геометрия модуль 3
.pdf
S2
22
12 
Ê2
A2 |
11 |
|
A1 |
||
|
Ê1 S1 ò1
B1
|
|
|
Ì3-23 |
|
|
|
|
ò2 |
Выполним алгоритмическую запись решения: |
|
|
|
= |
|
|
|
a2 |
|
|
|
Σ |
= |
|
Ã(SABC)∩a = K,P. 1 ГПЗ, 3 алгоритм. |
|
2 |
|
||
Ð2 |
3 |
|
|
1. Σ - плоскость-посредник, |
|
|
ΣΣ|| Ï à } Σ2 = à2. |
||
|
2 42 |
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
C2 |
2. Σ ∩ Ã = ò(123). 2 ÃÏÇ, 2 àëã. |
B |
|
|
Σ || Ï2 ò2(12,22,32) = Σ2; |
|
3 |
|
|
ò1(11 ,21 ,31 ) Ã |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3. ò1(11 ,21 ,31 ) ∩ à1 = Ê1 ,Ð1 → Ê2 ,Ð2. |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
C1 |
|
|
1 |
|
a |
Вывод: все задачи на пересечение |
|
Ð1 |
|
||
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
21 |
|
|
непроецирующей прямой с любой |
|
|
|
непроецирующей поверхностью решаются |
||
|
|
|
||
|
Ðèñ. 3-40 |
|
по единому - третьему алгоритму, |
|
|
|
с помощью плоскости-посредника. |
||
|
|
|
||
Решение 2ГПЗ в случае пересечения непроецирующих фигур.
Чтобы построить линию пересечения двух непроецирующих поверхностей т, нужно выполнить следующие операции:
1.Задать поверхность-посредник (напоминаем, что в этом качестве чаще всего берут проецирующую плоскость);
2.Построить линии пересечения а и b поверхности-посредника с заданными поверхностями;
3.Найти точки пересечения построенных линий;
4.Повторять построения столько раз, сколько необходимо для того, чтобы линия пересечения поверхностей выявилась полностью;
5.Определить видимость линии пересечения т и самих поверхностей.
Следует напомнить, что:
а) Решение 2 ГПЗ необходимо начинать с анализа характера пересечения поверхностей для определения количества линий пересечения m′;
б) Плоскость-посредник необходимо выбирать так, чтобы она пересекала обе поверхности по графически простым линиям - прямым или окружностям.
Рассмотрим алгоритм решения на пространственной модели (рис. 3-41):
|
Ì |
|
|
Σ |
1. Ô∩ =т; 2ГПЗ, 3 алгоритм. |
a |
|
|
b |
2. Отмечаем очевидные точки пересечения - М и Р. |
|
à' |
ò |
Ê |
b' |
Σ' |
3. Вводим плоскость-посредник Σ (как правило - |
|
|||||
Φ |
Ê' |
|
|
|
проецирующую.) |
|
|
Ðèñ. 3-41 |
4. Σ∩Ô=à; Σ∩ =b; 5. à∩b=K. |
||
|
Ð |
|
|
Ì3-24
6.Для построения линии т нужно найти такое количество точек, которое определяет данную линию. Для этого вводим несколько плоскостей-посредников.
7.Определяем видимость линии пересечения т и поверхностей.
2 |
Задача: Построить линию пересечения конуса Ф |
|
Ô2 |
Î2 |
со сферой |
(ðèñ. 3-42). |
|
Алгоритм: 2ГПЗ, 3 алгоритм. |
||||
|
||||
|
|
1. Вначале определяем, что должно быть общим |
||
|
|
элементом в результате пересечения и количество |
||
|
|
общих элементов. Пересекаются две поверхности |
||
|
|
вращения второго порядка, характер пересечения - |
||
|
|
вмятие, следовательно, должна получиться одна |
||
|
|
пространственная кривая линия т. Кроме того, |
||
|
Ω1 |
поверхности имеют общую плоскость симметрии (это |
||
|
Î1 |
плоскость фронтального меридиана Ω). Это означает, |
||
|
что линия пересечения симметрична относительно |
|||
|
1 |
плоскости Ω, è íà Ï2 две е¸ ветви должны слиться |
||
Ô1 |
|
в одну видимую линию. |
Ì2 |
|
Ðèñ. 3-42 |
|
|||
|
|
|||
2. Построения начинаем с характерных точек (рис.3-43), |
2 |
|||
не требующих дополнительных построений для их |
Î2 |
|||
нахождения. К ним относятся точки М и Р, лежащие Ô2 |
||||
в плоскости Ωи принадлежащие очерковым |
|
|||
образующим конуса и сферы на П2 - Ì2 è Ð2. Ì1 è Ð1 |
Ð2 |
|||
находим с помощью линии связи. |
|
|||
3. Все остальные точки находим одинаково: |
|
|
||
зада¸м плоскость-посредник Σ (ðèñ. 3-44). Â å¸ |
|
|||
качестве выбираем горизонтальную плоскость |
Ì1 (Ð1 ) |
|||
уровня Σ2. Эта плоскость пересекает конус Ф |
||||
по окружности а, радиусом R1 (от оси до очерка |
Î1 |
|||
конуса). Проводим на П1 |
эту окружность а1 |
|
||
|
1 |
|||
из центра конуса S1 . |
|
Ô1 |
|
|
Эта же плоскость пересекает сферу |
|
|||
ïî |
Ðèñ. 3-43 |
|||
окружности b, радиусом R2 (от оси до очерка |
||||
|
||||
сферы). Проводим на П1 |
эту окружность b1 |
из центра О1 сферы. |
|
|
Окружности, пересекаясь, дают нам точки К1 è Ê1 ', принадлежащие линии пересечения т . К2 è Ê2' находим с помощью линии связи по принадлежности плоскости Σ.
Остальные точки находим аналогично.
|
|
|
|
|
|
Ì3-25 |
|
|
|
|
Ô2 |
S2 |
|
|
Увеличено |
4. Видимость горизонтальной проекции |
|||||
|
|
|
|
|
линии пересечения определяют точки А и |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 А', лежащие в плоскости экватора с |
||||
|
|
|
Î2 |
|
|
|
сферы (рис. 3-45). На П1 они принадлежат |
|||
|
|
|
|
|
|
окружности с1 . Все точки, расположенные |
||||
|
|
|
|
|
|
Σ |
||||
à |
|
K |
(K ') |
b |
|
íèæå À2 è À2', íà Ï1 |
будут невидимыми, |
|||
2 |
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
è Ê1 '. |
||
|
|
|
|
|
|
в том числе и точки Р1 , Ê1 |
||||
R |
1 |
|
R |
2 |
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
(K |
') |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
Ô2 |
r |
Î2 |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
c2 |
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
A2 (A2 ') |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
Î1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
b1 |
|
|
|
|
|
A1 ' |
|
ñ1 |
|
a1 |
|
|
|
1 |
r |
|
|||
|
|
|
(K1 ) |
|
|
S1 |
|
|
||
Ô1 |
|
|
|
|
|
Î1 |
|
|||
|
Ðèñ. 3-44 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
S2 |
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
||
|
|
|
|
|
Ô1 |
|
|
|||
B2 (B2 ') |
|
|
|
Σ2' |
|
|
|
Ðèñ. 3-45 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ô2 |
|
Î2 |
|
|
|
5. Крайние левые точки В и В' находим в плоскости |
||||
|
|
|
|
|
Σ', проходящей через точку встречи левой очерковой |
|||||
2образующей конуса с перпендикуляром, провед¸нным из точки пересечения оси конуса с плоскостью
экватора сферы (рис. 3-46). Построения проводим так, как описано в п. 3.
B1 ' |
|
6. Конечный результат построений с уч¸том |
S1 |
|
|
|
видимости линии пересечения и самих поверхностей |
|
Î1 |
|
|
|
приведен на рис. 3-47. Как мы и предполагали на |
|
B1 |
1 |
основе анализа в п. 1, линия пересечения т одна, |
|
|
|
Ô1 |
|
симметрична относительно плоскости фронтального |
Ðèñ. 3-46 |
|
меридиана Ω, симметричные ветви е¸ на П2слились |
|
в одну видимую линию. |
|
|
|
S2 |
Ì |
|
Ô2 |
2 |
|
|
|
|
Â2 (Â2 ') |
|
|
A2 (A2 ') |
|
Î2 |
|
|
|
|
ò |
|
|
2 |
|
Ô1 |
|
|
A1 ' |
|
|
B1 ' |
|
(P1 ) |
|
M |
|
|
1 |
|
|
S1 |
Î1 |
B1 |
|
|
ò1 |
|
|
A1 |
|
|
|
|
Ðèñ. 3-47
Ì3-26
Алгоритмическая запись решения:
Увеличено |
|
|
Ô |
∩ |
= т. 2ГПЗ, 3 алгоритм. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Точки М и Р Ω Ì2;Ð2→ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ Ì1 ;Ð1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2. Σ - плоскость-посредник; Σ || Ï1 , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Σ ∩ Ô = à →à1 ; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ ∩ |
= b → b1; |
|
Ð2 |
|
|
|
|
|
|
|
b1 ∩ a1 = K1;K1' →K2;K2'. |
|||
|
|
|
|
|
|
4. Аналогично строим остальные |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки т1 →ò2 . |
|
5.Видимость т относительно П1 : точки А, А' с.
ΩВывод: Решение 2ГПЗ в случае
1пересечения непроецирующих фигур проводят по единому -
1 |
третьему алгоритму и |
|
осуществляют с помощью |
||
|
||
|
плоскостей-посредников, которых |
|
|
бер¸тся такое количество, |
|
|
чтобы линия пересечения |
|
|
выявилась полностью. |
Ã2
Ã1
1
Частные случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка.
ò2 |
Пересечение соосных поверхностей вращения. |
|
ò2 |
2 |
1. Две соосные поверхности вращения |
|
Ô2 |
|
|
пересекаются по окружностям, плоскости |
Î2 |
|
|
|
которых перпендикулярны оси вращения: |
|
||
|
ï |
Λ2 |
||
|
à ∩ |
|
||
ï2 |
= т; п - окружности (рис. 3-48). |
2 |
|
|
|
|
|||
ò1 |
ï1
Ðèñ. 3-48
2. Если центр сферы находится на |
ï1 |
|
|
оси поверхности вращения, то сфера |
Λ1 |
||
|
|||
пересеч¸т эту поверхность по |
|
ò1 |
|
окружностям, плоскости которых |
|
Î1 |
|
перпендикулярны оси вращения: |
|
||
|
Ô1 |
||
Ô ∩Λ = т; п - окружности |
|
||
|
|
||
(ðèñ. 3-49). |
|
Ðèñ. 3-49 |
|
Ì3-27 |
|
|
|
|
|
|
Ã2 |
|
M2 (N2 ) |
Ã2 |
||
Σ2 |
|
Σ2 |
|
|||
|
|
Ñ2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
Ð |
Ê2 |
|
Ð |
r |
Ê2 |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
||
Î2 |
Ô2 |
|
|
Î2 |
Ô2 |
|
|
|
|
|
D2 |
|
|
Σ1 |
|
Σ1 |
|
N1 |
|
|
Ô1 |
|
|
Ô1 |
|||
|
|
|
r |
|||
Î1 |
|
|
|
Î1 |
|
|
Ã1 |
|
Ã1 |
|
M1 |
|
|
à) |
Ðèñ. 3-50 |
|
|
á) |
||
Теорема Монжа. |
|
|
|
|
||
Если две поверхности вращения второго |
|
|
|
|
||
порядка описаны около третьей поверхности |
M2 (N2 ) |
Ã2 |
|
|||
вращения второго порядка, или вписаны в не¸, |
|
|
||||
Σ2 |
|
|
Ô2 |
|||
то линия их пересечения распадается на две |
b2 |
|
||||
плоские кривые второго порядка. Прич¸м, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
плоскости кривых проходят через прямую, |
|
|
|
à |
||
соединяющую точки двойного соприкосновения. |
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|||
На рис. 3-50 теорема Монжа проиллюстрирована |
|
|
|
|||
пересечением двух конусов Σ и Г, в которые вписана |
|
|
|
|||
сфера Ф. Чтобы вписать сферу, проводим перпендикуляры |
|
|
|
|||
к очерковым образующим конуса Г(Г2) из точки О2 |
: |
b1 |
N1 |
|
||
Î2Ð2= Î2Ê2 - радиус сферы (рис. 3-50а). |
Σ1 |
Ô1 |
||||
|
|
|||||
Точки М и Ν (рис. 3-50б) - это точки, в |
|
|
|
|||
которых касаются все три поверхности. |
|
|
|
|
||
В результате получаются два эллипса а и b, |
|
|
|
à |
||
|
|
|
|
|
||
которые проходят через точки М и Ν (ðèñ. 3-50â). |
à |
M1 |
1 |
|||
|
||||||
Íà Ï1 эти эллипсы построены по принадлежности |
|
|||||
1 |
|
|
|
|||
конусу Г (построения не показаны). |
|
|
|
â) |
||
Ì3-28
Как Вы думаете?
1.Всегда ли при решении позиционных задач совпадают случаи расположения геометрических фигур относительно плоскостей проекций и соответствующие алгоритмы решения?
2.По какому алгоритму Вы будете решать задачу , представленную на рис. 51?
Ô2 |
Ñ2 |
|
Ê2 |
||
|
||
|
Â2 |
À2
Ê1 À1 
Ô1
Ñ1
Â1 Ðèñ. 3-51
Ô∩ ÀÂÑÊ = ?
Ô|| Ï2; ÀÂÑÊ || Ï2.
Проанализируйте расположение цилиндра и плоскости относительно плоскостей проекций и обоснуйте выбор алгоритма решения. Решите задачу.
Ответы на тест ¹ 1: 1 - 3; 2 - 1; 3 - 3; 4 - 5; 5 - 4; 6 - 1; 7 - 2; 8 - 4; 9 - 5; 10 - 2.
Ответ на задачу рис. 3-34 : Верно.
Выводы: 1. Все главные позиционные задачи делятся на две: 1ГПЗ - пересечение линии с поверхностью (плоскостью); 2ГПЗ - пересечение поверхностей (плоскостей).
2. Выбор алгоритма решения зависит от расположения фигур относительно плоскостей проекций. Существует три случая расположения пересекающихся фигур относительно плоскостей проекций:
-обе фигуры проецирующие - задача решается по 1 алгоритму,
-одна фигура проецирующая, вторая непроецирующая - задача решается по 2 алгоритму,
-обе фигуры непроецирующие - задача решается по 3 алгоритму.
3.Бывает, что случаи расположения фигур относительно плоскостей проекций и алгоритм решения не совпадают. Это случается тогда, когда обе пересекающиеся фигуры являются проецирующими, но относительно одной и той же плоскости проекций, такие задачи решаются по второму алгоритму (например, рис. 3-51).
4.Решение считается выполненным тогда, когда определена видимость общих элементов и пересекающихся фигур.
Контрольные вопросы.
1.Какие задачи называются позиционными?
2.Какая линия может получиться при пересечении многогранника с поверхностью вращения?
3.От чего зависит количество общих элементов при решении 2ГПЗ?
4.От чего зависит выбор алгоритма решения главных позиционных задач?
5.Что может получиться при пересечении конуса различными плоскостями?
6.Какие частные случаи пересечения поверхностей вращения Вы знаете?
7.Сформулируйте теорему Монжа.
|
|
Ì3-29 |
|
|
|
|
|
Òåñò ¹ 1. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
Ã2 |
À2 |
Â2 |
|
Ì2 |
|
 |
|
Ô2 |
ò |
Ã2 |
À2 |
|
2 |
|
Ç |
Ã2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
Ô2 |
|
|
Ê2 |
|
|
|
|
Ð2 |
|
||
Ô |
|
Ñ |
|
|
|
||
|
|
|
Ñ2 |
|
|||
2 |
|
Ñ |
|
|
|
||
|
|
2 |
Ô |
Ì |
Ñ1 |
||
|
Ã1 |
|
1 |
|
|||
|
À1 |
ò |
1 |
1 |
|
|
|
Ç |
|
À1 |
|
|
|||
Ã1 |
|
1 |
|
|
Ê1 |
||
Ô1 |
Ô1 |
|
 |
|
|
|
 |
|
|
|
1 |
|
Ð1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Ô∩Ã=? |
ÀÂÑ∩ò=? |
Ô∩Ã=? |
|
|
||
Ô∩Ã=? |
ÀÂÑ∩ÌÐÊ=? |
||||||
1.На каком чертеже представлена 1ГПЗ?
2.Для решения какой задачи необходимо использовать теорему Монжа?
3.Для решения какой задачи необходимо использовать только одну плоскость-посредник?
4.Для решения какой задачи необходимо использовать две плоскости-посредника?
5.В каком случае результатом пересечения является один эллипс?
6.В каком случае результатом пересечения являются два эллипса?
7.На каком чертеже характер пересечения поверхностей - вмятие?
8.Какая из задач решается по второму алгоритму?
9.В каком случае результатом пересечения является прямая линия?
10. В каком случае результатом пересечения является пространственная линия? Ответы на тест см. на стр. М3-25.