Домашние задания

5.103. Между точечным источником света и экраном поместили диафрагму с круглым отверстием, радиус которой r можно менять. Расстояния от диафрагмы до источника и экрана равны а = 100 см и b = 125 см. Определить длину волны света, если максимум освещенности в центре дифракционной картины на экране наблюдается при r₁ = 1,00 мм и следующий максимум при r₂ = 1,29 мм.

Решение.

Максимум при френелевской дифракции наблюдаются, когда при заданных расстояниях а и b в отверстии открывается нечетное число зон Френеля. Поэтому, согласно (1),

; .

Вычитая из второго выражения первое, получаем выражение не зависящее от номера зоны m, из которого следует решение:

5.106. Монохроматическая плоская световая волна с интенсивностью I₀ падает нормально на непрозрачный диск, закрывающий для точки наблюдения Р первую зону Френеля. Какова стала интенсивность света I в точке Р после того как у диска удалили:

а) половину (по диаметру);

б) половину внешней половины первой зоны Френеля (по диаметру)?

Решение.

а) Если диск закрывает первую зону, то амплитуда поля в точке наблюдения будет определяться длиной вектора А (красный цвет). Если бы бы убрали диск, т.е. открыли первую зону, то результирующий вектор представлял бы собой сумму векторов и вектора (синий цвет штриховая линия), но поскольку отрыли половину (по диаметру) первой зоны, то будет добавляться только половина вектора: (синий цвет, сплошная линия). Вектора и примерно равны по длине и противоположны по направлению, поэтому амплитуда поля в точке Р будет равна нулю: .

б) В этом случае, если бы открыли внешнюю половину первой зоны, то к вектору надо было бы прибавлять вектор (синяя пунктирная прямая), но поскольку открыли только половину внешней половины первой зоны, то нужно прибавлять вектор (синяя сплошная).

Сумма этих векторов – вектор Сумма этих векторов – вектор . Его длину можно вычислить по теореме Пифагора (с учетом результатов задачи 5.105):

Сумма этих векторов – вектор . Его длину можно вычислить по теореме Пифагора (с учетом результатов задачи 5.105):

.

5.112. Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на круглое отверстие. На расстоянии b = 9,0 м от него находится экран, где наблюдают некоторую дифракционную картину. Диаметр отверстия уменьшили в η = 3,0 раза. Найти новое расстояние b’, на котором надо поместить экран, чтобы получить на нем дифракционную картину, подобную той, что в предыдущем случае, но уменьшенную в η раз.

Решение.

Предположим, что отверстие таково, что в центре дифракционной картины видно m зон Френеля. Тогда при новом размере отверстия картина дифракции не изменится, если при новом положении экрана в центре будет также видно m зон Френеля. С учетом того, что :

5.117. Плоская световая волна длины 0,60 мкм падает нормально на непрозрачную длинную полоску ширины 0,70 мм. За ней на расстоянии 100 см находится экран. Найти с помощью спирали Корню отношение интенсивностей света в середине дифракционной картины и на краях геометрической тени.

Решение.

Найдем интенсивность в центре геометрической тени, за полоской (см. рис). При том выборе начала координат, который показан на рисунке, для наблюдателя в центре за пластинкой (х = 0) с каждой стороны закрыты одинаковые по протяженности части волнового фронта. Поэтому параметр t для правой части волнового фронта по абсолютной величине равен параметру для левой части волнового фронта

.

Поле в х=0 равно сумме векторов и . В силу симметрии эти векторы параллельны и их длины равны, поэтому интенсивность в х = 0

.

Найдем интенсивность на границе геометрической тени (в х = –d/2). Тогда

для левой части волнового фронта, а для правой половины волнового фронта

Эти векторы противоположны по направлению, поэтому длина суммы этих векторов, равна разности их длин. Таким образом, интенсивность на границе геометрической тени

Отношение интенсивностей в центре тени и на ее границе

.

При использовании линейки, сначала находят , значение которой равно половине от квадрата расстояния между фокусами F₊ и F_– на спирали Корню. Все другие измерения проводят в единицах . В любом случае, влияния масштаба рисунка спирали Корню можно избежать при нахождении не абсолютных значений, а отношений интенсивности.

5.126. Свет с длиной волны λ = 0,50 мкм падает на щель ширины b = 10 мкм под углом θ₀ = 30^ к ее нормали. Найти угловое положение первых минимумов, расположенных по обе стороны центрального фраунгоферова максимума.

Решение.

Формула (3) дана для нормального падения. На правом рисунке можно видеть, что при нормальном падении волны 1 и 2 приходят к щели в фазе, а после щели при дифрагировании на угол θ, между первой и второй волнами возникает разность хода , которая для минимумов должна равняться целому числу длин волн . При наклонном падении перед щелью между первой и второй волнами разность хода , а после дифрагирования на щели возникает дополнительная разность хода , т.е. суммарная разность хода при наклонном падеии

Используем эту формулу, находим:

5.134. Свет с длиной волны λ = 0,60 мкм падает нормально на дифракционную решетку, которая нанесена на плоской поверхности плоско-выпуклой цилиндрической стеклянной линзы с радиусом кривизны R = 20 см. Период решетки d = 6,0 мкм. Найти расстояние между симметрично расположенными главными максимумами первого порядка в фокальной плоскости этой линзы.

Решение.

Волны, от различных участков решетки, дифрагировавшие под углом, соответствующим первому максимуму,

,

распространяются параллельно друг другу. Линза фокусирует параллельно идущие лучи в определенные точки фокальной плоскости, поэтому в фокальной плоскости будет наблюдаться система дифракционных максимумов и минимумов. Фокусное расстояние линзы

и на этом же расстоянии наблюдается дифракционная картина. Расстояние от центра дифракционной картины до первого максимума

.

Поскольку нас интересует расстояние между максимумами первого порядка, а максимумы расположены симметрично относительно центра картины, то искомое расстояние

.

5.136. Плоская световая волна длины падает нормально на фазовую дифракционную решетку, профиль которой показан на рисунке. Решетка нанесена на стеклянной пластинке с показателем преломления n. Найти глубину h штрихов, при которой интенсивность центрального фраунгоферова максимума равна нулю. Каков при этом угол дифракции, соответствующий первому максимуму?

Решение.

В задаче рассматривается фазовая решетка. Между волнами, прошедшими через зубец, и прошедшими через выемку, существует оптическая разность хода

.

Так как ширина зубца равна ширине выемки вклад каждого из этих участков в интенсивность нулевого порядка будет одинаковым. По условию задачи эти волны в центральном максимуме при сложении должны погасить друг друга, т.е. находиться в противофазе друг к другу. Поэтому

Для нахождения условия максимума дифракции вычислим разность хода лучей 1 и 2 (см. рис.). Пути проходимые этими лучами и оптическая разность хода между ними

Учитывая, что по условию (см. выше)

,

условие для дифракционного максимума должно быть следующим:

.

Считая, что для первого максимума углы дифракции малы (cosθ ~ 1)

При условии k+m = 0, первый максимум будет наблюдаться под углом

.

5.147. При нормальном падении света на дифракционную решетку ширины 10 мм обнаружено, что компоненты желтой линии натрия (589,0 и 589,6 нм) оказываются разрешенными, начиная с пятого порядка спектра. Оценить:

а) период этой решетки;

б) при какой ширине решетки с таким же периодом можно разрешить в третьем порядке дублет спектральной линии с λ = 460,0 нм, компоненты которого отличаются на 0,13 нм.

Решение.

а) По формуле (7) найдем количество штрихов у решетки, а по количеству штрихов, зная ширину решетки, можно найти период:

б) Из последнего выражения можно найти решение

5.156. Вычислить наименьшее расстояние между двумя точками на Луне, которое можно разрешить рефлектором с диаметром зеркала 5,0 м. Считать λ = 0,555 мкм.

Решение.

По формуле (8) наименьшее угловое расстояние, разрешаемое данным объективом

.

С другой стороны

,

где х – расстояние на Луне, разрешимое в данный телескоп, а L = 384400 км.

Приравнивая правые части этих выражений, находим

120