Рис. 3.10. Давление жидкости на плоскую поверхность

Для определения силы гидростатического давления проинтегрируем полученное выражение по всей площади w:

где у – координата площадки dw.

Интеграл òw ydw представляет собой статический момент смоченной поверхности фигуры относительно уреза воды оси (О–X) и равен

где hc– глубина погружения центра тяжести площади w в жидкость. Т.о., сила гидростатического давления жидкости на плоскую

поверхность равна произведению площади смоченной поверхности w на сумму внешнего гидростатического давления жидкости р0 и избыточного гидростатического давления жидкости γ hc.

Чтобы иметь полное представление о силе гидростатического давления жидкости, необходимо, кроме ее величины, знать направление

41

иточку приложения этой силы, называемую центром давления уD.

Всоответствии с основным уравнением гидростатики внешнее

давление р0, действующее на поверхность жидкости, передается всем точкам площади w одинаково, поэтому точка приложения силы

внешнего гидростатического давления жидкости (р0) будет совпадать с центром тяжести фигуры.

Сила избыточного гидростатического давления распределяется неравномерно, увеличиваясь с глубиной погружения, равнодействующая этой силы будет лежать ниже центра тяжести

фигуры. На практике чаще всего встречается случай, когда р0 = рат, т.е. на фигуру действует атмосферное давление, и положение центра давления зависит только от величины силы избыточного гидростатического давления.

Установим точку приложения силы избыточного гидростатического

давления – уD. Сила гидростатического давления жидкости Р – это равнодействующая множества параллельных ей сил dР, действующих на элементарные площадки w. Используем теорему Вариньона, согласно которой момент равнодействующей силы относительно какой-либо оси равен сумме моментов ее составляющих относительно той же оси:

относительно оси 0–Х.

42

В расчетах удобнее использовать осевой момент инерции плоской фигуры (Ιxо) относительно центральной оси, для этого воспользуемся известной формулой перехода Ιx= Ιxo+yc2w, в которой момент инерции

относительно произвольной оси 0–Х равен сумме момента инерции (Ιxо) относительно центральной оси проходящей параллельно выбранной нами оси через центр тяжести фигуры, и произведению площади фигуры (w) на квадрат расстояния между ее центром и осью 0–Х (yc2). Подставляя это выражение в формулу (3.18) получим:

где S= ycw – статический момент смоченной площади относительно оси 0 –X.

Для вертикальной плоской стены, когда sinα=1:

Например, для плоской прямоугольной стенки (рис. 3.10) сила гидростатического давления будет равна:

43

т.е. центр давления на плоскую прямоугольную стенку расположен на 2/3 Н ниже уровня свободной поверхности жидкости.

собой график изменения гидростатического давления в зависимости от глубины. Эпюры давления следует строить со стороны жидкости, не забывая о направлении действия нормальных напряжений в покоящейся жидкости. Так, для плоской вертикальной прямоугольной стенки давление распределяется по закону уравнения первой степени:

р=р0+γhi если h1 =0, то p=p0,

если h1=H, то р = ро+γH. Эпюра давления будет в виде трапеции (рис. 3.12).

В случае если р0=рат давление распределяется по закону уравнения первой степени Р = γ hi если hi = 0, то р = 0, если hi = H, то р = γН. Эпюра давления будет в виде треугольника.

Следует отметить, что наклон линии зависит от величины γ. Например, для воды (γ= 98 Н/м3) эпюра избыточного гидростатического давления будет представлять собой равнобедренный треугольник с

углом 45°. Для жидкостей более Рис 3.12. Эпюра давления на наклонную

тяжелых, чем вода (например, стенку ртуть), наклон линии будет более

пологим, т, е. менее 45°. Для жидкостей более легких, чем вода (например, бензин, спирт), наклон линии будет более крутым, т.е. более

44

45o. Если стенка испытывает двустороннее давление, то по тому же принципу можно построить эпюру для вертикальной и наклонной стенок.

Таблица 3.1. Формулы для расчета момента инерции, координат центра

тяжести и центра давления, площади и силы

Для горизонтально расположенной стенки, в виде горизонтального дна сосуда, сила давления жидкости на все дно площадью w может быть определена по формуле

Эпюра давления изобразится в виде цилиндра с площадью основания и высотой Н, а сила давления будет равна весу жидкости в

45

объеме цилиндра.

Следовательно, сила избыточного гидростатического давления на дно сосуда зависит только от рода жидкости, площади дна сосуда и высоты жидкости в сосуде и не зависит от формы и объема сосуда. Это свойство жидкости известно под названием гидростатического парадокса (рис. 3.13).

Рис 3.13. Давление жидкости на дно сосуда

На практике широкое применение имеют криволинейные поверхности, находящиеся под давлением жидкости (сегментные затворы, стенки труб, резервуаров и т. д.). Для определения силы гидростатического давления жидкости рассмотрим криволинейную поверхность (рис. 3.14), выделив на элементарную площадку dw, наклонную к горизонту под углом φ. Разложим силу давления dР на две составляющие: горизонтальную dРх и вертикальную dРz. Направим ось OY параллельно образующей, а ось OZ – вертикально вниз.

Рис. 3.14. Давление жидкости на криволинейную поверхность

Значение силы давления на цилиндрическую поверхность в данном случае определяется по формуле:

где РX и Рz – горизонтальная и вертикальная составляющие силы давления.

Выделив на цилиндрической поверхности элементарную площадку

46

dw, на которую действует направленная по нормали элементарная сила dP = γdw, найдем горизонтальную dPx и вертикальную dPz, составляющие силы dP;

где dwx – проекция элементарной площадки dw на плоскость, перпендикулярную оси O-X; dwz – проекция элементарной площадки dw на плоскость, перпендикулярную оси O–Z.

Проинтегрировав формулу 3.51, получим для горизонтальной составляющей силы:

где wx – проекция всей цилиндрической поверхности на плоскость, нормальную к оси О–X, hc – глубина центра тяжести проекции wx под пьезометрической плоскостью.

Для вертикальной составляющей получим:

Интеграл γ ò zdwz представляет собой объем призмы (W) снизу ограниченной поверхностью dw, а сверху ее проекцией wz на пьезометрическую плоскость. Вертикальная составляющая численно равна весу жидкости в объеме тела давления:

47

составляющая Pz проходит через центр тяжести тела давления. Различают действительные, фиктивные и смешанные тела

давления. Если тело давления заполнено жидкостью, то оно называется действительным, если не заполнено жидкостью – фиктивным, если есть и те, и другие участки – смешанным. В случае действительного тела давления вертикальная составляющая силы давления Рz направлена вниз, у фиктивного тела давления – вверх. У смешанного тела давления вертикальные составляющие на отдельных участках будут иметь различные направления.

В общем случае точка приложения равнодействующей определяется на основе уравнения моментов. В частном случае, когда цилиндрическая поверхность в поперечном сечении имеет окружность, достаточно определить лишь угол наклона линии действия равнодействующей силы давления к горизонту, так как все составляющие и равнодействующая проходят через центр окружности 0. Угол φ может быть получен из силового треугольника

В общем случае, как правило, прибегают к графоаналитическому способу определения глубины погружения центра давления. Для этого находят глубину погружения точки приложения горизонтальной составляющей Рx и на чертеже проводят через нее горизонтальную линию. Составляющая Рz прикладывается в центре тяжести тела давления. Через эту точку проводят вертикальную линию. Находят точку пересечения этих двух линий. Линия действия суммарной силы должна проходить через найденную точку под углом φ, который определяется из треугольника сил. Центр давления находится в точке пересечения этой линии с цилиндрической поверхностью. Глубину погружения центра давления измеряют по чертежу.

Рассмотрим другой широко распространенный случай – давление жидкости на криволинейную внутреннюю стенку трубы (рис. 3.15), горизонтальная составляющая силы давления жидкости внутри трубы Px рассчитывается по формуле:

где Н – напор, под которым в трубе находится жидкость с заданной величиной ρg, d – диаметр, L – длина труб.

Обозначим гидростатическое давление как P=ρgH, тогда Px

48