Zaochniki_nachertalka / Материалы по Начертательной геометрии / начертательная геометрия лекции / Поверхности вращения

Поверхности вращения

Поверхности вращения образуются вращением линии l вокруг прямой i - оси вращения. Они могут быть линейчатыми и нелинейчатыми (криволинейными). Определитель поверхности вращения включает образующую l и ось i. Каждая точка образующей описывает при вращении окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Эти окружности называются параллелями. Наибольшую и наименьшую параллели называют соответственно экватором и горлом. Кривые, образующиеся на поверхности вращения в результате пересечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называют меридианами. Точки на поверхности вращения обычно строят с помощью параллелей h и образующих l.

Следующие поверхности вращения относятся к классу линейчатых.

Рисунок 1

Цилиндр вращения образуется вращением прямой l вокруг параллельной ей оси i (рис. 1, а).

Конус вращения образуется вращением прямой l вокруг пересекающейся с ней оси i (рис. 1,б).

Рисунок 2

Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением прямой l вокруг скрещивающейся с ней оси i (рис. 2, а).

При вращении прямой вокруг оси i все точки прямой l опишут окружности различных радиусов, причем общий перпендикуляр AO прямых i и l будет наименьшим из всех радиусов и поэтому точка А опишет окружность, являющуюся горлом гиперболоида.

Фронтальным его очерком (рис. 2, б) будет гипербола, откуда он и получил свое название.

К нелинейчатым поверхностям, образуемым вращением окружности, относятся сфера и тор.

Сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра.

Тор образуется вращением окружности вокруг оси i, лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через ее центр (рис. 3, а, б). При этом, если ось i проходит вне окружности, то тор называется кольцом (рис. 3, б).

Рисунок 3

Сфера представляет собой поверхность второго порядка, а тор - четвертого, что соответствует максимальному числу точек пересечения этих поверхностей с прямой линией. Построение точек на сфере и на торе выполняют с помощью параллелей h.

Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг одной из его осей

(рис. 4).

Рисунок 4

Параболоид вращения (рис. 5, а) образуется вращением параболы вокруг ее оси

(рис. 5, б).

Рисунок 5

Двухполостный гиперболоид вращения (рис. 6, а) образуется вращением гиперболы (рис.6, б) вокруг ее действительной оси i. При вращении асимптот этой гиперболы получается асимптотический конус вращения, во внутренней области которого и расположен двухполостный гиперболоид.

Рисунок 6

Эллипсоид, гиперболоид и параболоид вращения представляют собой поверхности второго порядка.

Однополостный гиперболоид вращения (см. рис. 2) образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси. Как было показано выше, однополостный гиперболоид вращения является линейчатой поверхностью.