tablica_razlozhenij_funkcij_v_ryady
.pdf
Таблица разложений функций в степенные ряды ● Высшая математика для заочников и не только
Таблица разложений некоторых функций в степенные ряды
e 1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
... |
|
n |
... |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1! |
|
|
2! |
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
n 0 n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Область сходимости ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
( 1) |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
n 1 |
|
2n 1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
... |
|
|
2n 1 ... |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
5! |
7! |
(2n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
(2n 1)! |
|
||||||||||||||||||||
Область сходимости ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
4 |
|
6 |
|
|
|
|
( 1) |
n |
|
|
|
|
|
|
( 1) |
n |
|
2n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
cos 1 |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
2n |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2! |
|
|
|
|
|
(2n)! |
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4! |
|
|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Область сходимости ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
||||||
ln(1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
... ( 1)n 1 |
|
... |
( 1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ряд сходится при 1 1 или, то же самое, при |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Кроме того, в каждом конкретном случае нужно исследовать концы интервала сходимости
– там ряд тоже может сходиться!
Биномиальное разложение: |
|
|
|
|
|
|||
(1 )k |
1 k |
k(k 1) |
2 |
|
k(k 1)(k 2) |
3 |
... |
|
|
|
|
||||||
|
2! |
|
3! |
|
|
|||
1 k(k 1)(k 2) ... (k n 1) n |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
k(k 1)(k 2) ... (k n 1) n ... n!
Ряд сходится при 1 1 |
|
|
|
|
1 . |
|
|
Как и в предыдущем пункте – концы интервала подлежат исследованию!
Распространенные частные случаи биномиального разложения:
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
1 3 |
|
|
3 |
|
1 3 5 |
|
4 |
... |
|||||
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 4 |
2 4 6 |
2 4 6 8 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 3 |
|
3 |
|
|
1 3 5 |
|
4 |
... |
|||
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 4 |
|
2 4 6 |
|
2 4 6 8 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 3 |
2 |
|
|
1 3 5 |
|
3 |
|
1 3 5 7 |
4 |
... |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 4 |
|
2 4 6 |
2 4 6 8 |
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 3 |
2 |
|
|
1 3 5 |
|
3 |
|
1 3 5 7 |
4 |
... |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 4 |
|
2 4 6 |
|
2 4 6 8 |
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
11 2 3 4 5 ...
11 2 3 4 5 ...
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного материала, пожалуйста, не убирайте копирайты
Таблица разложений функций в степенные ряды ● Высшая математика для заочников и не только
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
2n 1 |
|
|
|||||||
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
... ( 1)n |
|
|
|
|
... |
( 1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3 |
|
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
2n 1 |
|
|
|||||||||||||||||
Область сходимости ряда: 1 1 или, то же самое: |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
arcsin |
1 |
|
3 |
|
|
1 3 |
|
|
5 |
|
1 3 5 |
|
7 |
|
1 3 5 7 |
|
|
9 |
... |
(2n 1)!! 2n 1 |
... |
|||||||||||
2 |
3 |
|
2 4 |
5 |
2 4 6 |
|
7 |
2 4 6 8 |
|
|
9 |
(2n)!!(2n 1) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Область сходимости ряда: 1 1 или, то же самое: |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку речь идёт о степенных рядах, то разложения справедливы не только для значения
x , но и для таких значений, как x , 2x , x2 , 5x3 , 3
x , 3 
x ,
3x4 и т.п.
При этом в общем случае фактическая область сходимости будет другой! Так, например, при
|
x |
|
разложение функции f (x) arcsin |
x |
сходится к ней на промежутке: |
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
2 |
|
|||
1 |
x |
1 2 x 2 |
|
|||
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|||
Более того, табличный «шаблон» может быть «урезан», типичные примеры:
1)если 
x , то функция f (x) e
x определена только для неотрицательных значений аргумента, и поэтому область сходимости соответствующего ряда: 0 x ;
2)аналогично, если 4
x , то разложение функции f (x) ln(1 4
x) сойдётся к ней лишь в области 0 x 1 .
С дополнительной информацией и практическими задачами по теме можно ознакомиться на уроке http://mathprofi.ru/razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady.html
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного материала, пожалуйста, не убирайте копирайты