Добавил:

ota Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тольяттинский государственный университет

Предмет:

Геометрия

Файл:

геометрия модуль 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.07.2016

Размер:

711.97 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Ì2-33

Комплексный чертеж поверхности вращения общего вида

Задача: построить поверхность вращения общего вида, Φ(l, i) li, i Π1 (ðèñ. 2.77)

1. Задать проекции элементов определителя, графическая часть определителя может быть задана образующей l (рис. 2.77) или любой кривой k, лежащей на поверхности и пересекающей все ее параллели, как в задаче ¹46 в Рабочей тетради.

			i2
Φ		i		l2
Φ		l
		l		Рис. 2.78. Определитель задан
		k		Рис. 2.78. Определитель задан
		k		осью - i и образующей - l,
				которая совпадает c плоскостью
				фронтального меридиана
Ðèñ. 2.77				l1
	i2			i1
	i2
R		R		Алгоритм построения
*	*	*		Если поверхность вращения Φ задана
				Φ(i.l), ι Π1 , òî:
*	*	*	l2	1. Достраивается фронтальная проекция левого полумеридиана
*	*	*	l2	Проводятся проекции параллелей в виде отрезков прямых
				Проводятся проекции параллелей в виде отрезков прямых
				(тонкими линиями), перпендикулярных оси (i2 ): горло, экватор,
				нижняя и верхняя; дополнительные параллели для точного
*	*		*	построения кривой (рис. 2.79).
*	*		*	2. После симметрично достроенного левого полумеридиана
				2. После симметрично достроенного левого полумеридиана
*	*	*		основной сплошной линией обводится очерк на П2 -
*	*	*		фронтальный (главный) меридиан.
				3. Горизонтальная проекция поверхности вращения есть
				концентрично расположенные окружности-параллели,
	i			которые проецируются без искажения на Π1 ( ò.ê ι Π1 ),
	1			поэтому ι1 - точка - центр окружностей. Экватор,
			l1	поэтому ι1 - точка - центр окружностей. Экватор,
			l1	верхняя параллель, горло на Π1 видимы, нижняя - невидима,

т.к. расположена ниже экватора, а диаметр ее больше горла (рис.2.79).

Ðèñ. 2.79

	Ì2-34	Видимость	Φ2
		относительно П1
Зона видимости	ò	(Â2 )	Ì2
относительно П1	ò		Ì2
	2
	ò	1	Ì21
	2

Зона видимости относительно П1

	À2
ï2	*	*
ï2
Плоскость
главного
(фронтального)
меридиана		Â1
		Â1
Зона видимости		Ì1 *
относительно П2		Ì1 *
Φ1	(À1 )	ò1
ï1	(À1 )	ò1
ï1		Видимость
	Ðèñ. 2.80	Видимость
	Ðèñ. 2.80	относительно П2

4.Видимость точек, принадлежащих поверхности, относительно П1 определяется особыми параллелями (заштрихованные зоны на фронтальной проекции поверхности): относительно П2 - главным меридианом (заштрихованная зона на горизонтальной проекции). (Рис. 2.80)

5.Пусть А (А2) è Â (Â1 ) Φ, À1 è Â2 = ? Чтобы построить вторую проекцию точки,

лежащую на поверхности, через заданную проекцию точки проводят параллель.

а) Через точку А2 проводят окружность - параллель (п2). Замеряют радиус этой параллели от оси до очерка и строят ее горизонтальную проекцию (п1 ). Из точки А2 проводят линию связи

íà ï1 , которая пересекает п1 в двух точках, выбирают нижнюю, т.к. А2 видима, т.е. точка А находится перед главным меридианом. Определяют видимость точки А1 - она невидима, т.к. расположена ниже экватора (в незаштрихованной зоне).

б) Через точку В1 проводят параллель т1 , отмечают точку пересечения с главным меридианом М1 , по принадлежности ему отмечают М2, Ì2 1, выбирают М2, ò.ê. Â1 íà Ï1 видима, т.е. ее параллель на П2 должна находиться в зоне видимости относительно П1 . Через М2 проводят фронтальную проекцию этой параллели т2, из точки В1 проводят линию связи до пересечения с т2. Точка В2- невидима, т.к. на В1 находится в незаштрихованной зоне, т.е. за главным меридианом.

Ì2-35

Поверхности вращения второго порядка

Цилиндр вращения

Цилиндр вращения образуется вращением образующей- l(прямой линией) вокруг параллельной ей оси.

Γ3

Γ(i.l), à (à2 ) Γ,

à1 ,à3 =?

(63 )

(5 )

1) i Π1 , l i,

Видимость

à3

относите-

à2

l - горизонтально

ëüíî Ï3

(43 )

проецирующая прямая, значит

Γ Π1 -цилиндр занимает

проецирующее положение

относительно Π1 .

2) Γ1 - главная проекция, которая обладает

собирательными свойствами, поэтому а1 = Γ1 ,

3) à3

строится по свойству принадлежности линии

l1 =

данной поверхности (а Γ) (ñì. ðèñ. 2.81)

4) Точка 3 расположена на профильном меридиане,

поэтому

точка 33

является границей видимости

Γ= à

íà Ï3 .

Конус вращения

Ðèñ. 2.81

Конус вращения образуется вращением образующей- l (прямой линией) вокруг оси, которую

она пересекает.

Видимость

Φ(i, l),

a(à2 ) Φ à1 , à3 =?

Φ2

относительно П1

профильный

i Π1 , l ∩i

Φ3

меридиан

l - занимает положение прямой

профильный

уровня (фронтали)

меридиан

(43 )

l- прямая линия, поэтому цилиндр и конус

Видимость

относят так же и к линейчатым

поверхностям.

относи-

(33 )

Например, конус можно задать другим способом,

тельно П3

как линейчатую поверхность Φ(т,S), S-

фиксированная точка, т (окружность, основание

конуса) - неподвижная направляющая.

R 22

меридиан

Или как циклическую поверхность Φ(т,l), у

l =главный

Главный

которой l-образующая есть монотонно

Φ2

меняющаяся окружность, движущаяся по

меридиан

неподвижной направляющей (прямой линии) -т.

Алгоритм построения а1 , à3

1. Сначала отмечают на а2

особые точки (рис. 2.82):

Точка 12

→11 , 13 - по принадлежности окружности основания

Точка 4

→4 , 4 - по принадлежности главному меридиану

→31 , 33

2. Промежуточные: 32

по принадлежности

параллели радиусом - R 32

3. Точка 2

→2

по принадлежности параллели - R

Ðèñ. 2.82

- 23

по принадлежности профильному меридиану

Видимость кривой -а: 1) На

Π1

кривая а1

видима, т.к на Π1

видима вся поверхность. 2) На

Π3

границей видимости служит профильный меридиан (точка 23 ).

Ì2-36

Сфера

Сфера образуется вращением окружности (l) вокруг оси (ее диаметра) (i)

Видимость

Π1

à2

â2

ñ2

à3

â3

ñ3

Γ(i.l), - сфера, i Π

À(À ) Γ; À ,À =?

относительно

à (à1 , à2 , à3 ) - экватор, определяет

видимость относительно Π1

â (â1 , â2 , â3 ) - главный (фронтальный)

À3

меридиан, определяет видимость

À2

относительно Π2

à1

Ðèñ. 2.83

ñ (ñ1 , ñ2 , ñ3 ) - профильный меридиан,

Видимость

определяет видимость относительно Π3

относи-

Алгоритм построения точки А(А1 , À3)

тельно Π3

1. а) Для построения А1

через точку А2 (задана видимой) проводят

параллель, замеряют радиус - R2 (от оси до очерка), строят

(À1 )

горизонтальную проекцию этой параллели, проводят линию связи

Видимость

из точки А2

→À1 .

относительно Π2

т.к. точка А(А2 ) íà Π2

б) Определяют видимость А1 -невидима,

расположена ниже экватора ( на Π2 - в незаштрихованной зоне).

2. а) Для построения А3

из точки А2 проводят линию связи на Π3 , íà

Π1 замеряют расстояние

от фронтального меридиана (в1 )- у (параллельно оси У), переносят на

Π3 , откладывая

îò

проекции фронтального меридиана (в3 ) по линии связи (параллельно оси У) →À3

б) Определяют видимость А3 -видима, т.к. точка А(А1 ) íà Π1 расположена

перед профильным

меридианом ( на Π1

в заштрихованной зоне) (рис.2.83).

à(à2) Φ, à1 , à3

Пример: Φ(i,l),

= ? (ðèñ. 2..84)

(3 )

(73 )

(23 )

R 2

(63 )

R 2

R 32

R 2

Ðèñ. 2.84

1. Сначала отмечают особые точки (рис. 2.84):

Точка 22

→21 , 23 - по принадлежности экватору

Точки 12

→11 , 13 è 32 →31 , 33 - по принадлежности

(11 )

главному меридиану

Точка 52

-51 , 53 по принадлежности профильному

меридиану

2. Промежуточные: 4, 6, 7 находят с помощью

параллелей, радиусы которых замеряют

îò îñè

(41 )

до очерка на П . Профильные проекции точек

находят см. (рис. 2.83) →À3 .

(51 )

(61 )

Особые параллели и точки на них являются границами

видимости кривой на сответствующих

проекциях сферы.

				Ì2-37
Поверхности вращения второго порядка, образованные
вращением кривой второго порядка вокруг оси, лежащей в плоскости симметрии кривой
1. Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг оси (рис. 285).
				À	Ðèñ. 2.85
				À
Ðèñ. 2.86. Эллипсоид сжатый					Ðèñ. 2.87 Эллипсоид вытянутый
эллипс вращается вокруг					Ðèñ. 2.87 Эллипсоид вытянутый
малой оси	i2	l2	i3	=l3	эллипс вращается вокруг
À2	i2	l2	i3	=l3	большой оси		l2
À2				À	À2		l2	À
				3	i2			3
					i2		i3
							i3
			l1					l3
	i1		l1
	i1
					À1	l =i
	À1					1	1
	À1
2. Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг						åå îñè (ðèñ. 2.88).
Параболоид применяется в прожекторах и фарах автомобилей, где используются фокальные
свойства параболы; если в фокусе параболы поместить источник света, то световые лучи,
отражаясь от параболы, будут распространяться параллельно друг другу (рис. 2.88.1). На
этом же свойстве основано и действие звукоуловителей и радиотелескопов.

l2	ì	i2
l2	2
			Ðèñ. 2.88.1
			l
			ì
		i1
l1		ì1	i
		ì1
		Ðèñ. 2.88

Ì2-38 3. Гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее оси.

Различают однополостный и двуполостный гиперболоиды вращения.

Однополостный (рис. 2.89) образуется при вращении гиперболы вокруг мнимой оси (рис. 2.90). Поверхность

однополостного гиперболоида		может быть образована и вращением прямой линии вокруг скрещивающейся
ì		ñ íåé îñè (ðèñ. 2.91).		l2
ì				l2
2	l	Определитель однополостного
	l			i
	2
		гиперболоида (образующая-прямая
				2

		линия). Образующая и ось
i		линия). Образующая и ось
i
2	Ì	скрещивающееся прямые. Эту		i1
		скрещивающееся прямые. Эту
		поверхность относят и к
i	l	линейчатым поверхностям		l
	l	Σ(l, i Ï , l i)	(ðèñ. 2.91).
	1	Σ(l, i Ï , l i)	(ðèñ. 2.91).
1		1		1
				Ðèñ. 2.91

ì1

Ðèñ. 2.89

R 2

î .

Рис. 2.90. Определитель однополостного гиперболоида (образующая-гипербола)

Σ(l, i Ï1 ).

(ì2 )

	l
	1
i	ì
1	1
Рис. 2.93. Двуполостный гиперболоид
вращения образуется
при вращении гиперболы
вокруг ее действительной оси.

Один из способов (рис. 2.92) построения однополостного гиперболоида: т.к. горизонтальные проекции всех образующих должны касаться проекции горловой окружности, то каждое последующее положение прямолинейной образующей можно создавать проведением касательных к проекции окружности горла.

Ð2

	A2	C2	D2	F2 K2
енерВнжусскийиийсярщдаюВы .Г. Шухов(1921г)предложил ныстднополоьоиспользоватйгиперболоиддлястроительства хкытехнологичнхипрочныонструкций(радиомачт, аяков)ен,машхбводонапорны.	A2	B		E
		2		2
		31		51		Ðèñ. 2.92
						l
12	2	3	42	5	6	7
	2	2		2	2	2
		À1		K1	Ð1	71
11				K1
				E1
		Â		E1
		1 Ñ	D1	F1
	21	1	D1		61
	21				61
			41

Алгоритм построения, если поверхность задана параллелями и расстоянием (l)от экватора до горла (рис. 2.92):

1.Разбить горловую (А,В,С...) и нижнюю (1,2,3,..) параллели на 12 равных частей;

2.Из точки 41 провести образующие так, чтобы они были

касательными к горловай параллели (т.е. через В1 è Å1 ),

на горизонтальной проекции верхней параллели получим точку Р1 , которая определит положение верхней параллели на

фронтальной проекции. Эти образующие и на П2 пройдут через те же точки (42 , Â2 , Å2 ).

3. Для остальных точек построение повторить.

Ì2-39

Только три поверхности вращения второго порядка имеют в качестве образующей прямую линию. В зависимости от расположения этой прямой относительно оси, можно получить три вида линейчатых поверхностей вращения второго порядка:

1. цилиндр, если образующая параллельна оси вращения x 2 +y			2= R 2;
2	2	+y	2	2		2	2		2
2. конус, если образующая пересекает ось вращения k (x		+y	) -z =0;		x		2+y -	z		.=0
3. однополостный гиперболоид вращения, если ось и образующая скрещиваются					x			z
					a				2
					a		d
Алгоритм построения главного меридиана однополостного гиперболоида,						Ψ(i, l)
(образующая - прямая линия).

При построении однополостного гиперболоида, как линейчатой поверхности, главный (фронтальный меридиан) строится по точкам, чем больше точек, тем точнее построения. Рассмотрим алгоритм построения одной точки (Е), взятой на образующей.

	i2	l2
	i1	Плоскость
		фронтального
	Å1	меридиана
	Å1	l1
		l1

i2	l2
Å2	Плоскость
	будущей
	параллели
i1
Å1	l1
Å1

i2	l2
Å2
i1	Å1 ′
Å1	l1
Å1

i2	l2
Å2	Å2 ′
	Å2 ′
i1	Å1 ′
Å1	l1
Å1

		Рис. 2.94. Графический алгоритм построения одной точки
i2													2								22
	l										62		2						62
	l										62								62
	2									12							12
										12							12
										52							52
									42					42
								32						42
								32						32
														32
i1				i1						i1							i1
	l	3	4	5	1 6		21	3	4	5	1	6	2	3	4		5	1		6	21
	1	3	4	1	1	1		1	1	1	1	1	2	3		1	1	1		1
	1	1	1	1	1	1		1	1	1	1		1	1		1				1
		Рис. 2.95. Графический алгоритм построения поверхности.

1)Задать проекции определителя Ψ(i, l), i Π1 (ðèñ. 2.95);

2)Распределить точки на l1 , которые определят положение будущих параллелей на Π1 è Π2 : Точка 1(11 ) - определит положение горловой параллели (т.к. это ближайшая точка к оси вращения;) Точка 2(21 ) - определит положение верхней параллели; Точка 3(31 ) - определит положение нижней

параллели и одновремено будет экватором; Точки 4, 5, 6(41 , 51 , 61 ) - промежуточные точки;

3)Точки (11 .....61 → 12 ....62 ).

увеличено

Ì2-40

увеличено

2 ′

′

12 ′

′

(À2 )

42 ′

32 ′

51 ′=61 ′

11 ′

21 ′

41 ′31 ′

Плоскость

1 ′

фронтального

1 ′ 4 ′ 31 ′

меридиана

Ðèñ. 2.96

Ðèñ. 2.97

4). Далее все точки нужно ввести в плоскость фронтального

меридиана (рис. 2.96), используя основное свойство поверхности

вращения: каждая точка вращается вокруг оси по окружности

(параллели),плоскость которой перпендикулярна оси,

Точки 11 .......61 → 11 ′.......61 ′

Точки 11 ′.......61 ′→ 12 ′.......62 ′

видимЗоныости носитотельноП

7) Все полумеридианы поверхностей вращения равны, поэтому

6) Полученные точки соединить плавной кривой

→ правый

полумеридиан (рис. 2.97)

(À2 )

Ì2

симметрично правому достраиваем левый (рис. 2.98)

Â2

8) Определить видимость поверхности (см. рис. 2.98)

9) À(À2 ) è Â(Â1 ) Ψ,

À1 , Â2 = ? Точки находят так же, как

* N2

на любой поверхности вращения.

а) Через точку А2

проводят

параллель до пересечения с главным

(фронтальным) меридианом (точка М2 ), Ì2

→Ì1 . Через М1

проводят горизонтальную проекцию этой параллели или

(À1 )

замеряют радиус этой параллели на П2 и проводят на П1 .

Проводят линию связи из точки А2 , которая пересекает

N1 построенную параллель в двух точках, выбрать нужно верхнюю,

т.к. точка А2 в скобках, значит она находится за фронтальным

меридианом (сзади). Точку А1

нужно взять в скобки, т.к. она не

расположена в зоне видимости (в незаштрихованной зоне).

Â1

б) Через точку В1

проводят параллель (вводят в плоскость

фронтального меридиана →N1 ),

N1 →N2 . Через N2 проводят

Зона видиимости

Ðèñ. 2.98

фронтальную проекцию этой параллели, из В1 проводят линию

связи →Â2 Точка В2 - видима, т.к. В1 находится перед

относительно П

фронтальным меридианом.

Ì2-41

Торповерхность вращения 4 порядка

Как Вы думаете, что имеют общего баранка с маком и термоядерный реактор? Да, их объединяет конфигурация торовой поверхности. Форму тора имеют ободы маховиков и шкивов, галтели -плавные переходы от одной поверхности изделия к другой, создаваемые с целью уменьшения напряжений в месте перехода.

Поверхность тора образуется при вращении окружности вокруг оси, расположенной в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр. Определитель Θ(l, i) l i.

Произвольная прямая пересекает тор в общем случае в четырех точках, следовательно это поверхность четвертого порядка (рис. 2. 99).

à R

l2 l1

	Ï
		ð
			î
				è
	ï			ç
4	ï			â
	ð				î
		ÿ				ë
			ìà				üí
				ÿ				à
									ÿ

Рис. 2.99. Открытый тор, R<а	Рис. 2.100. Закрытый тор
(или торкольцо), внутренняя	(самосоприкасающийся)
его часть называется глобоидом	R = à

R	R			R
R
l		l2		l2
l		l2
2			l1
l1			l1	l1
				l1

Рис. 2.101. Закрытый тор	Ðèñ. 2.102	Рис. 2.103. Закрытый
(самопересекающийся),	Глобоид	тор (тор-лимон)
R>а (тор-яблоко)

Сконструировать поверхность: тор-кольцо Θ(l,i), i Ï2 ï(ï2 ) Θ. ï1 =?

l2 i1 l1

1. Задать проекции элементов определителя Рис. 2.104

правый

полумеридиан

2. Построить горизонтальную проекцию правого полумеридиана

3.Достроить левый полумеридиан симметрично правому

4.Фронтальная проекция - это концентрично расположенные особые параллели

(ñ2 )d2	à2	1
(ñ2 )d2	видимЗонаости	ельноПноситот
	видимЗонаости	ельноПноситот
ï2	â2
ï2

ñ1	à1	= â1	Θ2
ñ1	à1	= â1	Θ1
			Θ1
d1
Ðèñ. 2.106		Çîíà	видимости
		относительно П2

а - горло	в - экватор
с - дальняя параллель	d - ближняя параллель

Ðèñ. 2.105

		увеличено			22	Ì2-42
		увеличено			22	ï2
			72 (82 )			ï2		5. Алгоритм построения п1 (ðèñ. 2.107; 2.108):
								5. Алгоритм построения п1 (ðèñ. 2.107; 2.108):

								Кривую п1			строят по точкам, используя
	92 (102 )							свойство принадлежности точки поверхности,
	92 (102 )							проводя через точку простейшую линию.
								Для тора, как и для всех поверхностей
5	(6 )							вращения, простейшей является параллель
2	2	*	K (L )					(окружность).
	32 (42 )		2	2
	32 (42 )							а) Сначала выбирают особые точки (рис 2.107):
								а) Сначала выбирают особые точки (рис 2.107):
12								1(12 ) è 2(22 ) экватору, 3(32 )=4(42 ) è 7(72 )=8(82 )
								ближней и дальней параллелям, 5(52 )=6(62 )
								главному меридиану (или образующей l2 ),
								9(92 )=10(102 ) определяют положение точек,
								максимально приближенных к оси (кратчайшее
41	6			81				расстояние между ветвями кривой),
41	6			81				т.е. эти точки будут расположены на самых
	1	L1	101					т.е. эти точки будут расположены на самых
		L1	101					малых параллелях.
		*						Все особые точки, кроме 9,10 , находятся
11		*K1			21			без дополнительных построений.
		*K1	91					Для построения точек 9,10 проводят через
31		51		71				92 (102 ) параллели до пересечения с главным
		51				Ðèñ. 2.107		меридианом →K2 (L2 ),

					22
Θ2					22	ï2		Находят положение этих точек K1 (L1 ), íà Ï1 ,
								Находят положение этих точек K1 (L1 ), íà Ï1 ,
			72 (82 )		152 (162 )			через них проводят горизонтальные
			72 (82 )		152 (162 )			проекции параллелей, на которые проводят
		132 (142 )						линии связи из соответствующих точек
		132 (142 )						92 (102 ) →91 ,101 .
								92 (102 ) →91 ,101 .
	92 (102 )								б) Промежуточные точки (рис. 2.108):
									б) Промежуточные точки (рис. 2.108):
52 (62 )								11(12), 13(14), 15(16) строят по аналогии
À2*(Â2 )						C2 (D2 ) Ì(N )		с точками 9(10), с помощью параллелей
À2*(Â2 )						C2 (D2 ) Ì(N )		A (B ), C (D ), M (N ).
						2	2	A (B ), C (D ), M (N ).
	32 (42 )							2	2	2	2	2	2
	32 (42 )

112 (122 )	в) Плавной кривой соединяют все точки
12

											г) Видимость кривой п1 определяется
											ближней и дальней параллелями (точками 7 и 8),
											т.е. кривая п на П1 будет видима от точки
(41			) (6		)	(142 ) 81			D1		71	до точки 81 через 21 .
(41			) (6		)	(142 ) 81			D1		N
Â1				1							N
*(121 )						(101 )		162	*	*	1	Θ1
						(101 )

11								21
11						(91 )		152
À1*								152	*	*M1
À1*	)			(51 )			) 7		*	*M1
(111	)	(3 )		(51 )		(131	) 7	ï1	Ñ1
		(3 )					1
			1							Ðèñ. 2.108
										Ðèñ. 2.108

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Геометрия

#
26.07.20161.5 Mб23геометрия метод указания.pdf
#
26.07.2016711.97 Кб16геометрия модуль 2.pdf
#
26.07.2016402.34 Кб12геометрия модуль 3.pdf
#
26.07.2016409.33 Кб11геометрия модуль 4.pdf
#
26.07.2016576.48 Кб37геометрия раб тетрадь.pdf
#
26.07.2016556.58 Кб18геометрия.pdf