4.6.4. Примерный план полного исследования функции.

1. Нахождение области определения и (возможно) области значений функции.

2. Проверка наличия четности, нечетности, периодичности.

3. Исследование на непрерывность. Нахождение точек разрыва, их классификация. Вычисление односторонних пределов, если они конечны.

4. Изучение асимптотического поведения функции в граничных точках области определения и на бесконечности. Нахождение асимптот.

5. Нахождение интервалов монотонности функции и ее локальных экстремумов с помощью первой производной.

6. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба графика с помощью второй производной.

7. Рассмотрение при необходимости дополнительно некоторых точек (нахождение точек пересечения графиком координатных осей, уточнение наклона графика там, где производная равна нулю или разрывна и др.)

8. Построение эскиза графика функции. Изобразить (пунктиром) асимптоты, нанести точки экстремумов, перегибов, конечных предельных значений в точках разрыва или граничных точках. Соединить кусками графика, приближая их к асимптотам.

Пример.

1. D(f) = (0, 1)  (1, + ).

2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют.

3. В точках xD(f) функция непрерывна.

Точка разрыва x = 1:

Вывод: прямая x = 1 – вертикальная асимптота.

4. На границе области определения: _{(нет асимптоты).}

При x +:(y = 0 – горизонтальная асимптота).

5. Производная всегда отрицательна.

6. .

Числитель меняет знак в точке x = e^–2,

знаменатель – в точке x = 1.

Делаем вспомогательный рисунок, на котором одновременно учитываем убывание функции и выпуклость или вогнутость графика.

7. Вычисляем значение y(e ^–2) = –1/2.

Строим график.

Экстремумов нет, точка перегиба графика (e ^–2, –1/2).

52