24. Полное исследование функции. Асимптоты. (4.6)
4.6. Полное исследование функции и построение графика.
Исследование функции начинается с нахождения области определения.
Следует учесть свойства функции, облегчающие исследование: четность, нечетность, периодичность.
Далее целесообразно исследовать функцию на непрерывность (нахождение точек разрыва элементарных функций тесно связано с нахождением области их определения).
Следующим близким по смыслу шагом в исследовании функции является изучение ее асимптотического поведения: поведения возле граничных точек области определения (иногда это точки разрыва) и при x .
Определение. Если при удалении кривой в бесконечность (т. е. x или y ) существует прямая, расстояние до которой от точки кривой стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой.
4.6.1. Нахождение асимптот графика функции.
Определение. Прямая x = x0 является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов
,
бесконечен.
В этом случае f (x) имеет в точке x0 разрыв II рода.
Определение. Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x +, если
,
.
f(x) ~ kx + b при x + (f(x) эквивалентна линейной функции)
Но верно и f(x) ~ kx; важно, чтобы разница (x) 0.
Аналогично определяется наклонная асимптота
y = kx + b при x – .
В
частном случае k
= 0
наклонная асимптота является
горизонтальной.
В этом
случае
(x)
б.м. при x
,
т.е.
Теорема. y = kx + b – наклонная асимптота графика функции y = f(x) при x +
.
Аналогично для x – .
Доказательство. а) Пусть y = kx + b – наклонная асимптота. Тогда по определению
.
конечные пределы
,
.
б) Обратно, пусть существуют конечные пределы
есть б. м. при
x
+.
и
– асимптота.
Примеры.
1.
.
f(x)
имеет горизонтальную асимптоту y
= 0 при
x – и не имеет асимптоты при x +.
2.
.
Функция имеет различные асимптоты
при x
–
и при x +.
при x
– ,
при x
+ .
,
.
3.
.
D(f)
= (– ,–
)(–
,
)(
,
+ ).
Функция элементарна; непрерывна xD(f).
При
x
имеем:
=
,
так как A
0.
x
= 
– вертикальные асимптоты.
x
=
:
x
= –
: А=
–3
+1
< 0.
Ищем асимптоты
при x
.
При x f(x) ~ x, что говорит о наличии асимптот, x – их главная часть.
Или так:
Найдем b:
y
= x
+ 1 –
асимптота при x
.
Иначе:
можно разделить числитель на знаменатель
и сразу найти
асимптоту y
= x
+ 1, так как
И
так,
функция имеет две вертикальных и одну
наклонную асимптоты.
Замечание. График функции может пересекать асимптоту. Например, график функции
имеет горизонтальную асимптоту y = 0 при x,
которую пересекает в точках x = n, n = целое, n 0.
4.6.2. Нахождение интервалов монотонности функции и ее локальных экстремумов. Нужно найти интервалы знакопостоянства первой производной. С учетом разрывов функции при этом определятся интервалы ее монотонности и экстремумы.
4.6.3. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба ее графика. Нужно найти интервалы знакопостоянства второй производной. С учетом разрывов функции при этом определятся интервалы ее выпуклости и вогнутости и перегибы графика.