8. Несобственные интегралы 1 рода: определение, понятие сходимости, признак сравнения.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна при х > а. Тогда интеграл имеет смысл при любомb > a и является непрерывной функцией аргумента b. Если существует конечный предел

то его называют несобственным интегралом 1-го рода от функции f(x) на интервале и обозначаютТаким образом, по определению

При этом говорят, что несобственный интеграл существует или сходится. Если же не существует конечного предела (1), несобственный интеграл не существует или расходится.

Геометрической интерпретацией несобственного интеграла 1-го рода является площадь неограниченной области, расположенной между графиком функции y=f(x) , прямой х = а и осью Ох (рис. 1).

Рис. 1

Замечание. Аналогичным образом можно определить и несобственные интегралы 1-го рода для других бесконечных интервалов:

В частности, последний интеграл существует только в том случае, если сходятся оба интеграла, стоящие в правой части равенства.

Часто достаточно бывает только установить сходимость или расходимость несобственного интеграла и оценить его значение.

Лемма.

Если на интервале то для сходимости интеграла

необходимо и достаточно, чтобы множество всех интегралов было ограничено сверху, то есть чтобы существовала такая постояннаяc > 0, чтобы выполнялось неравенство

Доказательство.

Рассмотрим функцию и покажем, что в условиях леммы она монотонно возрастает наДействительно, при

так как при

Следовательно, функция g(b) монотонно возрастает и ограничена сверху, поэтому она имеет конечный предел при что по определению означает существование интеграла

Теорема 1 (признак сравнения). Пусть

Тогда:

1)если интеграл сходится, то сходится и интеграл

2)если интеграл расходится, то расходится и интеграл

Доказательство.

Из условия теоремы следует, что Поэтому, если интегралы

ограничены сверху (по лемме), то сверху ограничены и интегралы следовательно,

сходится (по той же лемме). Если же интеграл расходится, то, если бы интеграл

сходился, то по ранее доказанному должен был бы сходиться, что противоречит сделанному предположению. Значит, в этом случаерасходится. Теорема полностью доказана.

Следствие.

Пусть и существует конечный или бесконечный предел

Тогда

а) если интеграл сходится ито сходится и интеграл

б) если интеграл расходится ито интегралтоже расходится.

В частности, если k = 1, то есть функции f(x) и φ(х) эквивалентны при то интегралы

сходятся и расходятся одновременно.

При применении признака сравнения удобно сравнивать подынтегральную функцию с функцией

для которой сходимость или расходимость соответствующего несобственного интеграла легко установить непосредственно. Пусть тогда

При α = 1

Следовательно,

сходится при α > 1 и расходится при α < 1.

9. Абсолютная сходимость несобственных интегралов 1 рода.

Несобственный интеграл

называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл

Функция f(x) называется при этом абсолютно интегрируемой на

Признак абсолютной сходимости несобственного интеграла (критерий Коши) – без доказательства.

Для того чтобы абсолютно сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любогоε > 0 существовало такое η, что при η’ > η, η’’ > η

Теорема 2. Если интеграл абсолютно сходится, то он сходится и в обычном смысле.

Доказательство.

Согласно критерию Коши

Следовательно, существует конечный предел то есть рассматриваемый интеграл сходится.