2.7. Предел функции при X  .

Определение.





 .

График функции имеет в каждом из этих случаев горизонтальную асимптоту, т. е. прямую, к которой неограниченно приближается соответственно при x→+, или x→–, или x→.

Примеры.

не существует,

Определение. Функция называется б. б. при x→, т.е.

_,

если

Замечание. Свойства предела функции в точке можно переформулировать на случай предела на бесконечности.

Можно также проводить сравнение функций при x→.

Например,

- при x→ и k >m>0 степень x^k является б. б. более высокого порядка по сравнению с x^m;

- многочлен эквивалентен своему слагаемому (одночлену) со старшей степенью:

(a₀  0);

- R .

Действительно,

Главная часть функции при x   обычно разыскивается в виде .

Теорема о пределе монотонной ограниченной функции. Если функция f(x) возрастает на некотором интервале (a, ) и ограничена сверху, то существует конечный предел

Если функция f(x) убывает на некотором интервале

(a, ) и ограничена снизу, то существует конечный предел

Аналогично при x  – .

Замечание. Применяются следующие удобные обозначения:

, .

Например,

12. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Нахождение наибольшего и наименьшего значений. Классификация точек разрыва функции. (2.9, 2.11, 4.5)

2.9. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теоремы Больцано-Вейерштрасса.

Теорема. Функция, непрерывная на отрезке,

- ограничена на этом отрезке,

- принимает свои наибольшее и наименьшее значения,

- принимает все промежуточные значения.

Другими словами,

Теорема. Область значений функции , заданной и непрерывной на отрезке [a, b], представляет собой отрезок [m, M];

m- наименьшее, а M- наибольшее значения.

Замечания.

1. Для непрерывной функции на незамкнутом интервале, а также для разрывной функции на отрезке наименьшего и наибольшего значений может не быть.

Примеры.

(функция y = x на интервале (–1, 1),

функция y = 1/x, доопределенная нулем в точке x = 0, на отрезке [–1, 1]).

2. Разрывная функция на отрезке может не принимать каких-то промежуточных значений.

(функция на рисунке, отрезок [-, ]).

Наибольшее значение в точке –, наименьшее – в точке /2, промежуточные значения из интервала (0, 1) не принимаются.

2. 11. Классификация точек разрыва функций.

Определение. Точка x = x₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ (кроме, возможно, самой точки x₀) и нарушено условие непрерывности .

Случай 1.  конечный но либо не  f(x₀), либо .

Это устранимый разрыв.

–конечные, но не равны f(x₀).

Такой разрыв устраняется изменением функции в одной точке x₀ (говорят: доопределим по непрерывности).

Пример. имеет в точке

x₀ = 0 устранимый разрыв.

Функция непрерывна.

Случай 2. В точке x₀ существуют конечные не равные между собой односторонние пределы:

Это разрыв «скачок». Величина скачка:

f(x₀+0) – f(x₀ – 0).

Пример.

Определение. Разрывы «устранимый» и «скачок» называются разрывами I рода, все остальные разрывы (хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен) называются разрывами II рода.

Примеры разрывов II рода.

4.5. Нахождение наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой функции на отрезке. Дифференцируемая функция непрерывна, поэтому  наибольшее и наименьшее значения на отрезке.

Если такое значение принимается во внутренней точке x₁, то это – экстремум и f (x₁) = 0. Такие значения могут также приниматься в концах отрезка.

Вывод: нужно вычислить и сравнить между собой значения функции в точках, где равна нулю производная, и в концах отрезка.

Замечание. Если дифференцируемость функции нарушена в некоторой внутренней точке отрезка, то в этой точке также может оказаться экстремум.