Zaochniki_nachertalka / Материалы по Начертательной геометрии / начертательная геометрия лекции / Развертка призматических и цилиндрических поверхностей

Развертка призматических и цилиндрических поверхностей

Развертки призматических и цилиндрических поверхностей строят способом нормального сечения.

Рисунок 1

Пусть призма (рис. 1, а) расположена относительно плоскостей проекций так, что ее боковые ребра являются фронталями. Тогда они проецируются на плоскость проекций П2 в натуральную величину и фронтально проецирующая плоскость Σ, перпендикулярная к боковым ребрам, определит нормальное сечение PQR призмы. Построив его натуральный вид введением дополнительной плоскости проекций П4, найдем натуральные величины Р4Q4, Q4R4 и P4R4 сторон сечения, которые являются высотами параллелограммов, составляющих боковую поверхность призмы. Дня построения развертки нужно отложить на произвольной прямой полученные на дополнительной плоскости П4 натуральные величины сторон нормального сечения (рис. 1, б), затем через их концы провести прямые, перпендикулярные к этой прямой. Если теперь отложить на этих перпендикулярах по обе стороны от прямой P'P' отрезки боковых ребер, взятые с плоскости проекций П2, и соединить их концы, то получим развертку боковой поверхности призмы. Присоединив к ней оба основания, будем иметь ее полную развертку. Точку М на поверхности призмы можно построить, проведя через нее соответствующую образующую так, как показано на чертеже.

Несмотря на то что цилиндрические поверхности являются развертывающимися, на практике строят приближенные развертки, вписывая в них призматические поверхности.

Рисунок 2

Построим развертку цилиндрической трубы кругового сечения (рис. 2, а), состоящей из трех элементов 1, 2 и 3 одного диаметра, расположенных фронтально. Для построения развертки (рис. 2, б) следует предварительно развернуть элементы 1 и 3вокруг своих осей на 180°, после чего оси всех элементов совпадут, а труба будет представлять собой единый цилиндр и займет положение ABCD.

Справедливость этого утверждения следует из рассмотрения углов α, β и γ. Нетрудно видеть, что α+γ=180º, но α=β так как оба прямоугольных треугольника, показанных на рис. 2, а, имеют общую гипотенузу и равны между собой противолежащие катеты (диаметры всех элементов трубы по условию равны). Дугу полуокружности нормального сечения трубы разделим на шесть частей так, чтобы хорды, стягивающие эти части, возможно меньше отличались от дуг полуокружности. Далее проводим на поверхности цилиндра образующие, соответствующие точкам деления нормального сечения. На произвольной горизонтальной прямой (рис. 2, б) откладываем хорды, а из их концов - образующие. В результате получим прямоугольную развертку цилиндра. После этого переносим на нее так, как показано на чертеже, точки пересечения косых эллиптических сечений трубы с образующими и соединяем их плавными кривыми, которые представляют собой развертки эллипсов.

Аналогично строят развертку цилиндрической трубы, имеющей не плоскую, а пространственную ось.