равенства

нулю ее определителя

можно рассчитать все N

нормальных частот, а за-

sn +1

тем для каждой из этих

sn – 1

частот определить рас-

xn – 1

xn +1

пределение амплитуд в

Ðèñ. 3.16.

каждой моде, число которых, очевидно, будет равно N.

Мы же используем уже описанный ранее более легкий путь и будем искать кон-

фигурацию каждой моды в виде «синусоидальной» конфигурации:

s0 (x) = s0 sin kx,

èëè s0n

= s0 (xn ),

(3.50)

ãäå

x1 = a, x2 = 2a,..., xn = na,..., xN = Na .

Убедимся, что конфигурация (3.50) удовлетворяет уравнению (3.49), которое

перепишем в виде:

0,n

+ + s

−

- w

0,n 1

(3.51)

s0,n

ãäå W

2 =

Подставим (3.50) в левую часть (3.51):

sin k(n +1)a + sin k(n -1)a

= 2cos ka =

2W2

- w2

(3.52)

sin kna

Очевидно, что (3.50) удовлетворит уравнению (3.49), если подобрать для данно-

ãî k

подходящую частоту w .

Параметр k назовем волновым числом. Объяснение этому будет дано в после-

дующих лекциях. Этот параметр должен быть таким, чтобы на концах закрепленного шнура удовлетворялись граничные условия. При x = 0 эти условия выполняются: sin(k Ч 0) = 0 . На другом конце, где x = a(N +1) , потребуем, чтобы

sin ka(N +1) = 0 ,			(3.53)
откуда получаем:
k p a(N +1) = p × p, èëè k p =	pp	,	(3.54)
k p a(N +1) = p × p, èëè k p =	a(N +1)	,	(3.54)
	a(N +1)

где целое число p = I, II, ..., N характеризует номер моды (количество мод, как было показано выше, равно N). Каждой p-ой моде соответствует своя частота, которая легко находится из уравнения (3.52):

w2	= 2W2 (1- cos k	p	a) = 2W2	æ1- cos	pp	ö.	(3.55)

p				ç	N +1	÷
				è		ø

Колебания и волны

N = 1

= ma

N = 2

wII= ma

1 ö

N = 3

ç1

= ma è

2 ø

2 2F wII= ma

2 2F	æ	+	1 ö
2 2F	ç1	+	÷
wIII = ma	è		2 ø

Ðèñ. 3.17.

Зная волновые числа k p и нормальные частоты w p , не составляет труда записать выражения для смещений всех масс, как функций времени. Для р-ой моды можно записать:

s p (xn ,t) = s0 p sin k p xn ×sin(w pt + j p );

(3.56)

здесь xn = na; n = 1, 2, ..., N.

Амплитуда s0 p и начальная фаза j p определяются начальными условиями, а

kð è wð — свойствами самой системы (формулы (3.54) и (3.55)).

Âсилу линейности колебательной системы в самом общем случае колебаний получаем для смещения всех частиц выражение:

s(xn ,t) = ås p (xn ,t),	(3.57)
p

где суммирование проводится только по тем модам, которые «участвуют» в колебаниях. Так, например, удерживая все время среднюю массу в положении равновесия, мы не можем возбудить моды с нечетными номерами p = I, III, ..., поскольку эти моды

«требуют» смещения центральной массы.

Пользуясь формулой (3.55), нетрудно вычислить нормальные частоты колеблющихся масс на шнуре.

На рис. 3.17 изображены моды колебаний в системе с одной, двумя и тремя массами и для каждой моды указаны величины нормальных частот.

В заключение отметим, что связь типа (3.55) между частотой w и волновым числом k называется дисперсионным соотношением. Это соотношение будет далее использовано при анализе распространения волн в периодических структурах.

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методические материалы и лекции

#
23.01.2017729.09 Кб86wave_opt_lex_bnv.pdf
#
23.01.2017534.13 Кб102Волновая оптика.pdf
#
23.01.2017779.46 Кб105волновые процессы лекции №1.pdf
#
23.01.20171.52 Mб396Дифракция + задачи.doc
#
23.01.2017324.1 Кб160Дифракция света.doc
#
23.01.20172.66 Mб151колебания и волны.pdf
#
23.01.20174.3 Mб181КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕЧ 3.Волновая и квантовая оптикаСтроение атома и ядра.pdf
#
23.01.20172.12 Mб821КУРСЛЕКЦИЙПОФИЗИКЕЧасть 3 КОЛЕБАНИЯИВОЛНЫ. ВОЛНОВАЯОПТИКА.pdf
#
23.01.20176.41 Mб179лекции по физике.pdf
#
23.01.20173.51 Mб1196Оптика. Методика решения задач.pdf
#
23.01.20171.16 Mб1047Практикум по решению задач.pdf