Составная квадратурная формула трапеций.

Квадратурная формула трапеций представляется следующим образом:

где – погрешность квадратуры, вычисляемая по следующей формуле:

Оценка погрешности:

Для получения составной квадратурной формулы представим величину в следующем виде:

где .

Погрешность составной квадратуры вычисляется по следующей формуле:

Оценка погрешности:

Отсюда видно, что погрешность составной квадратуры в раз меньше, чем погрешность обычной квадратуры. Вычислимпри помощи квадратуры трапеций:

0	0	0	0	2
0,4	0,396462	0,396461	0,00000047	64
0,8	0,772096	0,772095	0,00000077	128
1,2	1,108047	1,108047	0,00000065	256
1,6	1,389181	1,389179	0,00000173	256
2	1,605413	1,605412	0,00000045	512
2,4	1,752486	1,752485	0,0000008	512
2,8	1,832097	1,832096	0,0000012	512
3,2	1,851401	1,8514	0,00000093	512
3,6	1,821948	1,821947	0,00000043	512
4	1,758203	1,758203	0,00000071	512

Составная квадратурная формула Симпсона.

Квадратурная формула Симпсона представляется следующим образом:

где – погрешность квадратуры, вычисляемая по следующей формуле:

Оценка погрешности:

Для получения составной квадратурной формулы представим величину в следующем виде:

где .

Погрешность составной квадратуры вычисляется по следующей формуле:

Оценка погрешности:

Отсюда видно, что погрешность составной квадратуры в раз меньше, чем погрешность обычной квадратуры. Вычислимпри помощи квадратуры Симпсона:

0	0	0	0	2
0,4	0,396462	0,396462	0	2
0,8	0,772096	0,772096	0,00000012	4
1,2	1,108047	1,108048	0,00000055	4
1,6	1,389181	1,389181	0,00000027	8
2	1,605413	1,605413	0,00000042	8
2,4	1,752486	1,752486	0,00000059	8
2,8	1,832097	1,832098	0,00000066	8
3,2	1,851401	1,851402	0,00000109	8
3,6	1,821948	1,821949	0,00000113	8
4	1,758203	1,758203	0,0000006	8

Составная квадратурная формула Гаусса.

Квадратурная формула Гаусса представляется следующим образом:

где – погрешность квадратуры, вычисляемая по следующей формуле:

Оценка погрешности:

Для получения составной квадратурной формулы представим величину в следующем виде:

где .

Погрешность составной квадратуры вычисляется по следующей формуле:

Оценка погрешности:

Отсюда видно, что погрешность составной квадратуры в раз меньше, чем погрешность обычной квадратуры. Вычислимпри помощи квадратуры Гаусса:

0	0	0	0	2
0,4	0,396462	0,396461	0,00000008	2
0,8	0,772096	0,772095	0,00000084	2
1,2	1,108047	1,108047	0,00000039	4
1,6	1,389181	1,38918	0,00000048	8
2	1,605413	1,605413	0,00000011	8
2,4	1,752486	1,752485	0,00000043	8
2,8	1,832097	1,832096	0,00000086	8
3,2	1,851401	1,8514	0,00000062	8
3,6	1,821948	1,821948	0,00000001	8
4	1,758203	1,758203	0,00000021	8

Вывод.

Результаты вычислений показали, что с помощью выбранных составных квадратурных формул возможно вычисление интеграла с заданной точностью. При этом квадратурная формула Гаусса и Симпсона имеют наибольшую скорость вычисления.