Добавил:

cranberries Берегите себя и своих близких. По всем вопросам - пишите в мой вк, помогу чем смогу. Всем УЗС привет! Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет путей сообщения

Предмет:

Высшая математика

Файл:

ДЗ первый курс / met_vm

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2016

Размер:

541.97 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или установить его рас-

ходимость

∞

3.1

ò хе- х

dx;

3.2

;

0 x ln2 x

∞

3.3

;

3.4

ò х × 3-х

dx ;

0 x

+ 2x + 5

3.5

∞

;

3.6

∞

;

+ 3x2

0 x

+ 2x + 2

∞

3.7

ò (2x + 1)e- х

-хdx;

3.8

;

0 x

+ 6x + 10

3.9

∞

;

3.10

∞

;

0 x

+ 4х

e x ln3 x

3. 11

∞

;

3.12

∞

;

0 x

+ 4x + 5

0 x

+ 6x + 8

∞

2e-

∞

3.13

ò x

dx ;

3.14

;

0 x

+ 2x - 3

3.15

∞

2x - 3

dx;

3.16

∞

2 - 5x + 6

0 (x2 - 3x + 1) 3

0 x

3.17

∞

;

3.18

3x2 + 4х

dx ;

0 x

+ 6x + 11

0 (x2 + 2x2 + 1)2

∞

3.19

ò x × 3-

dx ;

3.20

;

0 x

+ 4x + 7

3.21

∞

;

3.22

∞

;

-¥ x2

+ 4x + 5

1 x(1+ х)2

3.23

arctgx

dx ;

3.24

;

1+ x2

-¥ 4 + х2

3.25

∞

1 x

(x + 1)

				53
	Задание 4. Решить задачу
4.1	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2 − x2 , y3 = x2 .
4.2	Вычислить площадь фигуры, ограниченной	линиями y = 4 − x2 , y = 3x ,
y = 0 и находящейся в первой четверти.
4.3	Найдем площадь содержащуюся между локоном Аньези y =		a 2	и
4.3	Найдем площадь содержащуюся между локоном Аньези y =		x2 + a 2	и
осью абсцисс.
4.5	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 6х − x2 , y = 0.
4.6	Вычислить площадь фигуры, ограниченной	параболой y = х2 − 6х + 5		и

осью абсцисс .

4.7Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды у=sin х и отрезком 0 ≤ x ≤π оси Ох вокруг оси Ох.

4.8Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной

одной полуволной синусоиды у=sin х и отрезком 0≤ x ≤π оси Ох вокруг оси

Oу.

4.9 Найти объем тела, получающегося от вращения вокруг оси Ох площади, ог- раниченной осью Ох и параболой y = ах − x2 (а>0).

4.10 Найти объем тела, образованного вращением площади, ограниченной ли- ниями y = ex , х = 0, у = 0 вокруг оси Ох.

4.11Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной ли- ниями ху = 4, х = 1, х = 4, у = 0 вокруг оси Ох.

4.12Определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной

линиями

х2

−

у2

= 1, у = b, y = - b.

4.13

Вычислить площадь фигуры , ограниченную кривыми y = ex , y = e− x

прямой х = 1.

площадь, заключенную между параболами у = х2 3

4.14

Вычислить

у = 4 −

4.15

Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной ли-

, у=0 вокруг оси Oх.

ниями у =

4 − х2

4.16

Вычислить площадь, заключенную между кривой у = tg х, осью Oх и пря-

мой х = π / 3.

54
4.17	Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой	х	2	−	у2	= 1 и прямой
4.17	Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой	а	2	−	b2	= 1 и прямой
х = 2a.		а	2		b2
х = 2a.
4.18	Вычислить площадь, ограниченную параболой у = 2х − х2 и прямой у=-х.
4.19	Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболами
у = 12 + 6х − х2 и у = 2 − 2х + х2 .
4.20	Найти объем тела, получающегося от вращения вокруг оси абсцисс фигу-
ры, заключенной между параболами у = 3 − х2 и у = х2 + 1.
4.21	Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры,
ограниченной линиями у2 = (х − 1)3, х = 2.

4.22Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, огра- ниченной линиями ху = 9, у = 10 - х.

4.23Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры,

ограниченной линиями у = х2 + 2, у = 2х + 2.

4.24Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у2 = 4х , ху=2, х=4.

4.25Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 6х − х2 ,

2х-у+3=0.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ “Функции нескольких переменных”(ФНП)

После изучения данной темы и выполнения индивидуального задания студент должен:

-владеть понятием частных производных и дифференциалов функции не- скольких переменных, уметь находить частные производные и дифференциа- лы различных порядков для функций 2-х и 3-х переменных;

-уметь провести исследование на экстремум функции 2-х переменных;

-уметь находить наибольшее и наименьшее значение функции 2-х переменных в замкнутой и ограниченной области;

-владеть понятиями градиента и производной по направлению; уметь найти

градиент и производную по заданному направлению для конкретной функции 2-х или 3-х переменных.

Каждый вариант содержит 5 задач из различных разделов темы “Ф.Н.П.”

Условия к заданиям каждого варианта.

Задание 1. Найти частные производные указанных функций до второго

порядка включительно. Убедиться, что Z′′	= Z′′ .
xy	yx

Задание 2. Найти полные дифференциалы указанных функций в точке М (x, y) при приращениях аргументов соответственно Dx и Dy.

Задание 3. Исследовать на экстремум следующие функции.

Задание 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y)

в области D ,ограниченной заданными линиями.

Задание 5. Дана функция U(M)=U(x, y, z) и точки М1 и М2 . Вычислить: а)производную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2 ;

б)grаd U( М1).

Приведем решение типового варианта:

Задача 1. z = arcsin(x2 + y) .

Решение. Находим частные производные первого порядка z′x и z′y

z¢ =

∂z

× 2x =

¶x

1- (x2 + y)2

1- (x2 + y) 2

z¢ = ∂z

×1 =

¶y

1 - (x2 + y)2

(Напоминаем, что частные производные ФНП находятся по тем же правилам и формулам, что и обычная производная, но при условии, что все переменные,

кроме той, по которой вычисляется производная, не изменяются). Далее нахо- дим частные производные 2-го порядка:

ö /

æ 2

ö 2

æ 2

ö 2 ÷

(2x)x 1 -

- 2xç 1 -

¶zö

è x

+ yø

è x

+ yø ÷

z¢¢

¶x è ¶xø

ö 2

1 -

è x

+ yø

öö

ö 2

2xç

2ç x

+ y÷÷

øø

2 1 - è x + yø

æ 2

2 ù

ê1 - ç x

+ y÷

ú +

4xç x

+ y÷

2 1 - è x

+ yø

ö 2

2 ù3 2

1 - ç x

+ y÷

ê1 - ç x

+ y÷

ö /

æ 2

ö 2

æ 2

ö 2 ÷

(2x)y 1 -

- 2xç 1 -

è x

+ yø

è x

+ yø ÷

z¢¢

¶zö

ø y

¶y è ¶xø

ö 2

1 -

è x

+ yø

×1

x × 2è x + yø

2xè x

+ yø

ö 2

ù3 2

2 ù3 2

ê1

ç x

+ y÷

ê1 -

ç x

+ y÷

¶zö

ö 2 ù

−3 2 æ

z¢¢

= -

× ê1 -

ç x

+ y÷

ç - 2

× ç x

+ y÷

× 2x÷ =

¶y è ¶yø

2xè x

+ yø

ö 2 ù3 2

ê1

ç x

+ y÷

Убеждаемся, что z′′

= z′′ .

æ ¶zö

2 ù

-1 2

ö /

z¢¢

ê1

ç x

+ y÷

¶y è ¶yø

ö 2

ù-3 2

x2 + y

= -

× ê1

- ç x

+ y÷

2 × ç x

+ y÷

1÷

3 2

ö 2

ê1

ç x

+ y÷

Задача 2. z = 5xy - 2x3y2 .

Решение. Дифференциал функции двух переменных z = z(x, y) находим по формуле:

dz = ¶∂xz Dx + ¶∂yz Dy .

Так как

¶∂xz = 5y - 6x2y2 и ¶¶yz = 5x - 4x3y, то dz = (5y - 6x2y2 )Dx + (5x - 4x3y)Dy .

Задача 3. Исследовать на экстремум функцию двух переменных z = x3 + y3 - 3xy.

Решение. Найдем вначале стационарные точки функции. Так как в дан-

ном случае ¶∂xz и ¶∂yz всегда существуют, то для нахождения стационарных точек получаем систему уравнений:

¶∂xz = 3x2 - 3y = 0; ¶¶yz = 3y2 - 3x = 0 .

Решая эту систему уравнений, находим x1 = 0, x2 = 1, y1 = 0 , y2 = 1. Таким образом, получаем две стационарные точки М1(0, 0) и М2 (1, 1).

Далее находим частные производные второго порядка:
А =	¶2z		= 6x; B =	¶2z	= -3; C =	¶2z		= 6y .
	¶x	2		¶x¶y		¶y	2

Как известно, наличие или отсутствие экстремума в стационарной точке

определяется значением величины D = АС - В2 в этой точке.

В точке М1(0, 0) величина D = 36xy - 9 M1(0,0) = -9 < 0 , т.е. в этой точ- ке экстремума нет. В точке М2 (1, 1) D = 36xy - 9 M2 (11,) = 36 ×1×1 - 9 = 27 > 0

и A=6>0, следовательно, в этой точке данная функция достигает локального минимума: zmin = −1.

Задача 4. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции

z = x2 + 2xy + 4x - y2 в замкнутой области D : íx+y+2=0, x=0, y=0ý.

Решение. 1) Определим вначале стационарные точки функции:

ì¶z		= 2x + 2y + 4 = 0
ï	¶x		ìx + y = -2
ï	¶x		ìx + y = -2	Û x = y = - 1.
í	¶z		Û í	Û x = y = - 1.
ï	¶z	= 2x - 2y = 0	îx = y
ï	¶y
î	¶y

Таким образом, y функции есть одна стационарная точка М(-1, -1). Легко

убедиться, что она лежит на границе области D (см.рис.). Вычисляем значение функции в этой точке z(M) = z(-1, -1) = 1 + 2 - 4 - 1 = - 2.

	1		y
-2	1		0 1
-2			0 1	x
A				x


		D
	M		-2
			-2
		B

2) Исследуем теперь функцию на графике области D. Поскольку она со- стоит из отрезков ОА, ОВ и АВ, рассмотрим функцию на каждом из них.

а) На отрезке ОА у = 0 функция z (x, y) превращается в функцию одной

переменной z (x, 0), которую обозначим z1(x) = z(x,0) = x2 + 4x. Мы должны

найти наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке x Î [-2, 0]. Найдем критические точки:

dzdx1 = 2x + 4 = 0 => x = - 2 Î [-2, 0].

Критическая точка совпала с концом отрезка, поэтому вычисляем значе- ние функции только на концах отрезка:

z1(0) = z(0,0) = 0; z1(−2) = z(−2,0) = 4 − 8 = −4.

б) На отрезке ОВ x = 0 и z(x, y) = z(0, y) = z2 (y) = −y2 , где y [-2, 0].

Найдем критические точки dzdy2 = -2y = 0 => y = 0 [-2,0].

Снова критическая точка совпадает с концом отрезка, причем z2 (0) = z(0,0) мы уже вычислили в пункте а).Поэтому вычисляем только z2 (−2) = z(0,−2) = −4 .

в) На отрезке АВ : y = - 2 - x и

z(x, y) = z(x,−2 − x) = z3(x) = x2 + 2x(−2 − x) + 4x − (−2 − x)2 = −4 − 4x ,

где x [-2, 0], т.к. dzdx3 = -4 , то критических точек эта функция не имеет, а ее значения на концах интервала уже вычислены:

z3(0) = z(0,−2) = −4 и z3(−2) = z(−2,0) = −4 .

Сравнивая все полученные значения функции z(x, y) в процессе исследо- вания находим:

zнаиб = z(0,0) = 0 , zнаим = z(−2,0) = z(0,−2) = −4 .

Задача 5. Найдем производную функции u(M) = 7x3y3z3 − 5xy2 + 3x2y

в точке М1(2, 4, 0) по направлению вектора М1М2 (координаты точки М2 (1,

5, 1). Определим вначале координаты вектора

М1М2

(-1, 1, 2) и его направ-

ляющие косинусы:

) x

- 1

cosα

(M1M2

= -

M1M2

(-1)

2 + 12 12

(M1M2

cosβ

; cosγ

(M1M2

M1M2

Далее по формуле

∂u(M 1 )

∂u

cos γ

∂s

∂x

M 1 cos α +

∂y

M 1 cosβ + ∂z

M 1

находим производную по направлению.

Так как

∂ u

М1

= 21x2y3z3 - 5y2 + 6xy

М1 = -5× 4

2 + 6 × 2 × 4 = -32

¶ x

¶ u

М1

= 21x3y2z3 - 10xy + 3x2

М1 = -10

× 2 × 4 + 6 × 2 × 4 = -32

¶y

¶u

М1

= 21x3y3z2

М1 = 0,

то

¶z

¶u(M1)

= -32 × (-

) - 68 ×

+ 0 ×

= -

= -12 3

Поскольку градиент функции u(M) - это вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным, то есть

grad u(M 1)=	∂u	ρ	+	∂ u		j +	∂ u	ρ

	∂x	M 1 I		∂ y	M 1		∂ z	M 1 k,
						ρ
					ρ		ρ
то grad u(M 1)= -32 i -68 j + 0 k .

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ «Функции нескольких переменных»

Вариант № 1

1.z = ex2 − y2 ;

2.z = 2x3y − 4xy5;

3.z = yx - 2y2 - x + 14y;

4.z = 3x + y - xy: D: {y = x, y = 4, x = 0};

5. u(M) = x2y + y2z +z2 x, M1(1, − 1, 2) , M2 (3, 4, - 1).

		x			Вариант № 2
1.	z = tg		;

		y
2.	z = x2y sin x − 3y ;
3.	z = x3 + 8y3 − 6xy + 5;
4.	z = xy − x − 2y;
				D: {x = 3, y = x, y = 0};
5.	u(M) = 5xy3z2 ,			M1(2,1,−1), M 2 (4,−3,0) .

Вариант № 3

1.z = sin(x2 − y);

2.z = arctgx + y ;

3.z = x3 + y2 − 6xy − 39x + 18y + 20;

4.z = x2 + 2xy − 4x + 8y, D: {x = 0, x = 1, y = 0, y = 2};

5. u(M) = ln(x2 + y2 + z2 ), M1(−1,2,1), M2 (3,1,−1)

	z = cos(xy2 ) ;			Вариант № 4
1.	z = cos(xy2 ) ;
2.	z = 5xy2 − 3x3y4 ;
3.	z = 2x3 + 2y3 − 6xy + 5;
4.	z = x2 + 2xy − y2 − 4x,
4.	z = x2 + 2xy − y2 − 4x,		D: {x - y + 1 = 0, x = 3, y = 0};
5.	u(M) = x2y + хz2 − 2),	M1(3,0,2), M2 (2,−1,3) .

Вариант № 5

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ДЗ первый курс

#
25.11.2016541.97 Кб50met_vm.pdf
#
25.11.2016184.32 Кб26Дом-раб_Непрерывность .doc
#
25.11.2016569.86 Кб39Дом_раб_Пределы.doc
#
25.11.2016250.92 Кб33к_р_25_вар.pdf
#
25.11.2016929.77 Кб91Метод наименьших квадратов + задания 2015.pdf