Алгоритмы / Referat_Algoritm_Floyda
.docРеферат на тему «Алгоритм Флойда».
Выполнил Литвинов Михаил.
Алгоритм Флойда — динамический алгоритм поиска кратчайших путей между всеми парами вершин взвешенного ориентированного графа. Разработан в 1962 году Робертом Флойдом (Robert W. Floyd). Задача, выполняемая алгоритмом, звучит так: в ориентированном графе G=(V, E), необходимо найти для каждой упорядоченной пары вершин (v, w) любой путь от вершины v в вершину w, длина которого минимальна среди всех возможных путей от v к w. В общем случае алгоритм работает как для ориентированных, так и для неориентированных графов, не содержащих циклов отрицательного веса. В случае циклов с отрицательным весом алгоритм будет по-прежнему правильно вычислять пути, но только для тех вершин, которые не могут быть соединены через этот цикл.
В алгоритме Флойда исходный граф представляется в виде матрицы C размера (n * n), задающейся согласно следующим правилам:
- На пересечениях столбцов и строк с одинаковым номером (одна и та же вершина) записываем 0.
- На пересечениях столбцов и строк с разными номерами (различные вершины) при наличии прямого пути между данными вершинами записываем вес данного ребра.
- Если между вершинами нет прямого пути — записываем специальное значение.
В алгоритме идёт активная работа с двумя матрицами: матрицей длин путей T размера (n * n), куда заносятся соответствующие значения из исходной матрицы С и матрица путей H размера также (n * n), в которую заносится пункт назначения, если между вершинами есть прямой путь, и специальное значение — в противном случае.
После инициализации матриц путей и длин путей происходят 3 вложенных цикла обработки: фиксируются 2 вершины (например, j и k) и проверяются все остальные вершины i. Если путь из j в k можно сократить, пройдя через I, матрицы изменяются так, чтобы определять кратчайшие пути.
Пример.
Матрица длин путей:
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
0 |
0 |
19 |
18 |
15 |
∞ |
|
1 |
19 |
0 |
∞ |
11 |
18 |
|
2 |
18 |
∞ |
0 |
∞ |
14 |
|
3 |
15 |
11 |
∞ |
0 |
15 |
|
4 |
∞ |
18 |
14 |
15 |
0 |
Матрица путей:
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|||||
|
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
-1 |
||||||
|
1 |
0 |
1 |
-1 |
3 |
4 |
||||||
|
2 |
0 |
-1 |
2 |
-1 |
4 |
||||||
|
3 |
0 |
1 |
-1 |
3 |
4 |
||||||
|
4 |
-1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
||||||
I=1:
Матрица длин путей:
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|||||
|
0 |
0 |
19 |
18 |
15 |
∞ |
||||||
|
1 |
19 |
0 |
37 |
11 |
18 |
||||||
|
2 |
18 |
37 |
0 |
33 |
14 |
||||||
|
3 |
15 |
11 |
33 |
0 |
15 |
||||||
|
4 |
∞ |
18 |
14 |
15 |
0 |
||||||
Матрица путей:
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|||||
|
0 |
0 |
1 |
0 |
3 |
4 |
||||||
|
1 |
0 |
1 |
-1 |
3 |
4 |
||||||
|
2 |
0 |
0 |
2 |
0 |
4 |
||||||
|
3 |
0 |
1 |
0 |
3 |
4 |
||||||
|
4 |
-1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
||||||
I=2:
Матрица длин путей:
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|||||
|
0 |
0 |
19 |
18 |
15 |
37 |
||||||
|
1 |
19 |
0 |
37 |
11 |
18 |
||||||
|
2 |
18 |
37 |
0 |
33 |
14 |
||||||
|
3 |
15 |
11 |
33 |
0 |
15 |
||||||
|
4 |
37 |
18 |
14 |
15 |
0 |
||||||
Матрица путей:
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|||||
|
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
1 |
||||||
|
1 |
0 |
1 |
0 |
3 |
4 |
||||||
|
2 |
0 |
0 |
2 |
0 |
4 |
||||||
|
3 |
0 |
1 |
0 |
3 |
4 |
||||||
|
4 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
||||||
I=3:
Матрица длин путей:
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|||||
|
0 |
0 |
19 |
18 |
15 |
32 |
||||||
|
1 |
19 |
0 |
37 |
11 |
18 |
||||||
|
2 |
18 |
37 |
0 |
33 |
14 |
||||||
|
3 |
15 |
11 |
33 |
0 |
15 |
||||||
|
4 |
32 |
18 |
14 |
15 |
0 |
||||||
Матрица путей:
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|||||
|
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
2 |
||||||
|
1 |
0 |
1 |
0 |
3 |
4 |
||||||
|
2 |
0 |
0 |
2 |
0 |
4 |
||||||
|
3 |
0 |
1 |
0 |
3 |
4 |
||||||
|
4 |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
||||||
I=4:
Матрица длин путей:
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|||||
|
0 |
0 |
19 |
18 |
15 |
30 |
||||||
|
1 |
19 |
0 |
34 |
11 |
16 |
||||||
|
2 |
18 |
34 |
0 |
33 |
14 |
||||||
|
3 |
15 |
11 |
33 |
0 |
15 |
||||||
|
4 |
30 |
16 |
14 |
15 |
0 |
||||||
Матрица путей:
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|||||
|
0 |
0 |
3 |
2 |
3 |
3 |
||||||
|
1 |
3 |
1 |
3 |
3 |
3 |
||||||
|
2 |
0 |
0 |
2 |
0 |
4 |
||||||
|
3 |
0 |
1 |
0 |
3 |
4 |
||||||
|
4 |
3 |
3 |
2 |
3 |
4 |
||||||
I=4 (после окончания итерации):
Матрица длин путей:
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|||||
|
0 |
0 |
19 |
18 |
15 |
30 |
||||||
|
1 |
19 |
0 |
30 |
11 |
18 |
||||||
|
2 |
18 |
30 |
0 |
29 |
14 |
||||||
|
3 |
15 |
11 |
29 |
0 |
15 |
||||||
|
4 |
30 |
18 |
14 |
15 |
0 |
||||||
Матрица путей:
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|||||
|
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
2 |
||||||
|
1 |
0 |
1 |
0 |
3 |
4 |
||||||
|
2 |
0 |
4 |
2 |
4 |
4 |
||||||
|
3 |
0 |
1 |
4 |
3 |
4 |
||||||
|
4 |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
||||||
Реализация алгоритма на языке C++ для заданной матрицы
(5*5)
#include "stdafx.h"
#include "cstdlib"
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
int c[5][5] = {
{ 0, 9, 8, 5, INT_MAX },
{ 9, 0, INT_MAX, 1, 8 },
{ 8, INT_MAX, 0, INT_MAX, 4 },
{ 5, 1, INT_MAX, 0, 5 },
{ INT_MAX, 8, 4, 5, 0 } };
int t[5][5];
for (int i = 0; i < 5; i++){
for (int j = 0; j < 5; j++){ t[i][j] = c[i][j]; if (t[i][j] == INT_MAX) h[i][j] = -1; else h[i][j] = j;
}
}
for (int i = 0; i < 5; i++){
for (int j = 0; j < 5; j++){
for (int k = 0; k < 5; k++){
if (i != j && t[j][i] != INT_MAX &&
i != k && t[i][k] != INT_MAX &&
(t[j][k] == INT_MAX || t[j][k] > t[j][i] + t[i][k])){ h[j][k] = h[j][i]; t[j][k] = t[j][i] + t[i][k];
}
}
}
}
return 0;
}
Временная сложность:
В алгоритме присутствуют три вложенных цикла с инструкциями, выполняющимися за 0(1), следовательно, временна сложность алгоритма — О(n3). Кроме того, алгоритм требуется хранение исходной матрицы, а так же матриц путей и длин путей, что даёт сложность О(n2) по памяти.