2.5.17. Непрерывность элементарных функций.

Из непрерывности основных элементарных функций во всех точках их областей определения (мы приняли этот факт без доказательства) вытекает непрерывность элементарных функций как следствие свойств функций, непрерывных в точке.

Более того, достаточно принять без доказательства непрерывность функций x^ (R), a^x (a > 0, a  1), sin x, cos x; непрерывность остальных основных элементарных функций также будет следовать из этих свойств.

2. 4. Элементарные функции.

Основными элементарными функциями называются:

• константы,

• степенные функции x^ (R),

• показательные функции a^x (a > 0, a  1),

• логарифмические функции log _a x (a > 0, a  1),

• тригонометрические функции sin x, cos x, tg x, ctg x,

• обратные тригонометрические функции arcsin x,

arccos x, arctg x, arcctg x.

Среди них константы и степенные функции x^ с рациональным показателем  называются алгебраическими функциями, все остальные – трансцендентными.

Определение. Элементарными функциями называются функции, которые могут быть получены из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления) и подстановок одной функции в другую (образования сложной функции).

Примеры элементарных функций: ax + b, sin² x + ln tg x, , многочлен .

Замечание 1. Любой многочлен с действительными коэффициентами может быть единственным образом разложен на неприводимые множители:

Показатели степеней натуральные;

r₁, …, r_k – кратности действительных корней x₁, …, x_k ,

а множители вида имеютотрицательные дискриминанты и, следовательно, попарно сопряженные комплексные корни _.

Замечание 2. Все основные элементарные функции непрерывны во всех точках их областей определения. Примем этот факт без доказательства.

Скоро увидим, что и элементарные функции не могут иметь разрывов в точках, в которых они определены (это следует из свойств непрерывных функций.

Пример неэлементарной функции.

y = sign x =

Функция y = sign x определена на всей числовой прямой и разрывна; именно отсюда следует, что она не элементарная.

2.5.14. Предел показательно-степенной функции.

Теорема. Пусть , А > 0, .

Тогда

.

Доказательство. Перейдем к основанию e, превращая функцию в показательную (сложную):

Использовалась непрерывность экспоненты и логарифма.

Замечание. Теорему можно обобщить на б.м. и б.б.

При этом выявим три случая неопределенностей:

Они соответствуют ситуациям [0] и [0] для произведения g(x)ln f(x).

8. II замечательный предел. Предел функции на бесконечности. Предел последовательности. (2.5.15, 2.7, 2.8)

2.5.15. Второй замечательный предел.

Графики функций с различными a

пересекают ось Ox в т. x = 0 под различными углами.

Обозначим через e основание, при котором график пересекает ось Ox под углом /4, и попытаемся выяснить, что это за число.

Проведем через точку M₀(1;0) секущую,

точка M имеет координаты 1+h; log_e (1+h).

Предельное положение секущей при M M₀ есть касательная к кривой в точке M₀.

Логарифм непрерывная функция ,

Замечание. На рисунке h > 0. При h <0 так же:

Это и есть второй замечательный предел

Логарифмы по основанию e называются натуральными и обозначаются как ln x.