ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Казанский (приволжский) федеральный университет»
ИВМиИТ (ВМК)
КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ
СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА НА ТЕМУ:
«Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод прогонки»
Работу выполнил:
студент 3 курса 09-315 группы
Халиков Роман Радиевич.
Работу проверила:
Глазырина Людмила Леонидовна.
“___”_______________ 2015 г.
______________
(подпись)
Казань
2016
Оглавление
Постановка задачи 3
Решение задачи 4
Листинг программы 10
Список используемой литературы. 12
Постановка задачи
Дана система линейных уравнений следующего вида:
Необходимо
найти значения
Для проверки точности решений системы
линейных уравнений используется
следующее отношение:
.
Решение задачи
Дано:
Найдем значения функций:
Полученное
значение
:
Для решения системы используем метод прогонки.
Рассмотрим метод прогонки для решения системы линейных уравнений вида:
Вычисляем
по формуле прогонки:
Таким образом, получаем равенство:
Сравнивая формулы прогонки и последнее равенство, получим рекуррентные формулы для вычисления коэффициентов прогонки:
Если
из первого уравнения системы
выразим
,
то можно найти
и
:
Зная
,
найдем все остальные
.
Вычисление всех коэффициентов прогонки
называется прямым методом прогонки.
Необходимо
вычислить все
по формуле
для
Для этого понадобится значение
,
которое мы получим исключением
из
последнего уравнения системы:
.
Данные вычисления называются обратным ходом метода прогонки. Данный метод применим только для систем уравнений с трёхдиагональной матрицей.
Достаточным условием корректности и устойчивости метода прогонки является условие преобладания диагональных элементов в матрице, то есть должны быть выполнены следующие условия:
Проверим выполнение этих условий для решаемой системы:
Таким образом, условие устойчивости метода прогонки выполнено.
Результаты
вычислений при
:
|
i*h |
y[i] |
U(i*h) |
|y[i]-U(i*h)| |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,1 |
0,026549 |
0,023053 |
0,003496 |
|
0,2 |
0,049004 |
0,045795 |
0,00321 |
|
0,3 |
0,058641 |
0,056361 |
0,00228 |
|
0,4 |
0,055953 |
0,054644 |
0,001309 |
|
0,5 |
0,044791 |
0,044194 |
0,000596 |
|
0,6 |
0,029974 |
0,029745 |
0,000229 |
|
0,7 |
0,015926 |
0,015813 |
0,000113 |
|
0,8 |
0,0058 |
0,005724 |
0,000076 |
|
0,9 |
0,000864 |
0,000854 |
0,00001 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
Максимальное значение погрешности: 0,003496.
Ряд
1– график функции
,Ряд 2– график функции
,Ряд 3– график функции
.
Результаты
вычислений при
:
|
i*h |
y[i] |
U(i*h) |
|y[i]-U(i*h)| |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0,01 |
0,001067 |
0,00097 |
0,000097 |
|
0,02 |
0,002774 |
0,002662 |
0,000112 |
|
0,03 |
0,00486 |
0,004742 |
0,000118 |
|
0,04 |
0,007197 |
0,007078 |
0,00012 |
|
0,05 |
0,009705 |
0,009586 |
0,000119 |
|
0,06 |
0,012325 |
0,012207 |
0,000118 |
|
0,07 |
0,015013 |
0,014897 |
0,000116 |
|
0,08 |
0,017733 |
0,01762 |
0,000114 |
|
0,09 |
0,020457 |
0,020346 |
0,000111 |
|
0,1 |
0,02316 |
0,023053 |
0,000107 |
|
0,11 |
0,025823 |
0,025719 |
0,000103 |
|
0,12 |
0,028428 |
0,028328 |
0,000099 |
|
0,13 |
0,03096 |
0,030865 |
0,000095 |
|
0,14 |
0,033409 |
0,033319 |
0,00009 |
|
0,15 |
0,035763 |
0,035677 |
0,000086 |
|
0,16 |
0,038014 |
0,037933 |
0,000081 |
|
0,17 |
0,040154 |
0,040078 |
0,000076 |
|
0,18 |
0,042177 |
0,042107 |
0,000071 |
|
0,19 |
0,044079 |
0,044013 |
0,000065 |
|
0,2 |
0,045855 |
0,045795 |
0,00006 |
|
0,21 |
0,047502 |
0,047447 |
0,000055 |
|
0,22 |
0,049018 |
0,048969 |
0,000049 |
|
0,23 |
0,050401 |
0,050357 |
0,000044 |
|
0,24 |
0,051651 |
0,051613 |
0,000038 |
|
0,25 |
0,052767 |
0,052734 |
0,000032 |
|
0,26 |
0,053749 |
0,053722 |
0,000027 |
|
0,27 |
0,054599 |
0,054578 |
0,000021 |
|
0,28 |
0,055317 |
0,055301 |
0,000016 |
|
0,29 |
0,055906 |
0,055895 |
0,000011 |
|
0,3 |
0,056366 |
0,056361 |
0,000005 |
|
0,31 |
0,056701 |
0,056701 |
0 |
|
0,32 |
0,056914 |
0,056918 |
0,000005 |
|
0,33 |
0,057006 |
0,057016 |
0,000009 |
|
0,34 |
0,056983 |
0,056997 |
0,000014 |
|
0,35 |
0,056846 |
0,056865 |
0,000019 |
|
0,36 |
0,0566 |
0,056623 |
0,000023 |
|
0,37 |
0,056249 |
0,056276 |
0,000027 |
|
0,38 |
0,055797 |
0,055828 |
0,000031 |
|
0,39 |
0,055248 |
0,055282 |
0,000034 |
|
0,4 |
0,054607 |
0,054644 |
0,000037 |
|
0,41 |
0,053877 |
0,053918 |
0,00004 |
|
0,42 |
0,053065 |
0,053108 |
0,000043 |
|
0,43 |
0,052173 |
0,052219 |
0,000045 |
|
0,44 |
0,051208 |
0,051256 |
0,000047 |
|
0,45 |
0,050174 |
0,050223 |
0,000049 |
|
0,46 |
0,049076 |
0,049127 |
0,000051 |
|
0,47 |
0,047919 |
0,047971 |
0,000052 |
|
0,48 |
0,046707 |
0,04676 |
0,000053 |
|
0,49 |
0,045446 |
0,045499 |
0,000053 |
|
0,5 |
0,044141 |
0,044194 |
0,000053 |
|
0,51 |
0,042796 |
0,042849 |
0,000053 |
|
0,52 |
0,041416 |
0,041469 |
0,000053 |
|
0,53 |
0,040007 |
0,04006 |
0,000052 |
|
0,54 |
0,038573 |
0,038625 |
0,000051 |
|
0,55 |
0,037119 |
0,037169 |
0,00005 |
|
0,56 |
0,035649 |
0,035698 |
0,000049 |
|
0,57 |
0,034168 |
0,034215 |
0,000047 |
|
0,58 |
0,032681 |
0,032726 |
0,000045 |
|
0,59 |
0,031191 |
0,031234 |
0,000043 |
|
0,6 |
0,029704 |
0,029745 |
0,000041 |
|
0,61 |
0,028223 |
0,028261 |
0,000038 |
|
0,62 |
0,026752 |
0,026788 |
0,000036 |
|
0,63 |
0,025296 |
0,025329 |
0,000033 |
|
0,64 |
0,023858 |
0,023888 |
0,00003 |
|
0,65 |
0,022442 |
0,022469 |
0,000027 |
|
0,66 |
0,02105 |
0,021074 |
0,000024 |
|
0,67 |
0,019688 |
0,019709 |
0,000021 |
|
0,68 |
0,018357 |
0,018374 |
0,000018 |
|
0,69 |
0,01706 |
0,017075 |
0,000015 |
|
0,7 |
0,015801 |
0,015813 |
0,000012 |
|
0,71 |
0,014582 |
0,014591 |
0,000009 |
|
0,72 |
0,013406 |
0,013411 |
0,000006 |
|
0,73 |
0,012274 |
0,012277 |
0,000003 |
|
0,74 |
0,011188 |
0,011188 |
0 |
|
0,75 |
0,010151 |
0,010149 |
0,000002 |
|
0,76 |
0,009164 |
0,009159 |
0,000005 |
|
0,77 |
0,008228 |
0,008221 |
0,000007 |
|
0,78 |
0,007344 |
0,007335 |
0,000009 |
|
0,79 |
0,006514 |
0,006503 |
0,000011 |
|
0,8 |
0,005737 |
0,005724 |
0,000013 |
|
0,81 |
0,005014 |
0,005 |
0,000014 |
|
0,82 |
0,004346 |
0,004331 |
0,000015 |
|
0,83 |
0,003731 |
0,003715 |
0,000016 |
|
0,84 |
0,00317 |
0,003153 |
0,000017 |
|
0,85 |
0,002662 |
0,002645 |
0,000017 |
|
0,86 |
0,002206 |
0,002188 |
0,000018 |
|
0,87 |
0,0018 |
0,001783 |
0,000018 |
|
0,88 |
0,001444 |
0,001426 |
0,000017 |
|
0,89 |
0,001134 |
0,001118 |
0,000017 |
|
0,9 |
0,00087 |
0,000854 |
0,000016 |
|
0,91 |
0,000648 |
0,000633 |
0,000015 |
|
0,92 |
0,000466 |
0,000452 |
0,000014 |
|
0,93 |
0,00032 |
0,000308 |
0,000013 |
|
0,94 |
0,000208 |
0,000197 |
0,000011 |
|
0,95 |
0,000125 |
0,000116 |
0,000009 |
|
0,96 |
0,000068 |
0,00006 |
0,000008 |
|
0,97 |
0,000032 |
0,000026 |
0,000006 |
|
0,98 |
0,000012 |
0,000008 |
0,000004 |
|
0,99 |
0,000003 |
0,000001 |
0,000002 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
Максимальное значение погрешности: 0,00012.
Ряд
1– график функции
,Ряд 2– график функции
,Ряд 3– график функции
.