Добавил:

cranberries Берегите себя и своих близких. По всем вопросам - пишите в мой вк, помогу чем смогу. Всем УЗС привет! Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет путей сообщения

Предмет:

Высшая математика

Файл:

ДЗ первый курс / met_vm

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2016

Размер:

541.97 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

lim 1 - cos3x x®0 x × tg2x

2 sin

= lim

= 2

lim

cos2x ×

x®0 x ×

sin 2x

x®0

cos2x

sin

= 2 lim

× lim

x®0

®0 sin 2x

sin2 3 x lim 2 = x®0 x × sin 2x

При нахождении пределов полезно использовать следующие результаты:

lim

sin αt

= lima

sin αt

= a

®0

t®0 at

lim

sin αt

α .

t®0 sinbt

1 − cos3x

Т.о.

lim

= 2 ×

x × tg2x

x®0

Задача 3. Исследовать на непрерывность функцию:

ì			0 £ x £ 1

ï2 x,
Y= í1,4 - 2x,			1 < x < 2,5
ï2x - 7,			2,5 £ x £ 4.
î

Решение. Функция определена на промежутке (0, 4) и составлена из эле- ментарных функций, каждая из которых непрерывна во всех точках, где она за- дана. Поэтому она может иметь разрывы только в точках 1 и 2,5. Находим

				lim	y =	lim (4 − 2x) = 2
				x®1+ 0	x®1+ 0
				lim	y =	lim (4 - 2x) = -1
y				x®2,5-0		x®2,5-0
y						В точке х = 1 функция определена и ее зна-
						В точке х = 1 функция определена и ее зна-
2						чение равно2		= 2 , т.е. пределу справа.
2						чение равно2	1	= 2 , т.е. пределу справа.
						Следовательно, в этой точке функция не-
1						прерывна y (2,5)=2*2,5-7=-2, а предел слева
						этой функции равен - 1,т.о. x=2,5 - точка
0	1	2	3	4 x		разрыва первого рода. Сделаем схематиче-
-1						ский чертеж:
-2

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

«Предел и непрерывность функции»

Задание 1. Найти область определения функции

1.1 y =

x + 3

;

1 - x

1.3 y =

;

x2 - 3x + 2

1.5 y =

1 − x

;

x2 - 3

1.7

y =

;

1.8 y =

;

xè

- 4ø

1.11

y =

;

- 1

1.13

;

y = arccosè x

1ø

1.14

y = sin

;

1.17

+ 9x +

;

y = lgè

4ø

;

1.19

y =

3x - 27

1.21

y =

;

sin x

1.23

y =

;

- 5

5x + 5

1.25

- 4x +

y = lgè

2ø .

1.2 y = lg(1 - x2 ) ; x

1.4 y = arcsin 1x ;

1.6y = log2 x + 3 ;

x- 1

1.8 y =

;

- 2

1.10

y =

x2 - x - 6

;

1.12

y =

;

3x2 + x - 2

1.14

y = arctg

;

x +

1.16

y =

;

cos x

1.18

y =

+ 5 + 6

;

1.20

y =

;

1.22

y =

;

+ 8

1.24y = x2 - 1 ;

x3 - 1

Задание 2. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).

2.1

а)

lim

x2 - 4

;

б)

lim

x2 - 3x + 2

;

x®¥ 3x2 - 3x + 2

x®2 2x2 - x - 6

в)

lim

cos- cos2 x

;

г)

lim

(1 - 3x)

2+ x

;

3x sin x

x®0

2.2

а)

lim

2x3

- 3x + 1

;

б)

lim

3x − 3

;

x®0 4 - 2x2 - 3x3

x®1

8 + x - 3

ö 4x

в)

lim

;

г)

lim

;

1 - cos x

x®0

x®¥

1 + 3xø

2.3

а)

lim

4x3 + 3x

2 - 2

;

б)

lim

2x2 + 7x + 3

- x - 6

x®¥ x3

x®-3 x2 - 2x - 15

в)

lim

sin 3x

;

г)

lim

(1 + 2tgx)ctgx;

x®0

tg2x

x®0

2.4

а)

lim

3x2

- 4x + 1

;

б)

lim

2 - 3x - 2

;

x®¥ x - 2x2 + 3

x®2 x2 + 3x - 10

в)

lim

ctg

;

г)

lim

(5 + 2x)x+2 ;

ç x

5x÷

x®0

x®-3

2.5

а)

lim

4x3

- 3x2 + 2

;

б)

lim

+ 5x - 24

;

2 - 5x - 3

x®¥ x2 + 3x3 + x

x®3 2x

x sin 2x

в)

lim

;

г)

lim (1 - 3x)x ;

x®01 - cos2 2x

x®0

2 - 2x + 4x

x -

2.6

а)

lim

;

б)

lim

4x - 3

;

x - 3

x®¥ 5 + x +

x®3

x sin5x

3x + 4ö x+3

в)

lim

;

г)

lim

;

3x +

x®0 sin

x®¥

5ø

2.7

а)

lim

8x3

- x

2 - 7

;

б)

lim

2x2 - 7x - 4

;

x + x3 - 1

x®¥

x®4 2x2 - 13x + 20

в)

lim

1 − cos16x

;

г)

lim

(3- 2x)

;

x-1

x®0

x®1

2.8

а)

lim

2 - 5x + 1

;

x®¥ 1 - 2x - x2

в)

lim

3xtgx

;

x®0 sin2 x

2.9

а)

lim

1 - x - x2

;

x®¥ x3 + x

в)

lim

1 − cos3x

;

xtg2x

x®0

2.10

а)

lim

x4 + 1

;

x®¥ 3x3 - x + 2

в)

lim

3x2

;

1 - cos3x

x®0

2.11

а)

lim

2 + 5x - 2

;

x®¥ x2 + 2x + 15

в)

lim

1 − cos9x

;

x®0

2.12

lim

2 + x2 - 3x

;

x®¥ 1 - 3x + 6x3

в)

lim

1 - cos2 3x

;

tg2 4x

x®0

2.13

а)

lim

3 - 3x + 4

;

4x3 + 1

x®¥

в)

lim

tg2 3x

;

x®0 15х2

2.14

а)

lim

x5 - 4x2 + 5

;

x®¥ 3x4 - 2x2 + x

в)

lim

1 − cos8x

;

3x sin 4x

x®0

б)

lim

2x2

- 5x - 7

;

2 + x - 2

x®-1 3x

г)

æ x - 5ö x−8

;

lim

è x

3ø

x®¥

б)

lim

+ x - 2

;

x®-2 x2 + 2x

æ 2x + 1ö

2x−1

г)

lim

;

è 2x

+ 5ø

x®¥

2x2

б)

lim

+ 5x - 3

;

x2 - 9

x®-3

г)

æ1 + xö 2+3x

;

lim

x®¥

2x2

б)

lim

+ 7x - 4

;

10x -

x®

æ 4x - 1ö x+3

г)

lim

;

è 4x

+ 2ø

x®¥

4x2

б)

lim

- 5x - 21

;

- 3x - 9

x®3 2x2

г)

lim (5x - 4)

;

x-1

x®1

б)

lim

2x+6

;

-2x-15

x®-3x x2

æ x + 3ö 2x

г)

lim

;

è x

1ø

x®¥

б)

lim

+ 16 - 4

;

x®0

г)

lim (10 - 3х) 9 - 3х ;

x®3

2.15

а)

lim

3x4

- 2x2 + 4

;

+ 2x + 1

x®0

в)

lim

xtg5x

;

x®0 1 - cos2 5x

2.16

а)

lim

2 + x2 - 3x3

;

x®¥ 1 - 3x + 6x3

в)

lim

1 − cos4x

;

tg3x2

x®0

2.17

а)

lim

4x2 - 4x - 5

;

+ x - x4

x®¥ x2

в)

lim

x sin5x

;

x®0 tg2 3x

2.18 а)

lim

9x3 - x2 - 1

;

+ 4x + 5

x®¥ 3x3

в)

lim

;

x®0 cos3x - 1

2.19

а)

lim

6x4 + 5x

2 + 1

;

x®¥ 3x4

- 2x3 + 4x

в)

lim

tgx − sin x

;

x®0

2.20

а)

lim

5x3

- 2x2 + 4

;

+ 3x2

+ x

x®¥ x4

в)

lim

sin2

;

x®0 tg25x

2.21

а)

lim

3x3

- 2x - 24x

;

3x3 - 1

x®¥

в)

lim

x − x cos2x

;

x®0

sin3 x

- 3

;

б)

lim

x + 10

x®-1

x2 + x

2x+3

г)

lim

;

x -

x®¥

б)

lim

x2 - 1

;

x®-1 x2 + 3x + 2

г)

1 +

;

lim

x®¥

б)

lim

3 - x2 - x + 1

;

x2 - 3x + 2

x®1

4x - 1ö x+3

г)

lim

;

4x + 2ø

x®¥

б)

lim

x2 + 3x + 2

;

x®-1 3x2 + 4x + 1

г)

lim (3 - 2x)

;

x-1

x®1

2x2 - 7x - 4

б)

lim

;

x®

4 2x2 - 13x + 20

г)

3x - 1ö x+1

;

lim

3x - 3ø

x®¥

x2 - 5x + 6

б)

lim

;

x®

2 x2 - 12x + 20

2 ö

г)

lim

;

è1+ 2x

ø x

x®0

б)

lim

5x2 + x - 6

;

2 + 4x - 5

x®1 x

æ x - 7ö

2x+1

г)

lim

;

3 + xø

x®¥

2.22

а)

lim

2x3 - 1

;

б)

x®¥ 3 - 4x - x3

в)

lim

xtgx

;

г)

1 - cos3x

x®0

2.23

а)

lim

x4 - 3x2 + 2x

;

б)

+ 2

x®¥ 3x3 - 6x2

в)

lim

1 − cos7x

;

г)

2x2

x®0

2.24

а)

lim

x3 + x

;

б)

+ 2x + 1

x®¥ 3x3 - 2x2

в)

lim

2x sin x

;

г)

x®0 sec x - 1

2.25

а)

lim

7x2 + x + 2

;

б)

x®¥ 2x2 + 1

- 1

;

в)

lim

cos x

г)

x®0

lim

3x2 + 2x - 1

;

x®-15x2 + 7x + 2

lim (2x - 3)

х2

;

х-2

x®

3 - 8

lim

;

- 7x + 2

x®

2 3x

lim

æ 4x - 1ö x+1

;

x®¥è 4x + 2ø

lim

8x3 - 1

;

3 - 4x2 - 4x

x®

3ö 4x

lim

ç1

;

x®¥

xø

2x2 - 50

lim

;

+ 8x + 15

x®-5 x

ö x+1

lim

x®¥ è x

4ø

Задание 3. Исследовать на непрерывность функцию y = f(x); найти точки разрыва и определить их тип. Построить схематический график функции.

x<0

ï x

ì ln(-x), x < 0

3.1

1-x2 ,

0 £ x £ 1;

3.2

£ x £ 1;

у = í

у = í2x2 , 0

x + 1, x ³ 1

x>1

ïx -

, x<-3

-x

ï-

x - 3

x £ 0

3.3

y =

ïx+2, 0<x £ 1;

3.4

y =

ï-

9-x2

, -3 £ x £ 3;

, x>1

x - 3

îx-1

ï x - 3 , x>3

x £ -

ï1,

-π

3.5

y = ísin x,

< x < 0;

0 £ x £ 1

ïex,

îe, x>1

ì- 2

, x<0

3.7

4-x2 ,

0 £ x £ 2;

y = í

x>2

ïx

x + 2

x<-2

ï x +

3.9

4-x2 ,

-2 £ x £ 2 ;

y = í

, x>2

ïx-2

, x<-2

ï-

x - 2

3.11

y =

4-x2 , -2 £ x £ 2;

ï2

, x>0

ï x

, x<0

ï-

3.13

y =

ïsin2 x, 0 £ x £ 2π;

ïïx - 2π, x>2π

ìï- x +1 2 , x<-2

3.15 y = ïí 4-x2 , -2 £ x £ 2;

ïï2 x , x>2

ï x

ì3

, x<0

3.6

y =

9-x2 ,

0 £ x £ 3;

x>3

ïx-3

, x<0

ï-

3.8

y =

ïex - 1,

0 £ x £ ln 3

, x>3

, x<0

ï-

3.10

y =

ï3-x ,

0 £ x £ 1;

x>1

3x - 1

ìsin x

, x<0

3.12

0 £ x £ 2;

í1-x,

- 5, x>2

ïx

, x<0

3.14

y =

- 2,

0 £ x £ 1;

íx

x>1

ïx -

ï -

x<-3

x + 3

3.16

y =

9-x2 ,

-3 £ x £ 0;

, x>0

ï x

3.17 y =

3.19 y =

3.21 y =

3.24y =

3.25y =

ìln(x + 3), x<-3 ïíx2, -3 £ x £ 3 ;

ïïî12 - x, x>3

ì		x			,	x<0
ì		x
ï-

		x
ï		x
ï2x ,						0 £ x £ 2;
í
ï	1			,		x>2
ï
ï
ïx-2
î
ìsinx,						x £ 0
ï					x, 0 < x £ 4;
ílog			2		x, 0 < x £ 4;
ï			2			x > 4
ï6	- x,					x > 4
î

ì		x + 3		x < -3
ì		x + 3
ïï
ïï		x + 3
ï
ï			9 - x2 , -3 £ x £ 3;
í			9 - x2 , -3 £ x £ 3;
ï	1
ï					x > 3
ïx -3 ,					x > 3
î
ì
ïïx +1,					x < 0
ícosx,						0 £ x £ p;
ï	1
ï				,	x > p
ï				,	x > p
îx - p

, x<0

ï-

3.18

0 £ x £

;

y = ícos x,

x> p

îx - p

-x

- 1, x<0

ï3

3.20

y = ísin x,

0 £ x £ p;

x>p

- p

îx

ì2-x - x, x < 0

3.22

0 £ x £ 1;

y = íx - 1,

x > 1

îx

x < 0

ïï

-1

3.24

y = íïx2, 0 £ x £ 2;

ïïx + 2,

x > 2

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 4 “Производная и ее применение”

Выполнив данное задание, студент должен приобрести навыки диффе- ренцирования элементарных функций, а также применения дифференциального исчисления к исследованию функций и решению задач на нахождение опти- мальных значений.

Методические указания к выполнению задания.

Задача 1. Найти производную функцию y =

пользуясь ее опре-

3x +1,

делением.

f(x +

Решение. По определению производной у′(x)

lim

Dx®0

имеем

- 3

)

- 3

)

3(x + Dx) + 1

у¢ =

3x + 1

lim

Dx ® 0

é(3(x + Dx) + 1)2 3 + 3

+ (3x + 1)2 3ù

(3(x + Dx) + 1)(3x + 1)

é(3(x + Dx) + 1)2 3 + 3

+ (3x + 1)2 3ù

(3(x + Dx) + 1)(3x + 1)

lim

3x + 3Dx + 1- 3x - 1

é(3(x + Dx) + 1)2 3

+ (3x + 1)2 3ù

Dx®0 Dx

(3(x + Dx) + 1)(3x + 1)

3[3x + 1]2 3

(3x + 1)2

Задача 2. Найти производные функций:

а ) y

;

б ) y = 4−tg2x ;

x2 - sin3x

в )

arctg

;

г ) y =

- 4

Решение .а) при дифференцировании этой функции удобнее не вычислять производную частного, а записать ее в виде y = (x2 - sin 3x)−1. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции имеем:

-1ö¢

-1-1

у¢ =

- sin3xø

ø =

(-1)èx

- sin3xø

è x

- sin3xø

= -

(2x - cos3x(3x)¢) = -

2x - 3cos3x

ö 2

ç x

- sin3x÷

ç x

- sin3x÷

б)

(4 - tg2x)′

4-tg2x

ln4(- tg2x)′ =

-4-tg2x ln4

y ¢ =

cos2

2ln4*4-tg2x = - cos22x ;

в)

1 ö

çæ

-1

÷ö′

1 çæ

-3

÷ö

y¢ =

çarсtg

ç x 2

ç-

x 2

÷ =

ö2

x ø

æ 1

x ø

x-23

= - 2(x +1) ;

г) при дифференцировании этой функции предварительно удобно вос-

пользоваться свойствами логарифма:

				æ		x			ö′			æ		1	ln x2			ö¢		1			2x
	y¢	=		çln					÷ =			çlnx -					-1 ÷		=		-						=
																						(				)
					x		-1
				ç	x	2	-1		÷			è		2	(			)ø		x				2
				ç		2			÷			è		2	(			)ø		x		2 x		2	-1
				è					ø													2 x			-1
							=	2x2		-		2 - 2x2			= -			1
							=		2x	(	x2		)		= -		(		)
										(			)				(		)
													-1			x x2 -1
	Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
5		5	3	+ 2 на отрезке [0;2].
y = x	-	3x		+ 2 на отрезке [0;2].
	Решение: 1) находим стационарные точки функции, принадлежащие дан-
ному промежутку:
	y¢ = 5x4 -5x2 = 0 Û x2(x2 -1)= 0 Þ x = 0, x																							2	= 1, x			3	= -1.
																				1				2				3

Точка x = -1 [0 ; 2].

2) вычисляем значения функции в стационарных точках и на концах про- межутка (в данном случае точка x1 = 0 совпадает с левым концом отрезка):

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ДЗ первый курс

#
25.11.2016541.97 Кб50met_vm.pdf
#
25.11.2016184.32 Кб26Дом-раб_Непрерывность .doc
#
25.11.2016569.86 Кб39Дом_раб_Пределы.doc
#
25.11.2016250.92 Кб33к_р_25_вар.pdf
#
25.11.2016929.77 Кб91Метод наименьших квадратов + задания 2015.pdf