17. Производная обратной функции. Производная параметрически заданной функции. (3.8, 3.9)

3.8. Производная показательно-степенной функции.

Пусть функции дифференцируемы. Рассмотрим функцию

По формуле производной сложной функции

.

Правая часть содержит два слагаемых, первое из которых получается по формуле производной показательной функции (как если бы f(x) = const), а второе - по формуле производной степенной функции (как если бы g(x) = const).

3.9. Производная обратной функции.

Теорема. Пусть y = f(x), x = f ^–1(y) – обратная функция.

Если y = f(x) дифференцируема в точке x₀ и f (x₀)  0, то функция x = f ^–1(y) дифференцируема в точке y₀= f(x₀) и

В других обозначениях или еще:

Доказательство. Функция, обратная к непрерывной, также непрерывна, поэтому y 0  x 0.

18. Теоремы Ферма, Ролля. (4.1.1, 4.1.2)

4.1. Теоремы о среднем значении.

4.1.1. Локальные экстремумы. Теорема Ферма.

Определение 1. f(x) имеет в точке x = x₀ локальный максимум, если в некоторой U_ (x₀)

x ( x  U_ (x₀)\{x₀}  f (x) < f(x₀) ),

т. е. f(x₀) = f (x₀ + x) – f(x₀) < 0 при малых x.

Определение 2. f(x) имеет в точке x = x₀ локальный минимум, если в некоторой U_ (x₀)

x ( x U_ (x₀)\{x₀}  f (x) > f(x₀) ),

т. е. f(x₀) = f (x₀ + x) – f(x₀) > 0 при малых x.

Определение 3. Локальные минимум и максимум называются (локальными) экстремумами функции.

Термин «локальность» означает, что утверждение справедливо в малой окрестности точки.

Теорема Ферма. Пусть дифференцируемая на интервале (a, b) функция f(x) принимает в точке с  (a, b) наибольшее (наименьшее) значение. Тогда f (c) = 0.

Доказательство. Случай наибольшего значения:

 x  (a, b) f (x)  f(с), f(с) = f (x) – f(с) 0.

По условию существует (конечная) производная

Числитель дроби отрицателен.

Односторонние пределы одинаковы и равны f (c).

Но (порядковые свойства предела)



Случай наименьшего значения рассматривается аналогично.

Следствие. В точке экстремума дифференцируемой функции ее производная и дифференциал равны нулю, а касательная к графику параллельна оси Ox.

Замечание 1. Если дифференцируемую функцию рассматривать на отрезке, она может иметь наибольшее и наименьшее значения в точках, где ее производная не равна нулю.

Замечание 2. Если функция не дифференцируема хотя бы в одной точке интервала (a, b), то утверждение теоремы может нарушаться. Например, функция

y = |x| на интервале (–1, 1) имеет в точке x = 0 наименьшее значение и локальный минимум, но производная в этой точке нулю не равна (не существует).

Замечание 3. Равенство нулю производной – это необходимое, но не достаточное условие экстремума дифференцируемой функции. Пример. y = x³ y(0) = 0, однако функция монотонно возрастает и не имеет экстремумов. График ее имеет в точке x = 0 горизонтальную касательную .

4.1.2. Теорема Ролля.

f (x) непрерывна на [a, b],

дифференцируема на (a, b),

f (a) = f (b).

  с  (a, b) f (c) = 0.

Доказательство.

1. Если f(x) = const на [a, b], то f (x) = 0 x  (a, b).

2. Если f(x)  const на [a, b], то ее наибольшее и наименьшее значения на [a, b] различны

(любая непрерывная функция на отрезке принимает свои наибольшее и наименьшее значения).

f (a) = f (b)  по крайней мере одно из них достигается во внутренней точке с  (a, b). Тогда по теореме Ферма f (c) = 0.

Замечание. Каждое из условий теоремы Ролля необходимо. При нарушении хотя бы одного из них утверждение теоремы может не выполнятся.

1) 2) 3)