Zaochniki_nachertalka / Материалы по Начертательной геометрии / начертательная геометрия лекции / Развертка пирамидальных и конических поверхностей

Развертка пирамидальных и конических поверхностей

Разверткой поверхности называют плоскую фигуру, получаемую при совмещении поверхности с плоскостью. При развертывании поверхности на плоскости каждой точке поверхности соответствует единственная точка на развертке; линия поверхности переходит в линию развертки; длины линий, величины плоских углов и площадей, ограниченных замкнутыми линиями, остаются неизменными. Теоретически точно развертываются только гранные поверхности, торсы, конические и цилиндрические поверхности.

Обычно при развертывании конические и цилиндрические поверхности общего вида аппроксимируют вписанными в них гранными поверхностями. Такие развертки приближенно соответствуют натуре.

Развертки пирамидальных и конических поверхностей строят способом треугольников - триангуляции (рис. 1, а). Этот метод сводится к построению истинных величин треугольных граней, из которых состоит пирамида или которыми заменяют развертываемую коническую поверхность.

Рисунок 1

На рис. 1, б построена развертка пирамиды SABC, усеченной фронтально проецирующей плоскостью Σ. Чтобы получить развертку боковой поверхности пирамиды, вначале строят натуральную величину боковых ребер. В данном случае они построены способом прямоугольных треугольников. В качестве одного катета взято превышение точки S над точками А, В и С, а второго - горизонтальные проекции ребер. Гипотенузы S2A*, S2B* и S2C* дают натуральную величину боковых ребер. Так как основание пирамиды расположено горизонтально, то на плоскости П1имеем истинную его величину. Каждую треугольную боковую грань на развертке (на рис. 1, б) строят по трем известным сторонам. Натуральную величину расстояний точек D, E и F сечения пирамиды от вершины S (отрезки S2D*, S2E* и S2F*) определяют, как показано на рис. 1,а, и откладывают от точки S' на развертке. После построения развертки

боковой поверхности усеченной части пирамиды необходимо пристроить к ней треугольники А'В'С' иD'E'F', дающие натуральную величину основания и сечения пирамиды.

Рисунок 2

На рис. 2, а способом триангуляции построена развертка конической поверхности, которая заменена поверхностью вписанной в нее двенадцатиугольной пирамиды. Развертка (рис. 2, б) представляет собой симметричную фигуру. Осью симметрии служит образующая S'O'. Натуральные величины образующих определены с помощью метода прямоугольных треугольников, как это было сделано в предыдущем примере. Развертка состоит из примыкающих друг к другу треугольников с общей вершиной S'. Каждый из треугольников строят по трем сторонам, при этом две стороны равны натуральным величинам образующих, а третья - хорде, стягивающей дугу окружности основания между соседними точками деления. Построенные на развертке точки соединяют плавной кривой. На развертке поверхности нанесена точка М с помощью образующей S7.

Рисунок 3

Развертка конической поверхности вращения (рис.3, а) представляет собой сектор круга, имеющий радиус, равный длине образующей конуса, и длину дуги, равную длине окружности его основания (рис. 3, б).Угол при вершине сектора

α = ( R / l ) 360°,

где R -радиус окружности основания; l -длина образующей.

Здесь коническая поверхность условно заменена поверхностью вписанной в нее правильной двенадцатигранной пирамиды, а для построения развертки применен cпособ триангуляции.