Добавил:

Fairy Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Калининградский государственный технический университет

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

Linal / билет11-25.doc

Скачиваний:

Добавлен:

27.11.2016

Размер:

1.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

Уравнение плоскости проходящие через 3 точки

Поставим задачу: написать уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой. Пусть эти точки заданы своими координатами: .

Так как эти точки не лежат на одной прямой, то векторы и не коллинеарны. Тогда точка принадлежит той же плоскости, что и точки , тогда и только тогда, когда векторы , , компланарны. Это условие равносильно равенству нулю смешанного произведения этих векторов: . Это уравнение является уравнением первой степени и дает нам искомое уравнение плоскости.

Б) Решение матр уравнений вида AX=B.

AX=B

2 способа, при помощи обратной матрицы, и при помощи элементарных преобразований.

Обр матр. A(A^-1 B) =B т.е. B=B; X= A^-1. A^-1(AX)= A^-1B т.е. (A^-1A)X= X
X=(A|B) в результате (1|X);

Вывод формулы Крамера

Пусть АХ = В - система линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов, причем определитель матрицы не равен нулю. Тогда решением такой системы являются значения неизвестных , где , а - определитель матрицы, получившейся из матрицы заменой i-го столбца на столбец правых частей. Покажем, что набор чисел действительно является решением системы. Так как матрица А невырождена, то существует обратная матрица А^-1. Умножим обе части равенства АХ = В слева на А^-1, получим: . Заметим, что i-я компонента получившегося вектор-столбца - это разложение определителя по -му столбцу. Значит, . Несмотря на привлекательность формулировки, практическое значение правила Крамера невелико: чтобы найти решение системы с неизвестными, приходится вычислять определитель -го порядка. Это оправдано при или .

14)

Понятие нормального вектора

Уравнение Ax+By+Cz+D=0 называют общим уравнением плоскости. Коэффициенты при неизвестных в этом уравнении имеют наглядный геометрический смысл: Вектор n{A;B;C} перпендикулярен к плоскости.

Вывод формулы расстояние от точки ло плоскости

Рассмотрим в пространстве нектор точку K(x(k);y(k);z(k)) лежащую вне плоскости, и точку М(x(m);y(m);z(m)), которая лежит на данной плоскости, а так же вектор нормали N к заданной плоскости проходящий через точку М. Тогда расстояние будет определяться по формуле ПР(n)MK; Ax(m)+By(m)+Cz(m)+D=0; MK={x-x;y-y;z-z}

=> расстояние будет вычисляться (А(x(k)-x(m))+ B(y(k)-y(m))+ C(z(k)-z(m)))/sqrt(A^2+B^2+C^2) После раскрытия скобок и приведения подобных получаем (Ax(k)+By(k)+Cz(k))/ sqrt(A^2+B^2+C^2)

Б) Линейная зависимость и лин не зав-ть векторов (док во лин зав -ти)

Определение Векторы а1,... а_п называют линейно зависимыми, если существует такой набор коэффициентов а1,.....an, Что равенство 1

и при этом хотя бы один из этих коэффициентов ненулевой. Если указанного набора коэффициентов не существует, то векторы называют линейно независимыми.

Если a1 = ... = аn = 0, то, очевидно, a1a1 + ... + а_па_п =0. Имея это в виду, можем сказать так: векторы а1,...а_п линейно независимы, если из равенства (1) вытекает, что все коэффициенты a1,.....a_n =0.

Теорема Для того чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них являлся линейной комбинацией остальных.

Необходимость. Предположим, что векторы а1,....а_плинейно зависимы. Согласно определению линейной зависимости, в равенстве 1 слева есть хотя бы один ненулевой коэффициент, например а1. Оставив первое слагаемое в левой части равенства, перенесем остальные в правую часть, меняя, как обычно, у них знаки. Разделив полученное равенство на a1, получим

т.е. представление вектора а1 в виде линейной комбинации остальных векторов а2, .....аn.

Достаточность. Пусть, например, первый вектор а1 можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов:

Перенеся все слагаемые из правой части в левую, получим

т.е. линейную комбинацию векторов a1, ...а_п с коэффициентами а1 = 1, a2 =,бетта,... а_п = -бетта (n), равную нулевому вектору. В этой линейной комбинации не все коэффициенты равны нулю. Векторы а1,.... а_п линейно зависимы.

15)

А)Общее уравнение прямой в простр

A(1)x+B(1)y+C(1)z+D(1)=0

A(2)x+B(2)y+C(2)z+D(2)=0

Вывод ввекторного уравнения

Дано: прямая L, точка на этой прямой M(0), ненулевой еденичный вектор s.

Если точка М принадлежит прямой L, то вектор M(0)M коллинеарен вектору s. Т.к. s!=0, то вектор s явл базисом в простр V(1) коллинеарн ему векторов. Поэтому для некоторого числа t выполняется M(0)M=ts. Т.к. M(0)M = OM-OM(0)=r-r(0). Где r и r(0) –радиус векторы точек M и M(0) соотв, то усл M€L можно записать r = r(0)+ts.

Параметричесок уравнение

В пространстве положим что изв координаты {l,m,n} напр вектор s прямой L и точки М(0)(x0,y0,z0)€L в прямоугольн сит корд. Обозначми через (x,y,z) корд точки М.

Критерий принадл точки М прямой L явл условие колинеарности векторов M(0)M = {x-x0;y-y0;z-z0} и s. Что равносильно пропорц их координат. Обозначим через t коэффициент пропорциональности, получим равенства x-x0=tl, y-y0=tm, z-z0=tn тогда:

x=tl+x0

y=tm+y0

z=tn+z0

Канонические уравения прямой

Из параметрических уравнений можно искл параметр t и записать рез-т в виде:

(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n.

Б)

Минор – в матр А вычеркиваем i-ю строку и j-й столбец, в которых стоит элемент a(i,j). Из оставшихся элементов можно составить новую квадр матр (n-1) порядка сдвинув строки и столбцы после вычеркивания.

Базисный минор – минор который выполняет 2 условия: он не равен 0, его порядок равен рангу матр А.

Доказательство баз минора

Т: Базисные столбцы матр А, соотв любому ее базисн минору М, линейно независимы. Любые столбцы матр А, не входящие в М, явл линейными комбинациями базистных столбцов.

Д: Пусть ранг матр А= (a_ij)_mxn=r . Докажем, что базисные строки линейно независимы. Предположим , что они линзав. Тогда по теор о «лин зависим» одна из них явл лин комб ост базисных строк. Тогда минор М =0. Это противоречит тому что минор М базисн.

Докажем что любая строка не вход в баз минор явл лин комб баз строк. М расположен в левом верхнем углу. Покажем что опред порядка r+1 получ добавл к минору М элемен i-й строки и произв j-го столбца матр А равен 0. При j<=r опред =0, так как он содержит 2 одинак столбц. Если же j<r , то табл1=0, так как в этом случ табл1 явл минором матр А, порядок которого = r+1 и больше ран га матр. Раскл опр табл1 по посл столбцу:

Таблица 1

a11	…	a1r	a1j
…	…	…	…
ar1	…	arr	arj
ai1	…	air	aij

A(1,r+1)a(1,j)+A(2,r+1)a(2,j)+…+ A(r,r+1)a(r,j)+A(r+1,r+1)a(i,j)=0

Алгебр дополнения не зависят от параметра j. Кроме того А(r+1,r+1)=М!=0. Поэтому из посл равенства => для всех j=(1,n)

a(i,j)=b(1)a(1,i)+b(2)a(2,j)+…+b(r)a(r,j), где b(k)=-A(k,r+1)/A(r+1,r+1) k=(1,r) не зависят от j. т.е. i-я строка матр А явл лин комбин первых r ее строк.

Однородные СЛАУ Док о структуре общ реш СЛАУ

СЛАУ свободные член у которой =0.

Теорема

Если столбцы

решения

однородной СЛАУ Ах = 0, то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.

< Рассмотрим любую линейную комбинацию данных решений:

Тогда

^т-е. столбец х является решением однородной СЛАУ.

Следствие Если однородная СЛАУ имеет ненулевое Решение, то она имеет бесконечно много решений.

16)

А) Условие параллельности и перпендик 2-х прямых в пространстве

1. Если скалярное произведение двух векторов = 0 то векторы перпендикулярны

2. если векторное произведение 2-х векторов =0 то векторы параллельны

Вывод формулы между 2-мя простр прямыми

Cos(AB,AC) = (X_AB*X_AC+Y*Y+Z*Z)/sqrt(X_AB²+Y²+Z²)*sqrt(X_AC²+Y²+Z²)

Сам вывод нигде не нашел

Условие принадлежности 2-х прямых одной плоскости

2 прямые принадлежат плоскости только в том случае если эти прямые компланарны.

Скрещивающиеся прямые

Б) Базисный минор – минор который выполняет 2 условия: он не равен 0, его порядок равен рангу матр А.

Таблица 2

a11	…	a1r	a1j
…	…	…	…
ar1	…	arr	arj
ai1	…	air	aij

A(1,r+1)a(1,j)+A(2,r+1)a(2,j)+…+ A(r,r+1)a(r,j)+A(r+1,r+1)a(i,j)=0

Алгебр дополнения не зависят от параметра j. Кроме того А(r+1,r+1)=М!=0. Поэтому из посл равенства => для всех j=(1,n)

Метод окаймления

Минор М матр А называется окаймляющим для минора М, если он получается из последнего добавлением одной новой строки и одного нового столбца матр А.

Метод: Выбираем не нулевой минор первого порядка . К очередному не нулев минору послед прибавляем таки столбец и строку, чтобы новый окаймляющ минор был не 0. Если этого сделать нельзя то послед не 0 минор будет базисным.

Т: если для некоторого минора матр все окаймляющие его миноры =0, то он явл базисным.

Ранг матрицы равн максимальному не 0-му минору.

17)

А)

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Перпендик: Нормальный вектор плоскости и направл вектор прямой коллинеарные.

Парал: Нормальный вектор плоскости и направл вектор перпендикулярны

Вывод формулы для вычисления угла между простронст прямой и плоск

L: x/l=y/m=z/n

Пл Ax+By+Cz+D=0

Sin(фи) = (Al+Bm+Cn)/(sqrt(A^2+…)*sqrt(l^2+…..))

Условие принадлежности прямой заданной плоскости

Если 2 точки заданной прямой лежат в заданной плоскости, то прямая принадлежит заданной плоскости

Б)

Ранг и базисный минор матрицы

Ранг: Максимальный не нулевой минор матрицы.

Базисный минор – минор который выполняет 2 условия: он не равен 0, его порядок равен рангу матр А.

Доказательство баз минора

Таблица 3

a11	…	a1r	a1j
…	…	…	…
ar1	…	arr	arj
ai1	…	air	aij

A(1,r+1)a(1,j)+A(2,r+1)a(2,j)+…+ A(r,r+1)a(r,j)+A(r+1,r+1)a(i,j)=0

Алгебр дополнения не зависят от параметра j. Кроме того А(r+1,r+1)=М!=0. Поэтому из посл равенства => для всех j=(1,n)

18)

Вывод формулы (расстояние между двумя скрещ прямыми)

Если прямые скрещив то напр векторы коллинеарные.

Рисунок нарисовать самим… (2 скрещ прямые, перенести одну прямую до пересечения с первой. Подсчитать их векторное произведение. Нарисовать. Нарисовать 2 плоскости парал YOZ

D= ПР(mxn)MN= (MN)*(mxn)/sqrt(mxn)

mxn

d M

n’

m N

Б) Однородные СЛАУ Док о структуре общ реш СЛАУ

Теорема

Если столбцы

решения

однородной СЛАУ Ах = 0, то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.

< Рассмотрим любую линейную комбинацию данных решений:

Тогда

^т-е. столбец х является решением однородной СЛАУ.

Следствие Если однородная СЛАУ имеет ненулевое Решение, то она имеет бесконечно много решений.

Базисный минор - минор который выполняет 2 условия: он не равен 0, его порядок равен рангу матр А.

Теорема о базисн миноре - Базисные столбцы матр А, соотв любому ее базисн минору М, линейно независимы. Любые столбцы матр А, не входящие в М, явл линейными комбинациями базистных столбцов.

19)

А)Определение Эллипса – множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F и F есть величина постоянная.

2с – фокальное расстояние, 2а – большая полуось.

2с=F(1)F(2)<2a; F(1)M+F(2)M = 2a “”1””; F(1)(c;0); F(2)(-c;0) подставим в “1”

1.2.

3.4.5.

Б) Обратная матрица – Пусть А- квадр матрица порядка n . Квадратной матрицу В называют обратной к А, если АВ=ВА=1.

Д: Предположим, что матр А имеет две обратные матр В и В' . Тогда, согласно опр обр матр, выполнены, в частн, равенства АВ'=1 и ВА=1 используя ассоциативность: В=В1=В(АВ')=(ВА)В' = 1В'=В' => матр совпали.

(A-1)t=(At)-1

Т: Если матрица А порядка n имеет обратную, то и транспонированная матрица At имеет обратную.

Д:Нужно убедиться что Аt(A-1)t =1 и (A-1)t Аt =1. Используя св-во произв матриц относ операц транспонир: At(A-1)t=(A-1A)t=1t=1; (A-1)tAt=(AA-1)t=1t=1.

20)

А)Гипербола – геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная.

1.2.

3.После упрощения получим

4.5. где Возведем в квадрат вторично и снова приведем подобные:

Б) Совместность СЛАУ (Док-во критерия совместн)

СЛАУ совместна если она имеет какие либо решения.

называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ , а матрицу

расширенной матрицей СЛАУ .

Т: Для совместности СЛАУ Ах = b необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы А был равен рангу ее расширенной матрицы (А|b).

Необходимость. Достаточно показать, что ранг матрицы А системы не меньше ранга ее расширенной матрицы (A|b). Если система совместна, то, записывая ее в векторной форме, делаем вывод, что существуют такие значения неизвестных х1,.... хn Для

Которых где а, — столбцы матрицы А, b — столбец свободных членов. Это означает, что последний столбец b в расширенной матрице системы является линейной комбинацией остальных столбцов. Выберем базисный минор матрицы А. Он содержит строки с номерами 1, 2, к и столбцы с теми же номерами, т.е.

Согласно теореме о базисном миноре, базисные столбцы линейно независимы, в то время как для каждого j > к существуют такие

Поэтому столбец

является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы А. Это означает, что М является также базисным минором и в расширенной матрице (во-первых, он ненулевой; во-вторых, если взять какой-либо окаймляющий минор М', то либо он будет минором матрицы А, т.е. нулевым, либо он будет содержать столбец b и, следовательно, не может быть ненулевым, так как его столбцы линейно зависимы). Поэтому Rg(A|b) = RgA.

Достаточность. Пусть Rg(A|b) = RgA. Выберем в А базисный минор М (как и выше). Тогда он будет базисным и в матрице (A|b). Значит, столбец b можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов а1,... а(k)

1.2.

3.=> СЛАУ совместна.

21)

Определение параболы как геометрическое место точек.

Параболой называется геометрическое место точек M(x, y) плоскости, для которых расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.

Вывод канон уравн:

. После возведения в квадрат получим

Доказательство существования ненулевых решений однородной СЛАУ.

ФСР Однор СЛАУ

Любой набор из k=n-r лин независ столбцов, явл решениями однородной СЛАУ Ax=0, где n – количество неизвестных в системе , а r –ранг ее матрицы А.

Теорема

Если столбцы

решения

однородной СЛАУ Ах = 0, то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.

< Рассмотрим любую линейную комбинацию данных решений:

Тогда

^т-е. столбец х является решением однородной СЛАУ.

Следствие Если однородная СЛАУ имеет ненулевое Решение, то она имеет бесконечно много решений.

Д: Если х – ненулевое решение однородной слау, то для любого λ€R решением однородной СЛАУ является и λx.

22)

Б)

Базисный минор - ненулевой минор максимального порядка.

Т(о базистном миноре) - Порядок базисного минора равен рангу матрицы.

23)

Б) Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Пусть дана система линейных уравнений с квадратной матрицей, т.е. количество уравнений равно количеству неизвестных. В матричном виде эту систему можно записать . Если матрица невырождена, т.е. ее определитель не равен нулю, то существует обратная матрица , и тогда ⟹. Мы получили решение такой системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы и заодно показали единственность решения такой системы.

Связь обратной матрицы с присоединенной

Мы уже заметили, что если определитель матрицы равен нулю, то она не имеет обратной. Оказывается, что если определитель матрицы не равен нулю, то она имеет обратную матрицу. Мы сейчас ее построим. Составим сначала матрицу из алгебраических дополнений: . Затем транспонируем эту матрицу:. Получившаяся матрица называется присоединенной. Умножим на :,так как . Тогда .

24)

Б)Доказательство о структуре общего решения однородной СЛАУ

Теорема 9.5. Если x^¹, x^k — произвольная фундаментальная система решений однородной СЛАУ Ах = О, то любое ее решение х можно представить в виде

где С1,....Ck — некоторые постоянные.

Эту теорему называют теоремой о структуре общего решения однородной СЛАУ. Это вызвано тем, что, при заданной фундаментальной системе решений х^1..... X^^к однородной СЛАУ выражение

рис(9.9)

где C1,.... Ck принимают произвольные значения, описывает все множество решений. Соотношение называют общим решением однородной СЛАУ.

Д: Пусть некоторое решение однородной СЛАУ Ах = 0 имеет вид рис (9.10)

Не ограничивая общности, опять будем предполагать, что базисный минор матрицы А сосредоточен в верхнем левом углу, т.е. в первых г строках и столбцах. Тогда рассматриваемая однородная СЛАУ имеет те же решения, что и система

которую можно записать в виде

Эта система, рассматриваемая как СЛАУ относительно базисных неизвестных х1..., х(r), имеет невырожденную матрицу, так как ее определитель совпадает с базисным минором матрицы А исходной СЛАУ (матр mxn). Решая систему относительно базисных неизвестных (например, с помощью формул Крамера), получаем соотношения

рис(9.14)

Где aij принадлежит R — некоторые числа. Запишем фундаментальную систему решений x^¹,.... х^k в координатной форме:

и составим из столбцов x, x^¹,.....x^k матрицу

Последние к столбцов матрицы В образуют фундаментальную систему решений и, согласно определению, линейно независимы, а так как ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов, то RgB >= к. Покажем, что Rg В <= к. Так как столбцы матрицы В являются решениями системы Ах = 0, их элементы удовлетворяют соотношениям (9.11), т.е.

(рис 9.12)

где i = (0, r). Вычтем из первой строки матрицы В линейную комбинацию последних к=n-r строк с коэффициентами a(1,r+1).....a(1n). Тогда, согласно первому равенству из (9.12),получим нулевую строку. Аналогично преобразуем строки 2-ю, r-ю, используя оставшиеся равенства (9.12). В результате этих преобразований мы получим матрицу, у которой первые г строк нулевые. Так как при этом ранг матрицы не меняется, то RgВ<=п-r=к.

Поскольку RgB=к, а последние к столбцов матрицы В, как уже отмечалось, линейно независимы, то, они являются базисными и, следовательно, первый столбец x

согласно о базисном миноре, является их линейной комбинацией. Это означает, что существуют такие постоянные Ci(i = (1, к)), что выполнено равенство (9.9).

25)

Цилиндрическая поверхность

Представляет собой множество точек на прямых, параллельных фиксированной прямой. Эти параллельные прямые называются образующими цилиндрической поверхности.

Канонической урвавнение цилиндрич поверх 2-го порядка.

Это цилиндрическая поверхность, направляющая которой в плоскости, перпендикулярной образующей, представляет собой кривую 2-го порядка.

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0;

Б)

ФСР Однор СЛАУ

Доказательство теор о стр-ре общего решения однородной СЛАУ