3.3. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной и дифференциала.
Пусть f(x) дифференцируема в т. x0.
Рассмотрим в одной системе координат
график функции
y = f(x)
и прямую
y = f(x0) +f (x0)(x–x0), т.е. y = f(x0) + df(x0).
Найдем разность ординат y(x) точек этих двух кривых при одном x:
f(x) – (f(x0) +f (x0)(x–x0)) = f(x0) – df(x0) = о(x).
Прямая, приближающая в указанном смысле график дифференцируемой функции в окрестности точки x0 , единственна (из единственности дифференциала).
Эта прямая – касательная к графику в точке x0, (предельное положение секущей при x 0), так как ее угловой коэффициент
tg
= f
(x0)
=
.
Значение дифференциала при заданном x равно приращению ординаты вдоль касательной, в чем и заключается геометрический смысл дифференциала.
Дифференцируемость означает существование касательной.
Пример. f(x) = |x| не имеет касательной в точке x0= 0. Левосторонняя и правосторонняя касательные не совпадают, график имеет излом.
Замечание. Уравнение любой прямой, проходящей через точку (x0, f(x0)) может быть записано в виде
y = f(x0) +k(x–x0).
Для касательной k = tg = f (x0).
Уравнение касательной:
y = f(x0) +f (x0)(x–x0).
Для нормали (прямой, перпендикулярной касательной)
kn = tg(+/2) = – ctg = – 1/ tg.
Уравнение нормали:
Если f (x0) = 0, то уравнение касательной y = f(x0) и она параллельна оси Ox, уравнение нормали x = x0 и она параллельна оси Oy.
3.4. Использование дифференциала в приближенных вычислениях.
f(x0) = f(x0)x+о(x).
f(x0) df(x0),
или
f(x0 +x) f(x0) + f(x0)x,
или
f(x) f(x0) + f(x0)(x – x0).
Замечания. 1. Формула содержит простые вычисления, но не дает возможности оценить ошибку приближения, ясно лишь, что ошибка стремится к нулю при x 0 быстрее, чем x. Чем меньше x, тем приближенная формула точнее.
2. Вычисления значений функции и производной в точке x0 должны быть проще, чем в точке x, иначе применение формулы теряет смысл.
Примеры.
1.
Вычислим приближенно
Представим: 26,4 = 27 + (– 0,6)
и обозначим f(x)
=
,
x0
= 27, x
= – 0,6.
f(26,4)
f(27)
+ f(27)x
=
.
2. Рассмотрим многочлен P(x) = x5 – 2x вблизи точки
x0 = –1, приближенно получим:
P(x0+ x) ≈ P(x0) + P (x0)∙x.
Пусть x = x0+ x, x = x – (–1) = (x +1),
P(–1) = 1, P (–1) = (5x4 – 2)|x = –1 = 3.
P(x) = 1 + 3 (x +1) + o(x +1), т. е. P(x) 1 + 3 x.
По полученной приближенной формуле легко видеть поведение многочлена P(x) = x5 – 2x вблизи точки
x0 = –1.
15. Алгебраические свойства производной и дифференциала. (3.5)
3.5. Алгебраические свойства производной, дифференциала.
3.5.1. Свойства производной.
1.
2.
3.
4.
Доказательство.
f
(x0)
=
.
1.
2.
.
3.
Доказательство свойства 4 аналогично (прочтите в издании лекций).
3.5.2. Свойства дифференциала.
1. dc = 0, c = const.
2. d(f(x) g(x)) = d (f(x)) d(g(x)).
3. d(fg) = df g + f dg.
4.
Эти формулы получаются умножением на x формул свойств производной и заменой f (x)dx на df(x), g (x)dx
на dg(x).
Следствия.
1.
2.
.
3.
16. Инвариантность формы дифференциала. Производная сложной функции. (3.7)
3.7. Производная и дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала.
3.7.1. Дифференцирование сложной функции.
Теорема.
Пусть задана сложная функция
(т.
е.
).
Введем:
Если
конечные
то
или, в других обозначениях,
Доказательство. Дано:
y(x) =g(x) = g (x)x+о(x),
в окрестности точки x и
z(y) = f(y) = f (y)y+о(y)
в окрестности точки y.
Для сложной функции
отсюда получим, подставляя
:
z(x) = f(g(x)) = f (g(x))g(x) +о(g(x)).
z(x) = f (g(x))( g (x)x+о(x)) +о(g(x)),
z(x) = f (g(x))g (x)x + f (g(x))о(x) +о(g(x)).
Линейное слагаемое найдено. Слагаемое f (g(x))о(x), являющееся произведением о(x) на константу, само является о(x) при x 0.
Покажем, что таковым является и последнее слагаемое.
Имеем
(при x 0 также и g(x) = y 0, непрерывность дифференцируемой функции).
Итак, сложная функция дифференцируема и
Сравнивая полученную формулу с формулой
получаем:
.
Пример.
,
.
3.7.2. Инвариантность формы дифференциала. Речь идет о форме
df(x) = f (x)dx.
Здесь dx = x – дифференциал независимой переменной, равный ее приращению.
Выполним подстановку x = (t) и dx = d(t) = (t) dt, получим:
df((t)) = f ((t))d(t)=
= f ((t)) (t) dt =
= (f((t))) dt =
Это дифференциал сложной функции, т. е. формула осталась верной.
Итак, рассматриваемая форма дифференциала одна и та же как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – функция другой переменной.
df = f (x)dx = f (t)dt (x = x(t)).
Это и выражается словом «инвариантность», т. е. неизменность, независимость формы дифференциала.
Отсюда следует, что в формулы, содержащие дифференциалы, можно делать функциональные подстановки, вводить новые функциональные зависимости.
Примеры.
1. dcosx = – sinx dx, x = t2
d(cos t2) = – sin t2 d t2 = – 2t sin t2 dt.
2. Делая ту же подстановку в формулу производной
(cosx)= – sinx,
получим неверный результат
(cos t2)= – sin t2,
формулы производных инвариантностью относительно подстановок не обладают.