1. Определение предела функции в точке, единственность. Переход к пределу в равенствах. Ограниченность функции, имеющей конечный предел. (2.5.2 – 2.5.4)

2.5.2. Определение (конечного) предела функции в точке. Новые формы записи определения непрерывности.

Пусть f(х) задана в некоторой окрестности точки х₀, за исключением, может быть, самой точки х₀.

Определение. Число А называется пределом функции f(х) в точке х₀, если

>0 >0 x (0 < |x – x₀| <   | f (x) – A|< ).

Форма записи:

На языке окрестностей: >0 >0 x ( x U_(x₀)\{x₀}  f (x) U_(А) ).

Замечание. В определении предела функция в самой точке x₀ не рассматривается. Если же f(х) определена и непрерывна в точке x₀, то А = f(х₀).

2.5.3. Единственность предела.

Теорема. Если

то A = B.

Доказательство. Зададим >0.

Надо найти U_(x₀), в которой x x₀ должно одновременно выполняться

| f (x) – A|<  и | f (x) – B|< .

Если A  B, это невозможно при .

Следствие. Из единственность предела следует возможность перехода к пределу в равенствах. Если в некоторой окрестности точки x₀ (кроме, возможно, самой точки x₀) f(x) = g(x), то

или оба предела не существуют.

Примеры.

1.

2. Найти

В окрестности точки x₀ = 0 функция f(x) совпадает

с функцией g(x) = x. Следовательно,

2.5.4. Ограниченность функции, имеющей предел.

Теорема. Если функция имеет (конечный) предел в точке х₀, то она ограничена в некоторой -окрестности этой точки.

Доказательство.

Зададим  >0.

x U_(x₀)\{x₀} имеем | f (x) – A|< 

 – < f(x)–A <

и

A –  < f(x) < A + .

2.Порядковые свойства предела. Переход к пределу в неравенствах. (2.5.5 – 2.5.6)

2.5.5. Порядковые свойства предела.

Теорема 1. Сохранение знака.

1. Пусть

  U_(x₀), в которой f(x) имеет на множестве U_(x₀)\{x₀} тот же знак, что и А.

2. Пусть f(x) сохраняет знак на некотором множестве U_(x₀)\{x₀}. Если она имеет предел А в точке x₀, то число А имеет тот же знак или А = 0.

Доказательство. 1. Пусть  = |A|/2.

В соответствующей окрестности U_(x₀)  x  x₀

A – |A|/2< f(x)< A + |A|/2.

Но числа A – |A|/2 и A + |A|/2 имеют один знак, совпадающий со знаком числа А,  тот же знак имеют все значения f(x).

2. Метод «от противного». Допустим, что А имеет другой знак. По пункту 1 теоремы f(x) должны быть того же знака вблизи x₀. Противоречие. Но А = 0 возможно, как

показывает следующий пример.

Пример.

x f(x)>0 , однако

Теорема 2. Лемма о сжатом отображении (о «двух милиционерах»).

Пусть f(x)  h(x)  g(x) и

Тогда функция h(x) имеет предел в точке x₀, который также равен A.

Доказательство. Зададим  > 0 и найдем окрестность точки x₀, в которой при x  x₀ одновременно

A –< f(x) < A +, A –< g(x) < A +.

 в этой окрестности A –< h(x) <A +,

то есть | h (x) – A|< , что и означает:

Из порядковых и алгебраических свойств предела следует возможность перехода к пределу в неравенствах. Если xU_(x₀)\{x₀} f(x)  g(x),

то

(при условии, что оба предела ).

Действительно,

При f(x) < g(x) строгое неравенство для пределов может не сохраниться.