m6var15

∞

ln n

1. Исследовать числовой ряд на сходимость: ∑

.

n=1

n5 + n

ln n

n

1

1

1

∞

1

Заметим, что

<

=

<

=

. Ряд

∑

сходится, так как

3/ 2

3/ 2

n5 + n

n5 + n

n3 +1/ n

n3

n

n=1 n

ряд с общим членом V

=

1

сходится при

p > 1 и расходится при

p ≤ 1.В данном случае

n

np

p = 3/ 2 > 1. Следовательно, сходится и ряд с общим членом

ln n

по первому признаку

n5 + n

сравнения. Ответ: Ряд сходится.

∞

13 ... (2n −1)

2. Исследовать числовой ряд на сходимость: ∑

.

n=1

3n (n +1)!

Применим признак д,Аламбера:

13

... (2n −1)(2n +1)

13 ... (2n −1)

= lim

13 ... (2n −1)(2n

+1)

3n (n +1)!

=

lim

:

3n+1(n + 2)!

3n (n +1)!

3n+1(n + 2)! 13

...

(2n −1)

n→∞

n→∞

=

n!= n (n −1)!

=

1

lim

2n +1

=

1

2 =

2

< 1. Предел равен отношению коэффициентов при

3 n→∞ n + 2 3

3

∞

3.

Исследовать числовой ряд на сходимость: ∑

n

.

2

n=1 en

Имеем

a

=

n

. Функция

f (x) =

x

удовлетворяет

условиям интегрального признака

n

2

en

ex

2

Коши. Действительно, f (n) = an , n = 1, 2, ...;

f (x) монотонно убывает на [1, ∞) и, следова-

∞

x

тельно, интеграл

∫

dx

и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем

x2

1

e

∞ x

1

∞

1

∞

1

1

∫1

dx =

x2= t, dt =

2xdx

=

∫1 e−t dt = −

e−t

= −0 +

e−1

=

. Интеграл

сходится, следо-

ex2

2

2

1

2

2e

вательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.

∞

n

4.

Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: ∑(−1)n

.

n=1

n +100

∞

n

∞

n

∑

(−1)n

= ∑

. Он расходится по первому признаку сравнения с гармониче-

n=1

n +100

n=1 n +100

1

ским рядом. Действительно:

n

≥

1

≥

1

, а ряд с общим членом

явля-

n +100

100(n +1)

n +100

n +1

∞

3

n

5. Определить область сходимости функционального ряда: ∑

(x + 3)n .

2n (n2 +1)

n=1

∞

3n

Применим

признак

д,Аламбера

к

ряду

∑n=1

(x + 3)n

:

2n (n2 +1)

3n+1

(x + 3)n+1

2n (n2 +1)

3

2

+1

n

3

3

lim

=

x + 3

lim

=

x + 3

1 =

x + 3

. Ряд сходится,

n→∞ 2n+1[(n +1)2 +1]3n

(x + 3)n

2

n→∞ [(n +1)2 +1]

2

2

если этот

предел будет меньше

единицы:

3

x + 3

< 1,

т.е.

− 2/3 < x + 3 < 2/3. Или

2

∞

n

щийся числовой ряд ∑

(−1)

, который сходится по признаку Лейбница. При x = −7 /3 по-

n=1 n2 +1

∞

1

лучим числовой ряд ∑

, который сходится по признаку сравнения со сходящимся ря-

2 +1

n=1 n

∞

дом ∑

1

(степень знаменателя больше единицы). Действительно,

1

<

1

. Ответ:

n=1 n2

n2 +1 n2

Областью сходимости ряда является множество x [−11/ 3, − 7 /3]

∞

1

6. Определить область сходимости функционального ряда: ∑

.

9n (x −

n=1 n

1)2n

Применим

признак

д,Аламбера

к

данному

ряду:

lim

n

9n (x −1)2n

=

1

lim

n

=

1

1 =

1

.

Ряд

сходится, если

9n+1(x −1)2(n+1)

9(x −1)2

−1)2

−1)2

n→∞ (n +1)

n→∞ n

+1 9(x

9(x

этот предел будет меньше единицы:

1

< 1, т.е.

x −1 > 1/3 или

x −1 < −1/3. Следова-

9(x −1)2

тельно, ряд сходится при

x (−∞, 2/3) и

x (4/3, ∞) . Исследуем ряд на концах интервала.

∞

1

При x = 2/3 и

x = 4/3получим один и тот же числовой гармонический ряд ∑

, который

n=1 n

∞

2

n

7. Определить область сходимости функционального ряда: ∑

sin2n (2x) .

3n − 5

n=1

2n+1 sin2(n+1)

Применим признак д,Аламбера: lim

(2x) 3n − 5

= 2sin2 (2x) . Ряд сходится,

2n sin2n (2x)

n→∞ 3(n +1) − 5

если

этот предел будет

меньше

единицы: 2sin2 (2x) < 1, т.е. −

1

< sin(2x) <

1

или

2

2

− π + nπ < 2x < π + nπ − π +

nπ

< x < π +

nπ

.

Следовательно,

ряд

сходится

при

4

4

8

2

8

2

8

2

8

2

8

2

∞

1

один и тот же числовой ряд ∑

, который расходится по признаку сравнения с рядом

3n − 5

n=1

∞

1

∑

(последний расходится, так как степень в знаменателе меньше единицы.. Ответ:

n=1

3n

8

2

8

2

8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням

(x +1). Указать область

сходимости: ln(x + 5).

Воспользуемся известным разложением функции ln(1+ t) :

t2

t3

t4

n−1

tn

ln(1+ t) = t −

+

−

+ ...+ (−1)

+ .... Этот ряд сходится при

t (−1,1] . Преобразуем

2

3

4

n!

4

4

4

ном выше разложении логарифмической

функции положим

t = (x +1) / 4 , получим:

x +1

(x

+1)

(x +1)

2

(x +1)

3

(x +1)

4

n−1

(x +1)n

ln(1+

) =

−

+

−

+ ...+ (−1)

+ ...

Или

4

2

2 42

3 43

4 44

n 4n

∞

(x +1)

n

ln(x + 5) = ln 4 + ∑(−1)n−1

. Ряд сходится при − 4 < x +1 ≤ 4 или x (−5, 3].

n=1

n 4n

∞

(x +

1)

n

Ответ: ln(x + 5) = ln 4 + ∑(−1)n−1

, x (−5, 3].

n 4n

n=1

= 3 3 1−

x3

= 3(1−

x3

)1/3 . Воспользуемся раз-

Преобразуем данную функцию: 3 27 − x3

27

27

ложением функции (1− t)1/3 в ряд Маклорена:

(1− t)1/3

= 1−

1

t −

1 2

t2 −

1 2 5

t3 −

1 2 5 7

t4 − .... Этот ряд сходится при условии

t

≤ 1.

3

3 6

3 6 9

3 6 912

t = x3 / 27 ,

получим:

В

этот

ряд

подставим

(1−

x3

)1/3 = 1−

1

x3

−

12

x6

−

12 5

x9

−

12 5 7

x12

− ... = 1− ∑

1 2 5 ... (3n − 4)

x3n .

27

3 33

3 6 36

3 6 9 39

36 912 312

n=1

34n n!

= 3(1−

x3

)1/3

= 3(1− ∑

1 2 5 ... (3n − 4)

x3n ) = 3 − ∑

12 5 ... (3n − 4)

x3n .

Тогда

3 27 − x3

27

n=1

34n n!

n=1

34n−1 n!

Областью

сходимости

ряда

будет

x3

< 1

x

< 3 .

Ответ:

27

1 2 5 ... (3n − 4)

x3n ,

3

27 − x3

= 3 − ∑

x

< 3. (Ошибка в ответе в знаке!)

n=1

34n−1 n!

1

sin x

10. Вычислить приближённо с точностью до 10-4:

∫

dx .

0

x