1. Упорядоченные множества. Монотонные функции. Ограниченные функции. (1.5.1, 1.6.1)

1.5.1. Упорядоченное множество (линейно упорядоченное множество) – каждая пара элементов a, b связана одним из соотношений: a < b (a меньше b), a > b (a больше b), a = b

(a равно b). При этом

• a < b, b < c  a < c ,

• a > b, b > c  a > c,

• a < b  b > a.

Примеры. Числовые множества N, R упорядочены, множество С комплексных чисел не является упорядоченным.

Определение. Подмножество А упорядоченного множества E называется ограниченным, если

 mE ME aА (m  a  M ).

Элементы m, M называются нижней и верхней гранями множества А в Е.

Определение. Наибольшая нижняя грань и наименьшая верхняя грань множества А (если таковые существуют) называются точными нижней и верхней гранями множества А : m = inf A и M = sup A.

Замечание. Если точные грани m и M множества А являются его элементами, то они называются наименьшим и наибольшим элементами множества А: m = min A и M = max A.

Пример. В R множества А = [a, b] (отрезок или замкнутый интервал) и B = (a, b) (открытый интервал) являются ограниченными множествами.

В обоих случаях a и b – их точные грани;

a = inf A = inf B,

b = sup A = sup B.

В первом случае множество содержит свои точные грани, следовательно,

a = min A, b = max A.

1.6. Характерные свойства функций, заданных на введенных специальных множествах

1.6.1. f: D  Е, D и Е – упорядоченные множества.

Определение. Если x₁, x₂D (x₁ < x₂  f (x₁) < f (x₂)),то f называется монотонно возрастающей. Если x₁, x₂D (x₁ < x₂  f (x₁) > f (x₂)),то f называется монотонно убывающей.

Монотонно возрастающие и монотонно убывающие функции называются монотонными.

Замечание. Определенную выше монотонность называют строгой. Рассматривается также и нестрогая монотонность:x₁, x₂D (x₁ < x₂  f (x₁)  f (x₂))

или x₁, x₂D (x₁ < x₂  f (x₁)  f (x₂)).

Определение. Если множество значений E(f) = f(D) ограничено, то f называется ограниченной функцией на множестве D.

(Множество f(D) содержится в некотором отрезке

[m, M]).

2. Метрические пространства. Непрерывные функции. (1.5.2, 1.6.2)

1.5.2. Метрическое пространство.

Это множество, в котором введено понятие расстояния

(a, b) между элементами a, b ( метрика).

1. (a, b)  0, (a, b) = 0  a = b (положительная определенность),

2. (a, b) = (b, a) (симметричность),

3. с ((a, b)  (a, с) + (b, c)) (неравенство треугольника).

Примеры. 1. Числовое множество R с метрикой

(x₁, x₂) = |x₁ – x₂|.

2. Множество R², где для точек М₁(x₁, y₁), М₂(x₂, y₂)

(М₁, М₂) =

Определение. Множество U_(M₀) точек М метрического пространства Е, для которых (М₀, М)<

называется -окрестностью точки M₀ (здесь >0):

Примеры. 1. В R с метрикой (x₁, x₂) = |x₁ – x₂|

U_(x₀) есть открытый интервал длины 2 c центром в x₀.

2. В R² с метрикой (М₁, М₂) =

U_(M₀) – множество внутренних точек круга c центром в точке М₀ и радиусом .

Определение. Подмножество  метрического пространства E называется открытым множеством, если каждая его точка входит в  с некоторой своей -окрестностью.

Определение. Подмножество  метрического пространства E называется замкнутым, если множество (дополнение множества  в E) открыто.

Примеры. 1. В R¹=R отрезок [a, b] – замкнутое множество,

интервал (a, b) – открытое множество.

2. В R² любой круг– замкнутое множество,

множество внутренних точек

– открытое,

множество граничных точек (окружность) – замкнутое.

3. В R³ шари сфера

замкнуты, множество внутренних точек шара– открыто.

1.6.2. F: d  е, d и е – метрические пространства.

Пусть в каждой ее окрестности точки x₀  D содержатся точки множества D, отличные от x₀.

Потребуем, чтобы точки x, близкие к точке x₀, отображались функцией в точки y=f(x), близкие к точке y₀=f(x₀), причем при приближении x к x₀ разность между f(x) и f(x₀) становилась сколь угодно малой и точность можно было бы задавать.

Определение. Функция f называется непрерывной в точке x₀, если

>0 >0 x ((x, x₀)<   ( f (x), f (x₀))< ).

Другими словами, непрерывность f в точке x₀ означает, что для любой сколь угодно малой -окрестности точки f(x₀) найдется некоторая -окрестность точки x₀, которая целиком в нее отображается. >0 >0 : f(U_(x₀))  U_(f(x₀)).

Примеры. Ниже на первом рисунке функция f непрерывна в точке x₀, а на втором – нет.

3.Линейные пространства. Линейные отображения. (1.5.3, 1.6.3)

1.5.3. Линейное пространство (над полем действительных чисел) – множество, в котором

 элемента a и R определен элемент с = a (произведение на число)

и  a, b определен элемент d = a + b (сумма),

причем  элементов a, b, с и R, R верно:

• a + b = b + a,

• a + (b + с) = (a + b) + с,

•  (a + b) =  a +  b,

• ( + ) a =  a + a,

• () a =  ( a),

• 1 a = a,

•  элемент 0 со свойством: a (a + 0 = a),

•  элемента a  элемент –a со свойством: a + (–a) = 0.

Линейные пространства называют также векторными пространствами, а их элементы – векторами.

Примеры. 1. Числовые множества R, C.

2. Множества Е₂ и Е₃ векторов (направленных отрезков) на плоскости или в трехмерном пространстве соответственно.

3. Совокупность всех действительных функций на интервале (a, b) R.