Добавил:

cranberries Берегите себя и своих близких. По всем вопросам - пишите в мой вк, помогу чем смогу. Всем УЗС привет! Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет путей сообщения

Предмет:

Высшая математика

Файл:

ДЗ первый курс / met_vm

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2016

Размер:

541.97 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

p = -

1 + x

Это линейное уравнение, решаем его методом Бернулли: p = u(x) × v(x),

ìdu

v = 0

ïdx

1 + x

v dx = -

1 + x

Решаем первое уравнение системы

= -

dx; Þ ln

= - ln

1 + x2

; Þ v =

+ x

1 + x

Тогда

= -

; откуда du = -2dx, u = -2x + C1.

1 + х2 dx

1 + x2

Итак, р(х) = (-2х + С1)

1 + х2

- 2x + C1

Возвращаясь

переменной у,

получаем

. Определим

1 + x

C1 из начального условия у′(0) = 1

1 =

- 2 × 0 + С1

;

Þ С1

= 1.

1 + 02

Итак,

1 − 2x

. Интегрируя, находим у:

+ x

у = ò

1 − 2х

dx = ò

- ò

2xdx

;

1 + x2

1 + х2

у = arctgx - ln(1 + x2 ) + C2 .

C2 определяем из начального условия у(0)=1:

1 = arctg0 - ln(1 + 02 ) + C2 откуда C2 = 1.

Окончательно,

у = arctgx - ln(1 + x2 ) + 1.

Задача 8. Найти общее решение уравнения второго порядка уу¢¢ - 4 = -(у¢)2 .

Решение. Это уравнение не содержит в явном виде х, поэтому делаем за- мену у′ =р(у) . Тогда у¢¢ = dp(y)dx = dpdy dydx = p dpdy . Уравнение принимает вид:

py dpdy - 4 = -p2 .

Получили уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными

= 4 - p2

;

pdp

Þ ò

pdp

= ò

4 - p

= ln

4 - p

= ln

Þ 4 - p

4 -

Þ p = ±

4y2 - C1

Поскольку p =

, то

= ±

4y2 - C1

, или

ydy

= ±dx.

4y2 - C1

Интегрируя последнее уравнение, находим:

ydy

= C2 + x

= x + С2 , или ±

4y2 - C1

Отсюда y = ±

C1 ± 2(C

2 ± x)

Задача 9. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения

(ЛНДУ) с постоянными коэффициентами у¢¢ - 7у¢ + 10у = е2х .

Решение.

Как известно это решение является суммой общего решения

однородного уравнения уо.о. и частного решения неоднородного уч.н. Запи- шем соответствующее однородное уравнение:

у′′ − 7у′ + 10у = 0 .

Его характеристическое уравнение имеет вид :

к 2 − 7к + 10 = 0.

к1,2	=	7 ±	49 - 40	=	7 ± 3	; к1 = 2; к 2 = 5.
		2			2

В соответствии с корнями характеристического уравнения записываем общее решение однородного уравнения:

уо.о. = С1е2х + С2е5х.

Частное решение однородного уравнения будем искать в виде

уч.н. = Ахе2х ,

где А - коэффициент, подлежащий определению (множитель х появился из-за того что множитель 2 в показателе экспоненты является простым корнем характеристического уравнения). Для определения коэффициента А, найдем

у′ч.н. и у′ч′ .н. и подставим их в исходное ДУ:

10	уч.н. = Ахе2х .
- 7	у¢ч.н. = Ае2х + 2Ахе2х .

1у¢ч¢ .н. = 2Ае2х + 2Ае2х + 4Ахе2х .

10Ахе2х − 7Ае2х − 14Ахе2х + 4Ае2х + 4Ахе2х = е2х

	- 3Ае2х = е2х ; Þ - 3А = 1; Þ А = -	1
	- 3Ае2х = е2х ; Þ - 3А = 1; Þ А = -	3
		3

Итак, у = С1е2х + С2е5х - 13 хе2х.

Задача 10. Найти частное решение ЛНДУ 2-го порядка у′′ + 4у = 8 cos2x , удовлетворяющее начальным условиям у(0) = 0; у′(0) = 1.

Решение. Общее решение этого уравнения равно у = уо.о. + уч.н. Найдем

общее решение однородного уравнения

у¢¢ + 4у = 0 Þ к 2 + 4 = 0 Þ к1,2 = ±2i yo.o. = C1 cos2x + C2 sin 2x

Число ri является корнем характеристического уравнения, поэтому част- ные решения ЛНДУ ищем в виде:

уч.н. = х(А sin 2x + B cos 2x),

где А и В - коэффициенты подлежащие -определению. Их находят под- ставляя уч.н. и ее производные в исходное уравнение:

4 уч.н. = х(А sin 2x + B cos 2x),

0у′ч.н. = А sin 2x + B cos 2x + х(2А cos 2x - 2Bsin 2x)

1у′ч′ .н. = 2А cos 2x - 2B sin 2x + 2А cos 2x - 2Bsin 2x +

+ x(−4Аsin 2x − 4Bcos2x)

4x(A sin 2x + B cos2x) + 4A cos 2x − 4B sin 2x − 4x(A sin 2x + B cos2x) =

= 8 cos2x

Отсюда 4Acos2x - 4Bsin2x = 8cos2x.

Сравнивая коэффициенты при sin2x в правой и в левой частях, а затем при cos2x, получаем:

4A=8 Þ А=2; -4B=0 Þ B=0.

Итак,

уч.н. = 2х sin 2x .

Общее решение ЛНДУ имеет вид:

у = С1 cos2x + C2 sin 2x + 2x sin 2x.

Постоянные С1 и C2 находим из начальных условий :

у(0) = 0 Þ С1 = 0

у′ = -2С1 sin 2x + 2C2 cos2x + 2 sin 2x + 4x cos2x у¢(0) = 2С2 = 1; Þ С2 = 12

Таким образом, искомое решение имеет вид:

у = (2x + 21) sin 2x

Задача 11-12. Найдем общее решение системы линейных уравнений ме- тодом исключения:

ìdx

= -3x

- y

dt = x - y

Решение.

Из

второго

уравнения системы

х =

у +

d 2y

Подставляя эти выражения в первое уравнение, получаем

d2y

+ 3у +

у = 0 или

d2y

+ 4

+ 4у = 0.

Характеристическое уравнение: к2 + 4к + 4 = 0.имеет один двукратный

корень к= -2. Поэтому у = (С1 + С2t)e− 2t

Найдем

= С2e- 2t - 2(C1 + С2t)e-2t .

Тогда

х = С2e−2t - (C1 + С2t)e−2t ; х = (С2 - C1 - С2t)e−2t

Итак,

-2t

- C1 - С2t)e

ïх = (С2

-2t

+ С2t)e

îу = (C1

(Система уравнений в задаче №12 может быть решена таким же мето-

дом).

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ «Дифференциальные уравнения»

2х 1 - у2 dx + ydy = 0;

xy¢ = y ln

;

y(1) = 1;

y¢ -

y =

; y(1) = 1;

2xy¢y¢¢ = (y¢)2 + 1;

9) y¢¢ + 3y¢ = 3хе− 3х;

ìdx

= 4y + x

;

11) í dt

= x

+ y

î dt

1)	х3y¢ + y = 7;
	y¢ = е-			у
					+	y
3)				х			;	y(1) = 0;
						x
		1
5)	y¢ -		y = х2;					y(1) = 0,5;

		x

7)y¢¢ - ху-′1 = х(х - 1); у(2) = 1;

у¢(2) = -1;

9) y¢¢ - 6y¢ + 9у = х2 - х + 3;

	ìdx		= х - 2y
	ï
11)			;
	í dt
	ï	dy	= x - y

	î dt

Вариант 1

2) ey (1 + x2 )dy = 2x(1+ ey )dx; 4) y¢ - yx = x2 ;

6) 2(y¢ + xy) = (x - 1)exy2 ;

8) 2уу¢¢ - 3(у¢)2 = 4у2 ; у(0) = у¢(0) = 1; 10) у′′ + 4у = sin x; у(0) = у′(0) = 1;

ìdx = 2y - 3x 12) ï dt .

íï dy = y - 2х

î dt

Вариант 2

2) (1 + у2 )dх = xуdу;

4) y¢ + y cos x = 21 sin 2x; 6) хy¢ + y = 2y2 ln x;

8) уу¢¢ = 2(у¢)2 ;

10) у′′ + 1у = −24 sin 4x;

ì dx = х + 5y 12) ï dt .

íïdy = -х - 3y

î dt

1) х2dу + (y - 5)dх = 0;

3)	xy¢ = y ln			y	+ у; y(1) = е;

				x
5)	y¢ cos2 x + y = tgx; y(0) = 0;
7)	y′′x ln x = y′;
9)	y′′ − 8y′ + 12у = −65cos4x;
	ìdx		= x - z
	ï
			;
11) í dt
	ï	dz	= z

	î dt

1) (х2 + х)dу = (2у + 1)dх;

3)xdy = (y + x2 + y2 )dx; y(1) = 0;

5) (9 + х2 )y¢ + хy = 1;

7) y′′tgx = y′ + 1;

9) y¢¢ - 2y¢ + у = х3;

	ìdx		= 4х - у
	ï
11)			;
	í dt
	ï	dy	= x + 2y

	î dt

1) y¢ = ех−2у;

3)(y + x2 + y2 )dx - xdy = 0; y(1) = 0;

5) y¢ -	1	y =	1	; y(1) = 2;

	x		1 - х2

Вариант 3
2) x2у2y¢ + 1 = у;
			х	3
				у = (x2 + 1)		;
4) y¢ -					2
		х2 + 1

6) y¢ - xy + y3e- x2 = 0;
8) у¢¢ = у¢еу ;				у(0) = у¢(0) = 1;
10) у¢¢ - у = 8ех; у(0) = 2; у¢(0) = 4;
ìdx			= 3x + у
ï
				.
12) í dt
ï	dy		= х + 3у

î dt
Вариант 4

2)	(e2х + 5)dy + уe2хdx = 0;
4)	y¢ - ytgx = sin2 x;
6)	хy¢ - y = -y2 (ln x + 2) ln x;
8)	уу¢¢ - (у¢)2 = 0;			у(0) = 1; у¢(0) = 2;
10) у′′ + у = 2 cos x;				у(0) = 1; у′(0) = 0;
	ìdx		+ 3х + 4у = 0
	ï
				.
12) í dt		dy
	ï
			dt = 2х + 5
	î

Вариант 5

2) х4 - у2 dх + у1 + х2 dу = 0; 4) y¢ - yx = x sin x;

6) (1 - х2 )y¢ - xy = 2xy2;


7)	y¢¢ +				у¢		= х; у(1) = у¢(1) =1;
					х

9)	y′′ − 3y′ = х; у(0) = 0; у′(0) =1;
		ì		dx		= x - у

11)		ï		dt			;
		í
		ï	dy		= 4x - 3y

		î dt

8) уу¢¢ + (у¢)2 - (у¢)2 = 0;

10) у′′ + 25у = cos5x;

ìdx = 2x + 5у 12) ïídydt .

ï = 5х + 2у

î dt

Вариант 6

1) х + ху = −(у + ху)у′;
	xydy - y2dx = (x + y)2 e-					у
3)	xydy - y2dx = (x + y)2 e-					х dx;
	y(e) = 1;
5)	t	2 ds			= 2ts - 3; s(-1) = 1;
5)	t			dt	= 2ts - 3; s(-1) = 1;
				dt
7)	3y¢y¢¢ = еу;
9)	y′′ + 4y = cos 2х;
		ì dx			= 6х - у
		ï			= 6х - у
11)		ï			;
11)		í dt			;
		ï	dy		= 3x + 2y
		ï
		î dt

2) 2у¢х = у;

4) y¢ + x y+ 1 = sin 2x; 6) 3(хy¢ + y) = y2 ln x; 8) ху′′ ln x = у′;

10)	у¢¢ - 3у¢ = 3(2 - х2 ); у(0) = 0; у¢(0) = 1;
	ìdx		= 2х + 3у
	ï
12)			.
	í dt
	ï	dy	= 5х + 4у

	î dt

Вариант 7

1) tgх sin2 ydx + cos2 xctgydy = 0;

3)(x2 - 3у2 ) + 2хуy¢ = 0; y(2) = 4;

5) y¢ -	1	y = х sin x; y(p) = 0;

	x

7)y′′ + y′tg[= sin 2x + 1; y¢(0) = 0; y¢(0) - 1;

9) y¢¢ + y¢ - 6у = хе2х;

2)	у¢у	1- х					2		+ 1= 0;

		1- у					2

4)	y¢ +			у			= ln x;
		3		+ х

6)	уy¢ +		1		у	2		= sin x;
			2

8) у¢¢ = (у¢)−2 ;

10) у′′ + 4у = sin x; у(0) = у′(0) = 1;

ì dx

= x + 2у

ìdx

= 3x + 2у

;

11) í dt

12) í dt

= 3x + 6y

= 2х + 3у

î dt

Вариант 8

2ху¢ + y2 = 1;

2) у(4 + eх )dy - eхdx = 0;

2x3y¢ = y(2х2 - у2 ); y(1) = 1;

4) хy′ + у = x sin x;

y¢ -

y = х3

+ 2;

y(1) =

; 6) y¢ + 4x3y = 4y2e4x (1 - x3);

y¢¢у5 + 2 = 0; у(0) = у¢(0) =1;

8) ху¢¢ - у¢ = х2ех;

y′′ + 2y′ + 5у = 4 sin х;

10) у¢¢ + у¢ = ех;

у(0) = у¢(0) = 1;

ìdx

= -у - 2z

ì dx

= x - у

;

11) í dt

12) í

= 3y + 4z

= 2y - 2х

î dt

Вариант 9

dx +

dy = 0;

2) y′ = у cos x;

xy′(ln y − ln x) = y;

y(e) = 1;

4) (х2 - 1)y¢ - ху = x3 - х;

y¢ -

y = xtgx; y(p) = p;

6) y¢ - ytgx = -

sin x;

7) x3y¢¢ - х2y¢ = 1;

8) уу¢¢ - 4 = -(у¢)2;

у(1) = 1; у¢(1) = 1

y′′ − y′ = 2х; у(0) = 0; у′(0) = 2;

10) у′′ + 9у = −36sin 3x;

ìdx

= 4y - z

ì dx

= 5x + 3у

;

11) í dt

12) í dt

= y + 2z

= -3х - у

îdt

î dt

Вариант 10

1) у¢ =

у − 1

;

2) (eх + 2)dy - у2eхdx = 0;

х + 1

xy¢ =

+ 8

+ 8;

y(1) = 1;

4) y′ − уtgx = sin 2x;

y¢ -

2у

= 1 + х; y(0) = 0;

6) y¢ - yctgx =

;

1 - x2

sin x

7) (1 + х2 )y¢¢ + 2хy¢ + 2 = 0;

8) уу¢¢ = (у¢)2 + 1;

у(0) = у¢(0) =1

y¢¢ - y¢ = 6х2 + 3х;

10) у′′ + 4у′ − 12у = 8sin 2x; у(0) = у′(0) = 1;

ì dx

= -х - 5у

ìdx

= 5x + 3у

;

11) í dt

12) í dt

= -7x - 3y

= -3х - у

î dt

Вариант 11

1) (4 + е2х )yy¢ = е2х;

2) (1 + у2 )dх - xуdу = 0;

(xy¢ - х)arctg

= x; y(1) = 0;

4) хy′ − х = 2у; у(1) = 0;

y¢ -

y = ех

(х + 1)2

;

6) 3хy¢ + 5y = (4x - 5)y4;

y¢¢ = (y¢)2 - у;

8) ху¢¢ + у¢ - х2 = 0;

у(1) = у¢(1) = 1;

y¢¢ - 7y¢ + 10у = е2х;

10) у′′ + 2у′ + 5у = 2 sin x;

у(0) = у′(0) = 1;

= 3x - 2у

ìdx

= 3x - у

;

11) í dt

12) í dt

= 2x + 8y

= 4х - у

î dt

Вариант 12

у′ + xу2 + x = 0;

1) (

−

)dу + ydх = 0;

4 − х2

ху

y¢ =

; y(1) = 2;

4) y¢ + уctgx = 3sin4 x;

y¢ -

y = х2ех ; y(1) = 2;

6) уy¢ - 4x - y2

= 0;

7) (y¢)2 + 1 = yy¢¢;

8) х4у¢¢ + х3у¢ = 1;

y′′ + 4y′ + 4у = sin 2х;

10) у¢¢ - 10у¢ = x2;

y(0) = y¢(0) = 1;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ДЗ первый курс

#
25.11.2016541.97 Кб50met_vm.pdf
#
25.11.2016184.32 Кб26Дом-раб_Непрерывность .doc
#
25.11.2016569.86 Кб39Дом_раб_Пределы.doc
#
25.11.2016250.92 Кб33к_р_25_вар.pdf
#
25.11.2016929.77 Кб91Метод наименьших квадратов + задания 2015.pdf