19. Теорема Лагранжа и ее следствия. (4.1.4)

4.1.4. Теорема Лагранжа.

f(x) непрерывна на [a, b],

дифференцируема на (a, b).

  с  (a, b)

(формула Лагранжа).

Формулу можно переписать так:

Геометрическая интерпретация.

Утверждается существование точки, в которой касательная параллельна прямой, проходящей через точки графика функции, соответствующие концам отрезка [a, b].

Доказательство. Пусть h(x) равна разности между f(x) и линейной функцией, графиком которой является проведенная прямая.

h(x) дифференцируема и непрерывна вместе с f(x). h(a) = h(b) = 0.

 h(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля

  c  (a, b) h(c) = 0:



Замечание. Формула Лагранжа

может быть переписана так:

 для функции, дифференцируемой на интервале, формулу можно применять при любом взаимном расположении точек а и b этого интервала.

Следствие 1. Если  точек некоторого интервала

f (x) = 0, то на этом интервале f(x) = const.

Доказательство.  x₁, x₂ ,

точка c находится между x₁ и x₂. Но f (с) = 0 

Следствие 2. Если  точек некоторого интервала

f (x) > 0 (< 0) , то на этом интервале f(x) строго возрастает (убывает).

Доказательство следует из формулы Лагранжа

и определения монотонно возрастающей или убывающей функции.

Замечание. Частично верно обратное утверждение: если дифференцируемая функция f (x) возрастает (строго или нестрого) на (а; b), то ; если убывает, то .

Действительно, предположив противное, получим противоречие со следствием 2.

Следствие 3. Оценка погрешности вычисления значения функции при неточном значении аргумента.

Пусть вместо точного значения x мы имеем значение x+x, вычисляемое или измеряемое с погрешностью |x| < .

Погрешность, возникающую по этой причине при вычислении значений функции, можно оценить с помощью формулы Лагранжа:

Если x |f (x)| < М, то

Пример. f(x) = x³. Пусть значения x берутся из отрезка [1; 1,1] c погрешностью  = 10 ^–3.

Производная 3x² на этом отрезке может быть оценена: 3x²  3(1,1)² =3,63< 4.

 оценка погрешности для f(x) = x³:

Следствие 4. Если f(x) непрерывна в точке x₀ и

то  и

(Производная не может иметь устранимого разрыва.)

Доказательство.

Применим формулу Лагранжа:

(с  x₀, так как находится между x и x₀).

Замечание. Утверждение, обратное следствию 4,

неверно. Например, функциядифференцируема в нуле:

,тогда как

не .

20. Теорема Коши и правило Лопиталя. (4.1.3, 4.2)

4.1.3. Теорема Коши.

f(x) и g(x)

непрерывны на [a, b],

дифференцируемы на (a, b),

g(x)  0.

  с  (a, b)

(формула Коши).

Доказательство. Составим функцию h(x),

h(x) дифференцируема и непрерывна вместе с f(x) и g(x), h(a) = h(b) = 0 

h(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.

 x = c  (a, b), такая, что h(c) = 0:



4.2. Правило Лопиталя.

Пример. Рассмотрим функцию

Эта функция определена на всей числовой прямой

и во всех точках непрерывна.

При x  0

Существует ли y(0)?

Применим следствие 4 теоремы Лагранжа:

В числителе дроби разность двух эквивалентных

 мы не имеем инструмента, который бы избавил нас от неопределенности.

Попытка найти y(0) непосредственно из определения также не приводит к результату:

в числителе снова разность эквивалентных. Правило Лопиталя – новый инструмент для раскрытия неопределенностей и .

Теорема 1. Пусть f (x) и g(x)

дифференцируемы в окрестности точки x₀ (кроме, возможно, самой точки x₀),

являются б. м. при x  x₀.

Если  (конечный или бесконечный),

то  и эти пределы равны.

Теорема 2. Пусть функции f (x) и g(x)

дифференцируемы в окрестности точки x₀ (кроме,

возможно, самой точки x₀),

обе являются б. б. при x  x₀.

Тогда если  (конечный или бесконечный), то  и эти пределы равны.

Замечание 1. Теоремы сформулированы для пределов

при x  x₀; они верны также и для односторонних пределов и пределов и при x  .

Покажем, что случай x   сводится к случаю

t  0 с помощью замены переменной:

Замечание 2. Из теорем 1 и 2 следует правило Лопиталя для нахождения пределов в случае неопределенностей или :

Если последний предел найден, то и первый такой же. Обратное неверно.

Пример. Применим правило Лопиталя для нахождения предела

Получим

Последний предел не существует. Это тот случай, когда правило Лопиталя должно быть отброшено (условие теоремы не выполнено). Исходный предел нельзя найти с помощью правила Лопиталя, но он существует:

Замечание 3. Правило Лопиталя может применяться несколько раз:

,

пока имеют место неопределенности (что необходимо каждый раз проверять, иначе можно прийти к неверному результату).

Пример неверного решения.

Неверный результат.

Доказательство теоремы 1. Вычисляется.

f (x) и g(x) бесконечно малые при x  x₀.

Если они не определены в самой точке x₀, доопределим их до непрерывных функций значениями

f (x₀) = 0, g(x₀) = 0.

Теперь мы можем записать предел в виде, позволяющем применить теорему Коши:

Если последний предел существует, то существует и первоначальный предел.

Примеры. Применяя правило Лопиталя, вычислим пределы, о которых шла речь в первом примере этой темы.

Сравним при x +∞ функции

x^ ( > 0), ln x, e^x.

Вывод: при x∞ ln x = o(x^), > 0.

Вывод: при x∞ x^ = o(e^x),  > 0.

Замечание 4. Правило Лопиталя помогает и при раскрытии неопределенностей других видов. Однако

в этих случаях необходимо преобразовать функцию так, чтобы прийти к неопределенностям или . Покажем эти преобразования в формализованном виде:

–вынесение слагаемого за скобки (в случае дробей чаще применяется приведение их к общему знаменателю).

или –

перенесение одного из множителей в знаменатель

(в степени –1);– переход в показательно степенной функции к постоянному основаниюe; аналогично ,.

Примеры.

1.

Но (приx∞ ln x = o(x^),  > 0).

2.

3.

Вычислим отдельно предел в показателе экспоненты.

