4.3.2. Формула Тейлора для произвольной функции.

Пусть f (x) имеет в т. x₀ производную порядка n.

Составим многочлен по степеням (x – x₀) с коэффициентами ,k = 0, 1, 2, …, n:

P_n^f (x) = a₀ + a₁(x – x₀) + a₂(x – x₀)² +…+ a_k(x – x₀)^k + …

…+ a_n(x – x₀)ⁿ,

и назовем его многочленом Тейлора функции f(x)

в окрестности т. x₀.

Заметим, что k верно также равенство ,

откуда вывод: f(x) и P_n^f (x) имеют в т. x₀ одинаковые производные порядков от 0 до n включительно.

Запишем равенствоf (x) = P_n^f (x) + r_n(x), ()

т.е.

Это формула Тейлора n-го порядка для функции

f (x) в окрестности точки x₀ ( по степеням (x– x₀) ).

Выясним свойства остаточного члена r_n(x)

(разности между f (x) и P_n^f (x)).

Теорема 1. В представлении ()

r_n(x) = o((x – x₀)ⁿ) при x  x₀

Докажем теорему в предположении, что все n производных существуют в некоторой окрестности точки x₀ и непрерывны в этой точке (общий случай теоремы доказывать не будем).

Дифференцируем равенство (*)

f (x) = P_n^f (x) + r_n(x),

имеем: + дляk = 0, 1, 2, …, n.

Сравним r_n(x) с (x – x₀)ⁿ при x  x₀:

при x  x₀.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

Замечание 1. r_n(x) = 0 в том и только в том случае, когда f(x) сама является многочленом n - ой степени.

Замечание 2. Если f (x) = Q_n(x) + r_n(x), где Q_n(x) – многочлен степени n и r_n(x) = o((x – x₀)ⁿ) при x  x₀, то Q_n(x) = P_n^f (x).

Другими словами, существует только один многочлен, приближающий функцию в окрестности точки x₀

с точностью до o((x – x₀)ⁿ), это ее многочлен Тейлора (независимо от того, как он был получен).

Теорема 2. Если f (x) имеет в U_(x₀) производную порядка n+1, то x  U_(x₀) верно представление ()

f (x) = P_n^f (x) + r_n(x),

где

точка с расположена между x и x₀ (при любом взаимном расположении x и x₀ можно записать c = x₀ + (x – x₀), (0; 1)).

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

Замечание 1. В условии теоремы 1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано) содержится меньше требований к функции: не требуется существование производной n+1 порядка.

Недостаток этой формулы в том, что нет возможности оценить r_n(x) в конкретной точке x, так как не известна его структура.

r_n(x) = o((x – x₀)ⁿ) при x  x₀.

Остаточный член в форме Лагранжа может быть оценен, если есть оценка на f ⁽ⁿ⁺¹⁾(c).

Если  МR : x U_(x₀) |f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x)| М, то

Пример. Разложить ln x в окрестности т. x₀ = 4,

т.е. по степеням (x – x₀) = (x – 4).

Вычисляем в т. x = 4 и подставляем в формулу.

Сократим факториалы:

,

–форма Пеано;

– форма Лагранжа.

Замечание 2. Если f(x) имеет производные любых порядков и при фиксированном x то точность приближения f (x)  P_n^f (x)

можно повышать увеличением степени n многочлена P_n^f (x).

В пределе при n  ∞ из формулы Тейлора порядка n

получаем ряд Тейлора (формулу без остаточного члена):.

Замечание 3. Формулу Тейлора «нулевого порядка» (n = 0) с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид:

.

Это уже известная нам формула Лагранжа .

Замечание 4. Формулу Тейлора (*) можно записать через дифференциалы высших порядков:

.

Замечание 5. В случае x₀ = 0 формула Тейлора (аналогично ряд Тейлора) называется формулой Маклорена (рядом Маклорена). В этом случае (x – x₀) = x.

С остаточным членом в форме Лагранжа:

,