Пз 1, 2

1 Оценка погрешности результата вычислений по формуле

1. Цель работы

Целью работы является изучение основных приемов вычислительной работы по явной (готовой) формуле, оценка точности вычислений.

2. Методические указания по организации самостоятельной работы студентов

1.2.1 При подготовке к лабораторной работе необходимо повторить лекционный материал, а также теоретический материал, представленный в подразделе 1.2.2 и 1.4 методических указаний.

1.2.2 Основным видом вычислительных работ является вычисление по явной (готовой) формуле.

Принцип последовательной подстановки значений переменных величин в одну или несколько явных формул, как правило, не приводит к особо сложным проблемам аналитического или алгоритмического характера. Однако при вычислениях необходимо выполнение ряда условий. Например, каждая из входящих в расчетные формулы функций должна быть практически вычислима для всех необходимых значений аргументов. Необходимо также учитывать, что стандартные модули вычисления элементарных и особенно специальных функций подчинены некоторым ограничениям, несоблюдение которых может привести либо к прерыванию при машинном счете, либо к недопустимому ухудшению точности. Требуется осторожность и при наличии особо длинных цепочек вычислений, когда возникает опасность постепенного накопления погрешности округления. Существуют и другие не менее существенные условия использования расчетов по явным формулам.

Пусть некоторая величина выражается формулой, содержащей те или иные действия над данными числами. Это могут быть:

• арифметические действия (сложение, вычитание, умножение, деление);

• извлечение корня;

• неалгебраические операции (отыскание значений трансцендентных функций: показательной функции , логарифмической функции , тригонометрических функций, например, , , , и т.д.).

Примеры задач для вычислений по явной формуле:

1. Вычислить значение многочлена

(1.1)

при значении аргумента .

2. Составить таблицу значений многочлена для ряда значений аргумента , например, , , , , .

3. Составить таблицу значений функции для ряда значений аргумента .

Однако в большинстве случаев исходные данные являются приближенными числами, и в результате вычислений получается приближенное число. В некоторых случаях требуются точные вычисления.

В практике вычислений часто приходится оценивать погрешность числового значения величины, полученной в результате вычислений по формуле, которая содержит не одно, а несколько действий. Для оценки погрешности необходимо последовательно применять теоремы о погрешностях.

3. Описание программного продукта, который используется для выполнения лабораторной работы

Для выполнения лабораторной работы необходимо использовать электронные таблицы Microsoft Excel.

0. Порядок выполнения работы и методические указания по ее выполнению

   0. Общие методические указания по выполнению лабораторной работы

1.4.1.1 Обобщенный алгоритм проведения вычислительной работы по явной формуле делится на определенные основные этапы.

Первый этап. Расписать формулу. Производя расписку формулы, подготовить расчетный бланк, на котором будут записываться результаты всех промежуточных вычислений.

Второй этап. Определить, с какой точностью должны выполняться все вычисления (с каким числом десятичных знаков после запятой или значащих цифр).

Третий этап. Выбрать средства вычислений (ЭВМ, таблицы и т.п.) для каждого звена в последовательности вычислительных операций.

Четвертый этап. Установить методы текущего контроля вычислений.

Пятый этап. Произвести вычисления, получить результат.

Шестой этап. Произвести заключительный контроль вычислений.

1.4.1.2 До начала вычислений следует продумать последовательность всех промежуточных операций и установить удобное расположение записей. Для этого следует произвести расписку формулы.

Расписка формулы делается таким образом. Рассматриваем данную формулу и устанавливаем, в какой последовательности и какие действия нужно производить. В точном соответствии с порядком действий (алгоритмом) составляем таблицу, в которой каждый столбец предназначен для записи результата определенной операции. Так, для вычисления значений многочлена (1.1) порядок вычислений должен быть таков:

1. записать значение ;

2. возвести в квадрат;

3. возвести в куб (или, что то же, результат операции (2) умножить на );

4. умножить на 1,87;

5. результат операции (2) умножить на 3,08;

6. результат операции (3) умножить на 2, 34;

7. найти сумму результатов операций (4), (6), и числа 7,36;

8. из результата операции (7) вычесть результат операции (5). Это будет окончательный результат.

В соответствии с этим алгоритмом составляем расчетную таблицу 1.1.

Таблица 1.1

№		(1)(1)	(2)(1)	(1)1,87	(2)3,08	(3)2,34	(4)+(6)+7,36
1	1,2	1,44	1,728	2,244	4,4352	4,043526	13,64752	9,21232
2	1,4	1,96	2,744	2,618	6,0368	6,42096	16,39896	10,36216
3	1,6	2,56	4,096	2,992	7,8848	9,58464	19,93664	12,05184
4	1,8	3,24	5,832	3,366	9,9792	13,74688	24,37288	14,39368
5	2,0	4,00	8,000	3,740	12,3200	18,72000	29,82000	17,50000

Вычисления в таблице следует производить по столбцам, а не по строкам. Выполняя вычисления в соответствии с таблицей 1.1, получаем результат (точные вычисления).

1.4.1.3 Определение точности вычислений.

Если по характеру задачи требуется произвести приближенные вычисления, то следует установить, с какой точностью нужно выполнить промежуточные действия (с каким числом десятичных знаков после запятой или значащих цифр). Определить точность промежуточных вычислений необходимо на основании теорем и правил действия над приближенными числами.

Теорема 1. Предельная абсолютная погрешность суммы нескольких приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.

Теорема 2. Предельная абсолютная погрешность разности приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Теорема 3. Предельная относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.

Теорема 4. Предельная относительная погрешность частного от деления двух приближенных чисел равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.

Теорема 5. Предельная относительная погрешность степени приближенного числа равна произведению показателя степени на предельную относительную погрешность основания

Теорема 6. Предельная относительная погрешность корня из приближенного числа равна предельной относительной погрешности подкоренного числа, деленной на показатель корня

Правило вычисления относительной погрешности. Пусть в записи приближенного числа все цифры верны. Предельную относительную погрешность можно принять равной дроби, числитель которой 1, а знаменатель есть удвоенное целое число, написанное при помощи всех значащих цифр данного числа (с сохранением порядка их записи).

Произведя расписку формулы, необходимо определить, с какой точностью следует выполнять все вычисления, и оценить погрешность полученных результатов.

Рассмотрим это на примере вычисления по формуле

(1.2).

Пусть требуется составить таблицу значений на отрезке [1; 2]; например для , , , , , .

Первый случай. Все числа, входящие в формулу, или некоторые из них – приближенные. В этом случае нельзя вычислить с любой степенью точности. Необходимо, прежде всего, выяснить, какой максимальной степени точности можно добиться при вычислении по данной формуле.

Пусть ; ; (приближенные числа), значения будем считать точными.

Прежде всего, необходимо найти грубую оценку значений функции. Из (1.2) видно, что наименьшее значение функция принимает при , наибольшее при . Отсюда находим, что .

Применяя правила оценки погрешностей, получим

(1.3).

Для различных величина различна. Как видно из формулы (1.3) наибольшее значение будет при . Поэтому для любого из отрезка [1; 2]

.

Так как %; ; , то =0,2%. Значит, , можно принять для всех отрезка [1; 2]. Учитывая, что , заключаем, что для всех значений данного отрезка можно вычислить результат с двумя верными значащими цифрами (с одним верным десятичным знаком после запятой).

Составив расчетную таблицу, будем выполнять вычисления. Так как окончательный результат ожидается с тремя значащими цифрами, то для промежуточных вычислений числителя и знаменателя необходимо брать по четыре значащие цифры, т.е. на одну цифру больше, чем требуется в окончательном ответе (оставляется «запасная цифра»). Эта лишняя цифра нужна потому, что в ходе вычислений производятся округления, которые дают дополнительную погрешность. «Запасная» цифра уменьшает влияние этой погрешности. Чтобы знаменатель вычислить с четырьмя значащими цифрами, вычисляем подкоренное выражение с четырьмя значащими цифрами. Для этого достаточно вычислить с четырьмя значащими цифрами.

Итак, установлено, что во всех столбцах таблицы, кроме последнего, необходимо вписать результаты промежуточных вычислений с четырьмя значащими цифрами. В последнем столбце, где записывается окончательный результат, сохраняются три значащие цифры.

Производя вычисления, получаем таблицу 1.2 со всеми записями.

Таблица 1.2

		3,72(2)	1,33(2)	9,482-(4)
1	2	3	4	5	6	7
1,0	1,00	3,720	1,327	8,155	2,013	1,85
1,2	1,44	5,357	1,915	7,567	1,963	2,73
1,4	1,96	7,291	2,607	6,875	1,901	3,84
1,6	2,56	9,523	3,405	6,077	1,825	5,22
1,8	3,24	12,050	4,309	5,179	1,729	6,97
2,0	4,00	14,880	5,320	1,609	1,609	9,25

Второй случай. Все числа, входящие в формулу, точные. Окончательный результат может быть только приближенным (так как в формулу входит извлечение корня), но этот результат можно получить с любой степенью точности. Чтобы получить результат с заранее заданной степенью точности, надо установить, с какой точностью следует выполнять промежуточные действия. В формуле (1.2) и могут быть вычислены точно. Предполагая это можно написать .

Пусть необходимо получить результат с тремя верными значащими цифрами, т.е. %. Значит, надо вычислять также с погрешностью не более 0,3%. Значение заключено между числами 1,6 и 2,1, поэтому надо извлечь корень с тремя верными значащими цифрами. Имея в виду еще и неизбежные ошибки округления, будем находить значение корня с четырьмя верными значащими цифрами (с одной лишней, запасной цифрой). Итак, если и вычислить точно, значение корня найти с четырьмя значащими цифрами, окончательный результат округлить до трех значащих цифр, то все цифры в этом окончательном результате будут верны.

Однако необязательно вычислять и точно. Если при точном вычислении промежуточные результаты получаются со слишком большим числом десятичных знаков, то их можно округлить до четырех значащих цифр, что не окажет влияния на окончательный результат. Итак, если необходимо получить результат с тремя значащими цифрами, то все промежуточные вычисления следует производить с четырьмя цифрами. Расчетный бланк и записи в нем такие же, как и в таблице 1.2. Если требуется вычислить с пятью значащими цифрами, то очевидно, промежуточные вычисления следует выполнять с шестью значащими цифрами.

1.4.1.4 Для выполнения вычислений необходимо, прежде всего, продумать, какими средствами будут производиться простейшие операции. Например, арифметические операции можно выполнять на калькуляторах, персональных ЭВМ и т.п. Для извлечения корня, для отыскания значений трансцендентных функций можно пользоваться готовыми таблицами, в которых приведены (обычно приближенные) значения функций. Выбор средств вычислений зависит от характера вычислительного материала, от требуемой точности.

1.4.1.5 Контроль вычислений.

Все результаты вычислений должны контролироваться. Различают контроль текущий и заключительный. При выполнении текущего контроля все вычисления могут быть проведены параллельно, независимо друг от друга двумя вычислителями. Результаты периодически сравниваются. Необходимо, чтобы они совпадали. Весьма эффективной формой текущего контроля является использование контрольных соотношений.

Заключительный контроль является проверкой окончательного результата. Формы контроля могут быть различными.

0. Порядок выполнения работы

1. Получить у преподавателя индивидуальное задание в виде функции (формулы).

2. До начала вычислений продумать последовательность всех промежуточных операций в формуле и установить удобное расположение записей. Составить алгоритм проведения вычислительных операций.

3. Заготовить расчетный бланк. Произвести расписку формулы, определяющей данную функцию.

4. Установить, с какой точностью должны выполняться все промежуточные вычисления.

5. Выбрать математические таблицы для отыскания значений функций в промежуточных вычислениях с требуемой точностью.

6. Произвести вычисления с помощью ЭВМ (программного продукта). Вычисления проводить по столбцам. Результаты выписывать с тем числом цифр, которое было установлено в пункте 4.

7. Предложить формы текущего контроля вычислений. Провести текущий контроль вычислений, параллельно выполняя вычисления на калькуляторе и на ЭВМ.

8. Провести заключительный контроль вычислений. Построить график функции по найденным значениям.

1.5 Содержание отчета